E-142

T. BLOSSIER ET A. MARTIN-PIZARRO^{∗}

Résumé. Nous collapsons le corps différentiel rouge de Poizat en des corps différentiellement clos de rang de Morley ω · 2, chacun muni d’un sous-groupe additif définissable de rang ω. En utilisant la dérivée logarithmique, on obtient un corps vert de rang ω · 2 avec un sous-groupe multiplicatif définissable divisible contenant le corps des constantes, qui reste définissable dans le réduit à la structure de corps vert.

Verde que te quiero verde. Verde viento. Verdes ramas. El barco sobre la mar y el caballo en la montaña. F. García Lorca Romance Sonámbulo.

1. Introduction

En 1991, Hrushovski [6, 5] donna une preuve de la conjecture de Mordell-Lang pour les corps de fonctions. Ce résultat était déjà connu en caractéristique nulle, mais l’originalité de cette nouvelle preuve réside dans son approche uniforme en toutes caractéristiques. Elle consiste à remplacer la structure du corps algébriquement clos de base, par une structure de corps dans laquelle l’énoncé de Mordell-Lang est équivalent à la notion modèle-théorique de monobasé pour un certain sous-groupe. En caractéristique nulle, il s’agit de montrer qu’un sous-groupe différentiel, le noyau de Manin, est monobasé. Il est alors utilisé un principe de dichotomie qui est satisfait par les géométries non triviales vivant dans un corps différentiel universel (appelé corps différentiellement clos) : ces géométries sont typiques de celle d’un corps algébriquement clos (dans ce cas, le corps des constantes) ou de celle d’un espace vectoriel. Au début des années 80, Zilber avait conjecturé ce principe de dichotomie pour toute géométrie associée à un ensemble fortement minimal. On rappelle qu’un ensemble fortement minimal est un ensemble irréductible de dimension^{1} 1.

2 T. BLOSSIER ET A. MARTIN-PIZARRO^{∗}

Cette conjecture fut réfutée par Hrushovski [8] qui, par une méthode d’amalgamation utilisant des idées de Fraïssé , construisit des ensembles fortement minimaux avec des géométries plus exotiques. Cette méthode permit également à Poizat [13] de construire des corps ω-stables en toutes caractéristiques munis d’un sous-groupe additif de rang commensurable (qu’il nomma corps rouges) ainsi qu’un corps en caractéristique nulle de rang ω ·2 muni d’un sous-groupe multiplicatif divisible sans torsion définissable de rang ω (nommé vert). Associé audit procédé, le collapse consiste à effectuer l’amalgamation dans une classe restreinte afin de forcer certains types à devenir algébriques. En conséquence, Poizat conjectura l’existence de collapses de rang fini autant pour les corps rouges en caractéristique positive que pour le corps vert. Les premiers furent collapsés dans [3], ce qui montra l’existence de corps de rang fini en caractéristique positive qui ne sont pas additivement minimaux. Dans [1], les corps verts furent également collapsés, ce qui montra l’existence de mauvais corps en caractéristique nulle. Rappelons au lecteur qu’un corps de rang fini est mauvais s’il admet un sous-groupe propre multiplicatif définissable divisible et que la non-existence de tels corps avait été conjecturée originellement dans le programme de classification de groupes de rang de Morley fini. En caractéristique positive, l’existence d’un mauvais corps forcerait à avoir une finitude de nombres premiers de Mersenne en p, c’est à dire de la forme \frac{p^{n}−1}{p−1} [15].

Date: 3 avril 2007.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary : 03C65 ; Secondary :03C50.

Key words and phrases. Model Theory, Differentially closed fields, Amalgamation method.

∗ L’auteur est soutenu par le programme de recherche européen FP6-MOB-5-009541.

1Cette dimension est le rang de Morley. Une structure rangée par cette dimension est dite ω−stable.

Notons qu’un corps de rang de Morley fini en caractéristique nulle est additivement minimal. Néanmoins dans [13], Poizat conjectura qu’il devait être également possible d’obtenir des collapses rouges de rang minimal, c’est à dire de rang ω · 2. Rappelons que sa construction d’un corps rouge de caractéristique nulle, qui est de rang ω^{2} · 2, est obtenue par amalgamation de corps différentiels. Le but de cet article est de collapser ce corps. Pour cela, nous suivrons la méthode des collapses de corps rouges de caractéristique positive [3]. Par contre, la théorie des corps différentiellement clos, même si elle est ω−stable, présente des particularités qui nous ont obligés à être minutieux dans la susdite adaptation. Les deux points délicats résident d’une part dans le fait que le sous-groupe additif rouge est ici un espace vectoriel sur un corps flottant, le corps des constantes, et d’autre part dans le fait que les rangs dans la théorie des corps différentiellement clos ne coïncident pas. Nous devons alors estimer le rang de Morley en utilisant l’encadrement donné par le degré différentiel pour les types à collapser. Ces types correspondent aux types génériques des sous-groupes additifs différentiels pour lesquels nous pouvons décrire uniformément leurs rangs, ceci à l’aide d’un résultat de Pillay et Pong [11].

La structure de cet article est la suivante : nous commençons par rappeler la construction par amalgamation de Poizat. Nous explicitons ensuite le calcul des rangs dans cette théorie. Cette description technique est nécessaire pour coder les types à collapser dans la partie qui suit. Dans ces deux parties, nous rappelons également les résultats de la théorie des corps différentiellement clos qui sont utilisés. La partie suivante décrit les collapses et leurs axiomatisations. Finalement, nous regardons le corps vert obtenu par dérivée logarithmique.

Tout au long de cet article, une certaine familiarité avec le procédé d’amalgamation et en particulier avec les constructions de corps colorés sera requise (voir par exemple [13, 2, 3]).

Les auteurs aimeraient remercier B. Poizat qui a inspiré ce travail ainsi que A. Pillay, F.O. Wagner et M. Ziegler pour leurs commentaires avisés.

2. Poizat et les rouges

Dans cette partie, nous rappelons au lecteur certains des résultats de [13] que nous utiliserons pour le collapse. Commençons par fixer les notations : nous travaillerons dans un corps différentiellement clos universel 𝕂 de caractéristique nulle et nous noterons C le corps des constantes (c.à.d. les éléments de dérivée nulle).

Soit L := {0, +, −, ·, d} le langage des anneaux différentiels. Nous formons le langage L^{∗} en ajoutant à L un prédicat unaire R et pour toute L^{∗}-structure, les points dans R seront nommés rouges, les autres blancs. Dans la suite de ce papier, nous considérons uniquement des L^{∗}-structures k telles que la restriction de k au langage L soit un sous-corps différentiel de 𝕂 et telles que R(k) soit un sous-espace vectoriel de (k, +) sur C_{k} (:= C ∩ k). On appellera ces structures corps différentiels rouges. Nous appellerons degré différentiel d’un corps différentiel la taille d’une base de transcendance différentielle de ce corps. Nous définissons alors sur les corps différentiels rouges k de degré différentiel fini la prédimension suivante :

δ(k) = 2 deg.dif k − dim.lin_{C} R(k)

où deg.dif k est le degré différentiel de k et dim.lin_{C} R(k) la dimension linéaire des points rouges sur C.

Notons que C dépend du sous-corps différentiel considéré, mais du fait que l’indépendance linéaire sur les constantes s’exprime à l’aide du Wronskien, la dimension linéaire des points rouges reste inchangée qu’on la considère au-dessus de C_{k} ou au-dessus de l’ensemble des constantes C. Nous utiliserons donc cette notation ambiguë pour δ.

Notons K_{0} la classe élémentaire des corps k différentiels algébriquement clos rouges, dont tout sous-corps différentiel de degré différentiel fini a une prédimension positive ou nulle. (Cette classe est ∀∃-axiomatisable.)

Pour tout corps k ⊂ 𝕂 et toute partie A ⊂ 𝕂, on notera k⟨A⟩ la clôture algébrique du corps différentiel engendré par A au-dessus de k. On dira que A engendre k′ audessus de k si k′ = k⟨A⟩.

Pour tout uple fini ā et tout partie B dans un corps k de K_{0}, on utilisera la notation :

δ(ā/B) := 2 deg.dif(ā/B) − dim.lin_{C}(R(ℚ⟨āB⟩)/ R(ℚ⟨B⟩)).

Cette prédimension n’est pas sous-modulaire : l’inégalité δ(ā/B) ≤ δ(ā/ℚ⟨ā⟩ ∩ ℚ⟨B⟩) n’est pas toujours vérifiée du fait que le corps des constantes n’est pas fixe. Par contre, dans le cas où ℚ⟨ā⟩, ℚ⟨B⟩ et ℚ⟨āB⟩ ont même corps de constantes, cette inégalité est bien vérifiée.

On définit de la manière habituelle la notion d’autosuffisance : soient k ⊂ k′ deux corps dans K_{0} ; on dit que k est autosuffisant dans k′ ou que k′ est une extension autosuffisante de k (noté k ≤ k′) si δ(ā/k) ≥ 0 pour tout uple fini ā de k′.

Notons que k est autosuffisant dans k′ si et seulement si les points rouges de k⟨C_{k′}⟩ sont engendrés par les points rouges de k et k⟨C_{k′}⟩ est autosuffisant dans k′ [13, Lemme 2.3.1].

On dira par la suite qu’un ensemble A d’un corps k′ de K_{0} est autosuffisant dans k′ si ℚ⟨A⟩ est autosuffisant dans k′ et A engendre les points rouges de ℚ⟨A⟩.

La relation d’autosuffisance est transitive pour la classe K_{0} mais il n’existe pas de clôture autosuffisante uniquement déterminée, elle flotte avec les constantes : soit K un corps de K_{0}, alors pour tout sous-corps k de K il existe un plus petit sous-corps autosuffisant de K contenant C_{K} ∪ k. Si k_{1} et k_{2} sont deux corps minimales de K_{0} contenant k, autosuffisants dans K et de degré de différentiel minimal au-dessus de k alors ils sont engendrés par des bases linéaires rouges qui se correspondent par un isomorphisme linéaire au-dessus des constantes globales.

Dans [13], Poizat amalgame la classe K_{0} par la méthode de Hrushovski-Fraïssé :

Soient k_{1} et k_{2} deux corps de K_{0} d’intersection k. On place k_{1} et k_{2} de façon linéairement disjointe au-dessus de k et on considère la clôture algébrique k′ = k⟨k_{1} ∪ k_{2}⟩ du corps différentiel engendré par k_{1} et k_{2}. (Notons que le corps des constantes de k′ peut être plus gros que la clôture algébrique des corps de constantes de k_{1} et k_{2}.) On colorie en rouge les points de k′ engendrés par les points rouges de k_{1} et de k_{2}. La structure ainsi obtenue s’appelle l’amalgame libre de k_{1} et k_{2} au-dessus de k.

Théorème 2.1. [13] La sous-classe de K_{0} consistant en les corps différentiels de degré différentiel fini a la propriété d’amalgamation (donnée par l’amalgame libre). Soit 𝕂_{ω} sa limite de Fraïssé. Alors 𝕂_{ω} est à isomorphisme près l’unique modèle dénombrable ω-saturé de sa théorie, cette théorie est ω-stable de rang ω^{2} · 2, et les rouges forment un sous-groupe additif de rang ω.

Pour la suite, on appelle théorie DCF_{0} colorée la théorie de 𝕂_{ω}. (La notation DCF_{0} seule désignera la théorie des corps différentiellement clos de caractéristiques nulles dans le langage L.) Le calcul des rangs (de Lascar et de Morley) dans DCF_{0} colorée se fait, comme habituellement, en décomposant les extensions autosuffisantes en tours d’extensions minimales (extensions autosuffisantes ne contenant pas de sous-extensions autosuffisantes propres intermédiaires).

Il est facile de vérifier qu’une extension minimale correspond à l’une des quatre possibilités suivantes. Par contre, le calcul des rangs des extensions minimales de second type est assez technique (voir la section suivante) :

Proposition 2.2. Une extension minimale k′ dans K_{0} d’un corps k dans K_{0} correspond à l’un des cas suivants et on obtient les rangs suivants si on suppose de plus k′ plongé de manière autosuffisante dans 𝕂_{ω} :

(1) k′ est engendré par un point blanc différentiellement algébrique sur k. Dans ce cas δ(k′/k) = 0 et les rangs (de Lascar et de Morley dans DCF_{0} colorée) du point blanc sur k sont finis. Sinon on a C_{k′} = C_{k} et ou bien :

(2) k′ est engendré par une base ā de 2n points rouges linéairement indépendants et k′ est de degré différentiel n sur k. Dans ce cas δ(k′/k) = 0 et les rangs de ā sur k sont inférieurs à ω · 2 ;

(3) k′ est engendré par un point rouge différentiellement transcendant sur k. Dans ce cas δ(k′/k) = 1 et les rangs de ce point rouge générique sont égaux ω^{2}.

(4) k′ est engendré par un point blanc différentiellement transcendant sur k. Dans ce cas δ(k′/k) = 2 et les rangs de ce point blanc générique sur k sont égaux ω^{2} · 2.

3. Rangs colorés

Pour collapser les corps différentiels rouges, il est nécessaire d’analyser précisément le rang des extensions minimales de second type dans la proposition 2.2. Pour cela, commençons par rappeler des résultats sur la théorie DCF_{0} et plus généralement de stabilité qui seront utiles.

Pour la suite, nous noterons RU (resp. RU^{*}) le rang de Lascar, RM et dM (resp. RM^{*} et dM^{*}) le rang et degré de Morley, dans la théorie DCF_{0} (resp. dans la théorie DCF_{0} colorée). Nous noterons dcl, acl et | ⌣ la clôture définissable, la clôture algébrique, et l’indépendance dans la théorie DCF_{0}.

Fait 3.1. Dans DCF_{0} :

(1) Soit ā un uple d’éléments différentiellement algébriques sur B. Alors RM(ā/B) ≤ RD(ā/B) où RD(ā/B) (le rang différentiel de ā sur B) correspond au degré de transcendance du corps différentiel engendré par ā au dessus de celui engendré par B.

(2) Tout type p vérifie,

ω · deg.dif(p) ≤ RU(p) ≤ RM(p) < ω · (deg.dif(p) + 1)(voir [4]).

(3) Tout sous-groupe additif définissable de 𝕂^{n} est connexe (car 𝕂 est de caractéristique nulle) et est un sous-espace vectoriel sur les constantes (voir par exemple [16, Corollary 1.12]).

(4) Les rangs de Lascar et de Morley d’un groupe définissable sont égaux [11].

(5) Pour tout uple ā de taille n, tout uple b̄ et tout ensemble de paramètres B tels que deg.dif(ā/B) = n (c.à.d ā générique sur B) et b̄ différentiellement algébrique sur āB, alors il existe c̄ différentiellement algébrique sur B telle que RU(āb̄/Bc̄) = ω · n et RM(c̄/B) ≤ RM(b̄/āB). (Pour démontrer ce résultat on peut utiliser [10, Corollary 7.1.20]).

Notons alors que dans DCF_{0} :

– Si p est un type sur B tel que RU(p) = ω · n alors une réalisation ā de p est générique sur A ⊃ B si et seulement si deg.dif(ā/A) = n.

– Si φ(x̄, b̄) est une formule telle que RM(φ) = ω · n alors une réalisation ā de φ est générique sur B ⊃ b̄ si et seulement si deg.dif(ā/B) = n.

– Soit p un type sur B de rang de Lascar ω · n. Par les inégalités de Lascar, pour toute réalisation ā de p et tout ensemble A d’éléments différentiellement algébriques sur B, on a ā | ⌣_{B} A. De plus les corps ℚ⟨āB⟩ et ℚ⟨B⟩ ont même

corps de constantes.

Nous aurons également besoin du lemme suivant [17] que nous appliquerons aux groupes additifs 𝔾_{a}^{n} (où 𝔾_{a} := (𝕂, +)) :

Lemme 3.2. Soient G un groupe ω-stable abélien, et a, b et c des éléments de G deux à deux indépendants sur B tels que a = b + c. Alors :

(1) Leurs types forts sur B ont même stabilisateur U qui est connexe et définissable sur acl^{eq}(B).

(2) a, b et c sont des éléments génériques de cossettes de U définissables sur acl^{eq}(B).

Revenons maintenant au calcul des rangs des extensions minimales.

Un point blanc différentiellement algébrique a un type de nature purement corpique. Ses rangs dans DCF_{0} coloré correspondent donc aux rangs dans DCF_{0} sans couleur ; ses rangs sont donc finis.

Le second cas est beaucoup plus délicat : notons ā une base linéaire de R(k′) au dessus de k. Pour commencer supposons que RU(ā/k) = ω · n où n = deg.dif(ā/K) et que le type p de ā sur k dans DCF_{0} est stationnaire. (En utilisant le fait 3.1 (5), on pourra ensuite se ramener à cette situation en ajoutant un uple fini d’éléments différentiellement algébriques, qui sont de rangs finis). Avec cette hypothèse, une réalisation ā′ de p est indépendante de B si et seulement si deg.dif(ā′/Bk) = n. Par minimalité, δ(ā/k∪M·ā) < 0 pour toute matrice M de M_{2n}(C_{k}) de rang 1 ≤ d < 2n, c’est-à-dire 2 deg.dif(ā/k ∪ M · ā) < 2n − d. Du fait que la clôture différentielle de k n’a pas plus de constantes que celles de k et que dans DCF_{0}, ā est indépendant des constantes au-dessus de k, on en déduit que 2 deg.dif(ā/k ∪ M · ā) < 2n − d pour toute matrice M de M_{2n}(C) de rang d parce que ā et C sont en position d’héritier-cohéritier au-dessus de la clôture différentiel de k.

Considérons alors une formule φ (à paramètres b̄ ∈ k) de DCF_{0} qui isole p des types de rangs de Morley supérieurs ou égaux. De plus, on peut supposer que φ exprime d’une part l’indépendance linéaire de ā sur les constantes et d’autre part la minimalité, c.à.d. que pour toute uple ā′ dans φ, pour tout 0 < d < 2n, pour toute matrice M de M_{2n}(C) de rang d, le degré différentiel de ā′ sur b̄ ∪ M · ā′ est strictement inférieur à n − d/2. (Ce deuxième point s’obtient par compacité.)

Lemme 3.3. Soit φ(x̄, b̄) une formule comme ci-dessus, c’est-à-dire telle que |x| = 2n, toute réalisation ā′ de φ(x̄, b̄) est linéairement indépendante sur les constantes, deg.dif(φ(x̄, b̄)) = n et deg.dif(ā′/b̄ ∪ M · ā′) < n − d/2 pour toute matrice M ∈ M_{2n}(C) de rang d où 0 < d < 2n. Soit K ∈ K_{0} tel que b̄ ∈ K. Si ā′ es une réalisation rouge de φ alors δ(ā′/K) ≤ 0. De plus δ(ā′/K) = 0 si et seulement si ā′ est dans le C-espace vectoriel engendré par R(K) ou ā′ est C-linéairement indépendant au dessus de R(K) et de degré différentiel n sur K.

Démonstration. Soit d = 2n − dim.lin_{C}(ā′/R(K)). Soit M de rang d telle que M · ā′ ∈ R(K). Si 0 < d < 2n, alors 2 deg.dif(ā′/K) ≤ 2 deg.dif(ā′/b̄ ∪ M · ā′) < 2n − d = dim.lin_{C}(ā′/R(K)) et donc δ(ā′/K) < 0. Si d = 0, alors δ(ā′/K) ≤ 0 car deg.dif(φ(x̄, b̄)) = n; et δ(ā′/K) = 0 si et seulement si deg.dif(ā′/K) = n. □

Comme k est autosuffisant, le type p^{∗} de ā sur k dans DCF_{0} colorée est déterminé par p et la formule “ā est rouge”. On peut supposer de plus l’ensemble des paramètres b̄ autosuffisant et considérer pour la suite que p et p^{∗} sont les types de ā sur b̄ respectivement dans DCF_{0} et DCF_{0} colorée.

Lemme 3.4. Le type p^{∗} est régulier et a une géométrie modulaire.

(1) Si p^{∗} est non trivial alors p est le type générique d’un sous-C-espace affine de 𝕂^{2n} et RU^{*}(ā/k) = RM^{*}(ā/k) = ω.

(2) Si p^{∗} est trivial alors RU^{*}(ā/k) ≤ RM^{*}(ā/k) < ω.

Démonstration. Du fait que RU(p) = ω · n et donc que l’on réalise une extension non déviante de p si et seulement si on reste de degré différentiel n, en appliquant le lemme 3.3, on en déduit que si ā, ā_{1} … ā_{m} sont des réalisations de p^{∗}, alors ā dévie sur ā_{1} … ā_{m} au-dessus de k si et seulement si ā est dans l’espace vectoriel engendré par ā_{1} … ā_{m}. Donc p^{∗} est régulier et sa géométrie est modulaire.

(1) Supposons p^{∗} non trivial. Alors il est facile de vérifier qu’il existe une réalisation ā_{1} de p et deux uples ā_{2} et ā_{3} de 𝕂^{2n} deux à deux indépendants sur b̄ dans DCF_{0} tels que ā_{1} = ā_{2} + ā_{3}. Par le lemme 3.2 , ā_{1} est générique d’une cossette d’un sous-groupe additif de 𝕂^{2n} définissable dans DCF_{0}. Par le fait 3.1 (3) et (4) ce sousgroupe est un sous-espace vectoriel sur les constantes et RM(p) = RU(p) = ω · n. Alors φ est de rang ω ·n et de degré 1. Soit ā′ rouge satisfaisant φ et B un ensemble de paramètres autosuffisant contenant b̄. Comme B est autosuffisant, δ(ā′/B) = 0. Donc par le lemme 3.3, ou bien ā′ tombe dans le C-espace vectoriel engendré par B et est donc de rang fini sur B ou bien ā′ réalise l’unique extension non déviante de p^{∗} à B. D’où RM^{∗}(p^{∗}) ≤ ω et comme p^{∗} a une géométrie d’espace affine sur C, les rangs sont exactement ω.

(2) Supposons p^{∗} trivial. Par trivialité, toute extension déviante de p^{∗} est de rang de Lascar au plus 2n(2n + |b̄|) car déviante sur une réalisation de p^{∗} et donc par le lemme 3.3 dans l’espace vectoriel engendré par cette réalisation et b̄. Donc RU^{∗}(p^{∗}) est fini. Par contre, on ne peut pas conclure par le même argument précédent pour le rang de Morley car le rang de φ dans DCF_{0} n’est pas nécessairement monomial. Remarquons que ā peut se décomposer en deux uples ā_{0} et ā_{1} de taille n, avec ā_{1} différentiellement algébrique sur ā_{0}b̄. On peut alors également supposer que RD(ā′_{1}/ā′_{0}b̄) ≤ RD(ā_{1}/ā_{0}b̄) pour toute réalisation ā′ = ā′_{0}ā′_{1} de φ.

Par ailleurs p^{∗} trivial signifie que pour toutes réalisations rouges ā, ā′ et ā′′ de p, si deg.dif(āā′ā′′/b̄) = 3n alors ā′ + ā′′ − ā n’est pas une réalisation de p. Par compacité, il existe une formule ψ dans p tel que si ā, ā′ et ā′′ rouges satisfont ψ et deg.dif(āā′ā′′/b̄) = 3n, alors ā′ + ā′′ − ā ne satisfait pas ψ. On peut supposer que φ → ψ. Alors pour tout type q dans φ de RU(q) = ω · n, le type q^{∗} (c.à.d. q et rouge) a une géométrie triviale. Notons que cette propriété peut être imposée uniformément sur les paramètres. On appelle alors une telle formule φ une formule à géométries triviales.

On va maintenant montrer par induction que toute réalisation rouge d’une telle formule a un rang de Morley fini dans DCF_{0} colorée :

Sous-lemme. Soit φ(x̄, b̄) vérifiant les propriétés ci-dessus (avec |x| = 2n et b̄ autosuffisant). Pour tout ā rouge satisfaisant φ(x̄, b̄), le rang RM^{∗}(ā/b̄) est fini et borné en fonction de n, |b̄|, RD(ā_{1}/ā_{0}b̄) et l tel que RM(ā/b̄) ≤ ω · n + l.

Démonstration du sous-lemme. Soit ā rouge satisfaisant φ(x̄, b̄). On considère une formule ψ(x̄, b̄) impliquant φ et isolant le type q de ā sur b̄ des types de rangs de Morley supérieurs ou égaux. On fait alors la preuve par induction sur RD(ā_{1}/ā_{0}b̄) et RM(ψ(x̄, b̄)). Tout d’abord, si RD(ā_{1}/ā_{0}b̄) = 0, alors ā_{1} est algébrique sur ā_{0}b̄ et donc

– ou bien RM(ā/b̄) < ω · n (c.à.d. deg.dif(ā/b̄) < n) et alors par le lemme 3.3, ā est dans l’espace vectoriel engendré par b̄. On conclut que RM^{∗}(ā/b̄) ≤ 2n|b̄|.

– ou bien RM(ā/b̄) = ω·n et RU(ā/b̄) = ω·n. Alors pour tout ā′ rouge satisfaisant ψ et tout ensemble B ⊃ b̄ autosuffisant, ou bien ā′ réalise une extension non déviante à B de q^{∗} ou bien ā′ n’est pas indépendant de B au-dessus de b̄. Dans ce deuxième cas, par trivialité de q^{∗}, il existe alors une réalisation ā′′ de q^{∗} déviante avec ā′ au-dessus de b̄ telle que RM^{∗}(ā′/B) ≤ RM^{∗}(ā′/b̄ā′′). Alors ā′ tombe dans l’espace vectoriel engendré par ā′′b̄ et donc RM^{∗}(ā′/ā′′b̄) ≤ 2n(2n + |b̄|). D’où on déduit que RM^{∗}(ā/b̄) ≤ 2n(2n + |b̄|) + 1.

Si RD(ā_{1}/ā_{0}b̄) = i + 1. Le cas RM(ψ(x̄, b̄)) ≤ ω · n se traite comme décrit ci-dessus. Sinon, ω · n < RM(ψ(x̄, b̄)) ≤ ω · n + k et on distingue alors deux cas :

– Ou bien RU(ā/b̄) = ω · n. D’une part, par induction sur le rang de Morley, l’ensemble des RM^{∗}(ā′/b̄) pour les réalisations rouges ā′ de ψ telles que RM(ā′/b̄) < RM(ψ(x̄, b̄)) est uniformément borné. D’autre part si ā′ est une réalisation rouge générique de ψ qui dévie sur un ensemble autosuffisant B contenant b̄, alors comme précédemment, RM^{∗}(ā′/B) ≤ 2n(2n + |b̄|). On en déduit une borne pour RM^{∗}(ā/b̄).

– Ou bien RU(ā/b̄) > ω · n. Alors, par le Fait 3.1 (5) il existe un élément blanc c différentiellement algébrique sur b̄, tel que RM(ā/b̄c) < RM(ā/b̄) et RM(c/b̄) ≤ RM(ā_{1}/ā_{0}b̄). Alors RD(ā_{1}/ā_{0}b̄c) < RD(ā_{1}/ā_{0}b̄) et donc par hypothèse d’induction RM^{∗}(ā/b̄c) est fini et borné en fonction de |b| + 1, RD(ā_{1}/ā_{0}b̄c) ≤ i et RM(ā/b̄c) ≤ RM(ā/b̄). On considère alors θ(x̄, z, b̄) contenant ψ, satisfaite par āc et telle que RD(x̄_{1}/x̄_{0}b̄z) ≤ i. En particulier il existe une borne uniforme finie de RM^{∗}(ā′/b̄c′), pour toute réalisation ā′c′ de θ. À l’aide de la formule θ, on peut borner RM^{∗}(ā/b̄) par l’inégalité d’Erimbetov.

Fin de la preuve du sous-lemme. La formule φ ∧ R(x̄) a donc un rang de Morley fini dans DCF_{0} coloré et donc RM^{∗}(p^{∗}) < ω. □

Si le RU(ā/b̄) n’est pas monomial, par le fait 3.1 (5), il existe c̄ différentiellement algébrique tel que RU(ā/b̄c̄) = ω · n. Dans le cas non trivial, l’additivité du rang de Lascar implique que RU^{∗}(ā/b̄) < ω · 2, et dans le cas trivial, l’inégalité d’Erimbetov implique que les rangs restent finis. Dans le cas non trivial, une induction du même type que ci-dessus permet en fait de montrer que RM^{∗}(ā/b̄) < ω · 2. De manière plus générale on peut vérifier que pour toute extension autosuffisante k′ de k de prédimension nulle qui se décompose en une tour finie d’extensions minimales,

ω · m ≤ RU^{∗}(k′/k) ≤ RM^{∗}(k′/k) < ω · (m + 1)

où m est le nombre d’extensions correspondantes à des génériques d’espaces affines.

En utilisant cette dernière remarque, le lecteur sagace notera facilement que le type générique rouge est limite de types de rang ω·m avec m croissant. Il en déduira qu’il a rang ω^{2}. Il notera également que tout blanc est produit de deux rouges et du fait que le rang d’un corps est monomial et que le groupe additif est connexe ; il déduira que le type générique blanc est de rang ω^{2} · 2.

D’après la description précédente, pour obtenir un collapse de rang ω · 2, il suffit donc de collapser à rang fini les extensions minimales affines, qu’on appellera préfinitaires. Pour ce faire, nous allons les rendre de dimension finie sur C, en leur interdisant d’avoir une infinité de réalisations rouges C-linéairement indépendantes.

4. Les codes

Dans cette partie nous travaillons dans DCF_{0}. Nous allons fréquemment adapter les preuves de [3] à ce cadre en utilisant certaines propriétés de la théorie DCF_{0} ; et en particulier celles rappelées dans le fait 3.1 et dans la remarque suivante :

Remarque 4.1. Dans DCF_{0} :

(1) Le générique de 𝕂^{n} est définissable ; c’est l’unique type de degré différentiel n.

(2) Soient p un type stationnaire de rang de Morley ω · n et ē_{0}, …, ē_{m} une suite de Morley de p au-dessus de B. Alors, pour tout d̄ de longueur inférieure ou égale à m, il existe au moins un ē_{i} tel que d̄ | ⌣_{B} ē_{i}.

Pour la suite, on dira qu’un ensemble définissable (ou un type) dans DCF_{0} a un bon rang si son rang de Morley est un monôme de la forme ω · n. Deux ensembles définissables X et Y dans 𝕂^{n} sont dits équivalents si RM(X) = RM(Y) et RM(X △ Y) < RM(X). On notera cette propriété X ∼ Y. Soit X un sousensemble définissable de 𝕂^{n} qui est génériquement un sous-groupe additif de 𝕂^{n}. Son groupe invariant, Inv(X), est le sous-groupe {H ∈ GL_{n}(C) | H(X) ∼ X}.

Comme tout sous-groupe additif définissable est connexe, tout ensemble définissable X, qui est génériquement un sous-groupe additif, est de degré de Morley 1 (c.à.d.

“irréductible”) et de plus si X a un bon rang alors par la remarque 4.1 (1), le sous-groupe Inv(X) est définissable.

Le lemme suivant se montre de manière analogue à [3, Lemma 2.7]

Lemme 4.2. Soient X un sous-ensemble B-définissable de 𝕂^{n} ayant un bon rang et de degré de Morley 1, et ē_{0} et ē_{1} deux génériques B-indépendants. Si ē_{0} −Hē_{1} | ⌣_{B} ē_{0}

pour une matrice H de GL_{n}(C), alors X est équivalent à un sous-espace affine sur C. De plus, si X est équivalent à un sous-espace vectoriel sur C, alors H est dans Inv(X).

Définition 4.3. On appelle ensemble préfinitaire toute partie définissable X de 𝕂^{2n} à paramètres b̄ et de bon rang ω · n telle que pour tout générique ā de X, les conditions suivantes sont réalisées :

(a) dim.lin_{C}(ā) = 2n.

(b) pour toute matrice M de M_{2n}(C) de rang 0 < d < 2n,

deg.dif(ā/b̄ ∪ Mā) < n − d/2.

(c) X est équivalent à un sous-espace affine sur C.

Notons qu’un ensemble préfinitaire est nécessairement de degré de Morley 1 car tout sous-groupe additif définissable est connexe.

Rappelons que les types de bon rangs ne dévient pas sur les constantes. Ainsi, on peut adapter les arguments utilisés pour les ensembles préalgébriques dans [3, Lemma 3.3], pour vérifier que la préfinitude est conservée par équivalence, translation et action de GL_{2n}(C).

On dira qu’une formule φ(x̄, ȳ) encode un ensemble définissable X si il existe b̄ ∈ 𝕂 tel que X et φ(x̄, b̄) sont équivalents.

Définition 4.4. Un code α est une formule φ_{α}(x̄, ȳ) telle que (pour un entier n_{α}) :

(a) La longueur de x̄ est 2n_{α}.

(b) L’ensemble φ_{α}(x̄, b̄) est soit vide, soit génériquement un sous-groupe additif de rang ω · n_{α}.

(c) Si ā est une réalisation de φ_{α}(x̄, b̄) alors ā vérifie les conditions (a) et (b) de la définition 4.3.

(d) Si φ_{α}(x̄, b̄) et φ_{α}(x̄, b̄′) non vides sont équivalents alors b̄ = b̄′.

(e) Pour toute matrice M ∈ GL_{2n_{α}}(C), l’ensemble φ_{α}(M · x̄, b̄) est encodé par φ_{α}.

Rappelons que les rangs de Lascar et de Morley sont les mêmes pour un groupe définissable dans DCF_{0}, il en est donc de même pour un ensemble préfinitaire.

Notons que dans la théorie DCF_{0} le rang de Morley n’est pas définissable. Afin de montrer que tout groupe préfinitaire peut être codé, nous devons donc vérifier que l’on peut exprimer sur les paramètres qu’un sous-groupe additif a un bon rang.

Lemme 4.5. La propriété d’être un sous-groupe additif G définissable avec un bon rang est définissable sur les paramètres dans le sens suivant : si φ(x̄, b̄) définit un sous-groupe additif ayant un bon rang ω · n, il existe une formule du type de b̄ tel que pour tout b̄′ satisfaisant cette formule, φ(x̄, b̄′) a les mêmes propriétés.

Démonstration. Commençons par remarquer qu’un sous-groupe G définissable de 𝕂^{m} a un bon rang ω · n si et seulement si il est de degré différentiel supérieur ou égal à n et tout sous-groupe propre définissable est de degré différentiel strictement inférieur à n (voir [12, Théorème 6.7]).

Soit G un sous-groupe additif définissable de 𝕂^{m} avec un bon rang ω · n. Alors G est défini par un système différentiel linéaire S à paramètres b̄ que l’on note Sb̄. Pour exprimer que Sȳ est de degré différentiel supérieur ou égal à n, il suffit de dire qu’une projection sur n coordonnées est dans le type générique de 𝕂^{n} ce qui est définissable (remarque 4.1 (1)).

Fixons un générique (a_{1}, ..., a_{m}) de G sur b̄. Si a_{i} est différentiellement algébrique sur a_{i_{1}}, ...., a_{i_{k}} au dessus de b̄, on peut supposer que Sb̄ contient une équation différentielle linéaire l’exprimant et on peut la choisir unitaire en a_{i} (c.à.d. de la forme a_{i}^{(r)} + .... = 0). Ainsi, pour tout paramètre ȳ, le système Sȳ est de degré différentiel inférieur ou égal à n.

Il reste maintenant à exprimer que le degré chute dès que l’on considère un sous-groupe propre. Pour un sous-groupe propre donné par une nouvelle équation différentielle linéaire, cela s’exprime sur les paramètres car il suffit de dire qu’une certaine projection n’est pas de degré différentielle maximale. Pour l’exprimer globalement, il suffit de montrer que l’on peut borner l’ordre des équations différentielles à considérer.

Notons M l’ordre de Sȳ, c’est à dire l’ordre maximal en toute les variables x_{1}, .., x_{m}. Considérons un sous-groupe défini par Sȳ et une seule nouvelle équation différentielle linéaire g(x_{1}, ..., x_{k}) = 0 (sur des paramètres quelconques). On peut supposer qu’il existe l ≤ k tel que a_{1}, ..., a_{l} est différentiellement transcendant et a_{l+1}, ..., a_{k} différentiellement algébrique sur a_{1}, ..., a_{l} au dessus de b̄. Si l = k, il n’y a rien à dire sur ȳ, le degré du sous-groupe chute nécessairement. Sinon à l’aide des équations du système, on commence à transformer g tel que l’ordre de g en les variables x_{l+1}, ..., x_{k} soit inférieur à M.

Sous-lemme. Soient deux équations différentielles linéaires g_{0}(x_{1}, ..., x_{k}) = 0 et f(x_{1}, ..., x_{k}) = 0 d’ordre en x_{l+1}, ..., x_{k} borné par m_{0} telles que f(x_{1}, ..., x_{k}) = 0 a ordre total borné par M et est non trivial en x_{k}. Alors le système g_{0} = 0 et f = 0 implique un équation différentielle linéaire g_{1}(x_{1}, ..., x_{k−1}) = 0 telle que l’ordre en x_{l+1}, ..., x_{k} de g_{1} est borné par M^{2} + m_{0} et l’ordre total de g_{0} est borné par le maximum de l’ordre total de g_{1} et de M + m_{0}.

Démonstration. On construit h_{1} en enlevant à g_{0} les dérivées de x_{k} d’ordre supérieur ou égal à l’ordre de x_{k} dans f à l’aide de dérivées de f d’ordre borné par l’ordre de x_{k} en g_{0}. On en déduit que l’ordre de h_{1} en x_{l+1}, ..., x_{k} est borné par M + m_{0} et l’ordre total de g_{0} est borné par le maximum de l’ordre total de h_{1} et M +m_{0}. Si h_{1} est non trivial en x_{k}, on itère ce procédé avec f et h_{1}, jusqu’à ce que h_{r} soit trivial en x_{k}. Ceci se fait en au plus M étapes. Un calcul simple montre alors que l’ordre en x_{l+1}, ..., x_{k} de h_{r} est borné par M^{2} + m_{0}. De plus on remarque facilement que pour tout i < r, l’ordre total de h_{i} est plus petit que le maximum de celui de f et de h_{i+1}. On en déduit que l’ordre total de g_{0} est borné par le maximum de l’ordre total de h_{r} et de M + m_{0}. On pose g_{1} = h_{r}. □

On utilise ce sous-lemme avec l’équation de S qui affirme que x_{k} est différentiellement algébrique sur x_{1}, ..., x_{l}. On obtient donc une équation g_{1}(x_{1}, ..., x_{k−1}) = 0. Si cette équation définit elle-même un sous-groupe propre, on traite ce cas par induction sur k. Sinon, cette équation est impliquée par le système S. Dans ce cas, on itère le procédé de suppression de variables jusqu’à obtenir g_{i} identiquement nulle. Ceci se fait en au plus k − l étapes. En utilisant le sous-lemme précédent, un calcul simple montre que l’ordre total de g est alors borné par M(2 + (k − l − 1)M). □

Lemme 4.6. Tout groupe préfinitaire peut être codé.

Démonstration. Soit X un groupe préfinitaire défini par φ(x̄, b̄). Par le lemme 4.5, on peut supposer que φ(x̄, ȳ) satisfasse (b). Les conditions du (c) sont définissables, donc on peut supposer également que φ(x̄, ȳ) les satisfasse. Les conditions (d) et (e) s’obtiennent exactement de la même façon que dans la preuve de [3, Lemma 4.3]. (Notons que DCF_{0} a élimination d’imaginaires.) □

Comme pour les ensembles préalgébriques des corps algébriquement clos de caractéristique fini, on peut choisir un ensemble de bons codes C tel que tout groupe préfinitaire est encodé par un unique code dans C.

Pour chaque code α, on choisit m_{α} tel que pour toute suite de Morley ē_{i} de φ_{α}(x̄, b̄) et tout b̄′ de même taille que b̄, alors l’un des ē_{i} est indépendant de b̄′ sur b̄. (On peut choisir un tel m_{α} plus petit que |b| + 2 par la remarque 4.1 (2) .)

Théorème 4.7. Pour tout code α et tout λ ≥ m_{α}, il y a une formule Ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{λ}) telle que :

(a) Pour toute suite de Morley ē_{0}, …, ē_{λ} de φ_{α}(x̄, b̄), on a Ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{λ}).

Réciproquement, pour chaque réalisation (ē_{0}, …, ē_{λ}) de Ψ_{α} :

(b) Il existe un unique b̄ tel que ⊧ φ_{α}(ē_{i}, b̄) pour 0 ≤ i ≤ λ. De plus, b̄ ∈ dcl(ē_{i_{1}}, …, ē_{i_{mα}}) pour tout i_{1} < ⋯ < i_{m_{α}}. (On appelle b̄ le paramètre canonique de la suite ē_{0}, …, ē_{λ}.)

(c) ē_{0}, …, ē_{λ} sont linéairement indépendants sur C.

(d) Ψ_{α}(f̄_{0}, …, f̄_{λ}) pour tout ( f̄_{0} ; ⋮ ; f̄_{λ} ) = M ( ē_{0} ; ⋮ ; ē_{λ} ) avec M ∈ GL_{λ+1}(C).

(e) Ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{i−1}, ē_{i} − Hē_{j}, ē_{i+1}, …, ē_{λ}) pour tout H de Inv(φ_{α}(x̄, b̄)) et tout i ≠ j. ^{2}

(f) Si ē_{i} est générique dans φ_{α}(x̄, b̄), alors

ē_{i} − Hē_{j} |̸ ⌣_{b̄} ē_{i}

pour tout j ≠ i et H dans GL_{2n_{α}}(C) \ Inv(φ_{α}(x̄, b̄)).

Démonstration. Montrons pour commencer que le type partiel suivant vérifie toutes les propriétés voulues :

Σ(ē_{0}, …, ē_{λ}) = “ il existe b̄ tel que ē_{0}, …, ē_{λ}

est une suite de Morley de φ_{α}(x̄, b̄) ”

Par définition, Σ satisfait (a) et (c). Le choix de m̄_{α} avec la propriété (d) du code, nous donne (b). Notons que l’uple ē_{0}...ē_{λ} a un bon rang et est donc indépendant des constantes. On en déduit que toute transformation linéaire de cette suite reste une suite de Morley sur b̄ ainsi que la transformation d’un seul élément de la suite par une matrice du sous-groupe invariant associé au code. Par conséquent Σ satisfait

2Par (b) et λ ≥ m_{α} cette nouvelle suite a aussi pour paramètre canonique b̄.

(d) et (e). Par le lemme 4.2, on a (f).

Par compacité on choisit Ψ_{0} dans Σ satisfaisant les propriétés (b), (c) et (f).

On regarde maintenant le groupe GL_{λ+1}(C) comme sous-groupe de GL_{2n_{α}(λ+1)}(C) agissant par combinaisons linéaires d’uples de longueur 2n_{α}. Le groupe GL_{λ+1}(C) est connexe donc indécomposable dans la structure C qui est un pur corps algébriquement clos. Pour chaque H ∈ GL_{2n_{α}}(C), soit C_{H} le conjugué de GL_{λ+1}(C) par la matrice

(\begin{matrix}H \\ & Id \\ & & . & . & . \\ & & & & & Id \end{matrix})

Par le théorème des indécomposables de Zilber, le sous-groupe G(α, ē_{0}, ..., ē_{λ}) engendré par {C_{H}}_{H∈Inv(φ_{α}(x̄,b̄))} est uniformément définissable sur b̄. Notons que pour tout H ∈ Inv(φ_{α}(x̄, b̄)), la transformation

(ē_{0}, ..., ē_{i}, ...ē_{λ}) → (ē_{0}, …, ē_{i−1}, ē_{i} − Hē_{j}, ē_{i+1}, …, ē_{λ})

est dans ce sous-groupe.

Soit Ψ définie par

⋀_{τ∈G(α,ē_{0},...,ē_{λ})} Ψ_{0}(τ(ē_{0}, …, ē_{λ}))

Alors Ψ vérifie toutes les propriétés. □

5. La chute des rouges

Dans cette section, on travaille dans le corps différentiel rouge 𝕂_{ω} (c.f. Théorème 2.1) et on considère des structures de K_{0} plongées de manière autosuffisantes dans 𝕂_{ω}.

Une pseudo-suite de Morley de longueur λ + 1 (avec λ ≥ m_{α}) pour le code α est une réalisation rouge d’une formule Ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{λ}) satisfaisant les propriétés du théorème 4.7. On appellera transformation d’une pseudo-suite de Morley (ē_{0}, …, ē_{λ}), une pseudo-suite obtenue par transformations successives de types (d) ou (e) dans le théorème 4.7. Notons que le paramètre canonique d’une transformation peut être différent de celui de la pseudo-suite de départ.

Lemme 5.1. Pour tout code α et tout entier r, il existe une fonction entière λ = λ(α, r) telle que pour toute extension autosuffisante k ≤ k′ dans K_{0} vérifiant C_{k′} = C_{k} et toute pseudo-suite de Morley ē_{0}, …, ē_{λ} dans k′, avec paramètres b̄, si la suite ne peut pas être transformée en une pseudo-suite de Morley à paramètres dans k, alors on peut extraire une sous-suite de Morley (au sens de DCF_{0}) sur k ∪ b̄ de longueur r.

Démonstration. La preuve suit essentiellement celles des articles précédents (voir [8], [3]). Le but est de borner le nombre d’éléments de la suite qui sont des combinaisons linéaires de prédécesseurs modulo k. Soit X une partie quelconque de cette suite. Pour chaque ē_{i} inclus dans le C_{k′}-espace vectoriel engendré par X au-dessus de k, on associe une matrice H_{i} à coefficients dans C_{k′} = C_{k} tel que ē_{i} = H_{i}X + m_{i} avec m_{i} ∈ k. La dimension linéaire ξ de l’espace de telles matrices est bornée en fonction de |X| et α. Avec ξ + 1 tels ē_{i}, on obtient une combinaison linéaire qui chute dans k. Par hypothèse le nombre de telles combinaisons linéaires est borné par m_{α} et donc le nombre de ē_{i} comme ci-dessus est borné en fonction de |X| et α. Alors le résultat suit en prenant X minimale contenant ē_{0}, …, ē_{m_{α}−1} telle que l’ensemble des coordonnées de la pseudo-suite de Morley est contenu dans le sous-espace vectoriel engendré par X au-dessus de k. □

De la même façon que dans [3], on choisit deux fonctions μ et μ^{∗} définies sur l’ensemble de codes C, à valeurs dans ℕ et à fibres finies telles que :

– μ(α) ≥ max(λ(α, μ^{∗}(α)), m_{α}) ;

– μ^{∗}(α) ≥ max(λ(α, m_{α} + 1) + 1, 2n_{α} + 1). et on définit la sous-classe K_{μ} des structures dans K_{0} qui pour tout code α ∈ C, ne possèdent pas de pseudo-suite de Morley de longueur μ(α) + 1.

La classe K_{μ} est évidemment élémentaire. (Ajout d’axiomes universels aux axiomes de la classe K_{0}). Nous commençons par vérifier que cette classe a la propriété d’amalgamation.

Les conditions sur les fonctions μ et μ^{∗} permettent de montrer le lemme suivant en appliquant le lemme 5.1 de la même manière que dans la preuve de [3, Lemma 8.1] :

Lemme 5.2. Soient k, k_{1}, k_{2} ∈ K_{0} tels que k est autosuffisant dans k_{1} et k_{2} et tels que C_{k⟨k_{1}∪k_{2}⟩} = C_{k_{1}} = C_{k_{2}} = C_{k}. Si pour un code α ∈ C, l’amalgame libre k⟨k_{1} ∪ k_{2}⟩ contient une pseudo suite de Morley de longueur μ(α) + 1 pour le code α, alors le paramètre canonique d’une de ses transformations est contenu dans k_{1} ou dans k_{2}.

Pour montrer la propriété d’amalgamation pour la classe K_{μ}, nous allons ajouter des constantes afin de travailler à corps de constantes fixe.

Lemme 5.3. Si k ∈ K_{μ} et k′ est une extension autosuffisante de k obtenue en ajoutant des constantes alors k′ ∈ K_{μ}.

Démonstration. Soit ē_{0}, …, ē_{λ} une pseudo-suite de Morley dans k′ pour le code α. Considérons, ē′_{0}, …, ē′_{λ} dans R(k) tel que ē_{i} = M_{i}ē′_{i} où les M_{i} sont des matrices sur le corps des constantes de k′. Par conséquent, au sens de DCF_{0}, la clôture différentielle de k′ satisfait la formule

∃M_{1}, …, M_{λ} des matrices sur C de tailles fixées telles que Ψ_{α}(M_{1}ē′_{1}, ..., M_{λ}ē′_{λ}).

Cette formule est donc satisfaite dans la clôture différentielle de k (qui est sousstructure élémentaire de la clôture différentielle de k′). Du fait que prendre la clôture différentielle n’ajoute pas de constantes, on obtient une pseudo-suite de Morley dans k. □

Le lemme suivant se montre de manière analogue au [3, Lemma 7.3] (en remarquant tout d’abord, par le lemme précédent, que le corps des constantes est fixe dans ce cas) :

Lemme 5.4. Soient k ∈ K_{μ} et k′ ∉ K_{μ} une extension minimale de k contenant une pseudo-suite de Morley ē_{0}, …, ē_{μ(α)} de paramètre canonique b̄ ∈ k pour un code α ∈ C. Alors il existe une pseudo-suite de Morley ē′_{0}, …, ē′_{μ(α)} pour le même code et avec même paramètre canonique telle que k contient ē′_{0}, …, ē′_{μ(α)−1} et k′ = k⟨ē′_{μ(α)}⟩. Notons qu’alors α est l’unique code vérifiant ces propriétés.

Théorème 5.5. La classe K_{μ} a la propriété d’amalgamation.

Démonstration. Il suffit de montrer la propriété pour des extensions minimales k_{1} et k_{2} de k dans K_{μ}. Notons k′ l’amalgame libre k⟨k_{1} ∪ k_{2}⟩. On peut supposer que C_{k′} = C_{k} (il suffit pour cela d’étendre k par les constantes de k′ en utilisant le lemme 5.3). Avec cette hypothèse, la prédimension est sous-modulaire entre k et k′ et par conséquent k′ est une extension minimale de k_{1} et de k_{2}. À l’aide des lemmes 5.2, 5.4, 3.3 et de la remarque 4.1 (2), on montre alors, de la même manière que dans la preuve du [3, Theorem8.2], que si k′ ∉ K_{μ} alors k_{1} et k_{2} sont isomorphes au-dessus de k. □

On suit la notation des articles précedents et on dit qu’un corps K dans K_{μ} est riche si pour tout sous-corps autosuffisant finiment engendrée k dans K et toute extension finiment engendré k ≤ k′ dans K_{μ}, il existe une k-copie de k′ autosuffisante dans K. Par la propriété d’amalgamation, il y a un unique corps riche dénombrable (à isomorphisme près). Maintenant, nous vérifions que les corps riches correspondent aux modèles ω-saturés d’une théorie. Pour cela, nous devons commencer par décrire les extensions minimales qui ne restent pas dans la classe K_{μ}.

Notons que dans le lemme suivant, on ne suppose pas qu’une extension préfinitaire est engendrée par un type de bon rang dans DCF_{0} (contrairement aux ensembles préfinitaires qui sont par définition des ensembles définissables ayant bon rang).

Lemme 5.6. Soient k ∈ K_{μ} et k′ une extension minimale de k. Alors :

(1) Ou bien k′ n’est pas une extension préfinitaire et alors k′ ∈ K_{μ}.

(2) Ou bien k′ est une extension préfinitaire et alors k′ ∉ K_{μ} si et seulement si k′ contient une pseudo-suite de Morley ē_{0}, …, ē_{μ(α)} de paramètre canonique b̄ pour un code α ∈ C telle que l’une des conditions suivantes soit réalisée :

(a) k contient ē_{0}, …, ē_{μ(α)−1} et k′ = k⟨ē_{μ(α)}⟩.

(b) μ^{∗}(α) éléments parmis ē_{0}, …, ē_{μ(α)} forment (au sens de DCF_{0}) une suite

de Morley de φ_{α}(x̄, b̄) au-dessus de k ∪ b̄.

Démonstration. Par le lemme 5.3, on peut supposer que C_{k′} = C_{k}. Si k′ est engendré par un point blanc différentiellement algébrique ou générique alors R(k′) = R(k) et donc k′ ∈ K_{μ} car k′ contient les même pseudo-suites de Morley que k.

Sinon, supposons que k′ contienne une pseudo-suite de Morley ē_{0}, …, ē_{μ(α)} de paramètre canonique b̄ pour un code α ∈ C. On distingue deux cas :

Ou bien après une transformation de ē_{0}, …, ē_{μ(α)}, on peut supposer que k contient b̄. Alors par le lemme 5.4, on est dans le cas (2a) et dans ce cas k′ est une extension préfinitaire correspondant en fait à un groupe préfinitaire (en particulier cette extension a un bon rang).

Sinon, par le lemme 5.1, au moins μ^{∗}(α) éléments parmis ē_{0}, …, ē_{μ(α)} forment une suite de Morley de φ_{α}(x̄, b̄) au-dessus de k ∪ b̄. En particulier, il existe un élément ē_{i} générique au-dessus de k ∪ b̄. Ce n’est pas possible si k′ est engendré par un générique rouge car dans ce cas dim.lin_{C}(R(k′)/ R(k)) = 1. Par ailleurs ē_{i} a un rang coloré infini sur k, donc k′ ne peut-être engendré par un uple rouge de rang coloré fini. Par conséquent k′ est nécessairement préfinitaire. □

Corollaire 5.7. Pour chaque code α ∈ C il existe un axiome ∀∃, χ_{α}, tel que tout corps k ∈ K_{μ} différentiellement clos satisfait χ_{α} si et seulement s’il n’admet aucune extension minimale préfinitaire k⟨ā⟩ dans K_{μ}, donnée par une réalisation générique rouge ā d’une cossette définissable sur k d’un groupe codé par α.

Démonstration. De la même façon que dans la preuve [3, Corollary 7.5], à partir de la caractérisation des extensions minimales qui ne sont pas dans K_{μ}, en utilisant le lemme 5.6 et le fait que μ^{∗} est à fibres finies, on vérifie facilement qu’il existe une partie finie C_{α} ⊂ C de codes telle qu’une telle extension k⟨ā⟩ ∉ K_{μ} si et seulement si k⟨ā⟩ contient une pseudo-suite de Morley de longueur μ(β) + 1 pour un certain β ∈ C_{α}. Notons que comme k est différentiellement clos, pour chaque ā générique rouge d’une cossette définissable sur k d’un groupe codé par α, il existe b̄ et ā′ dans k tel que ā est générique de l’ensemble préfinitaire défini par φ_{α}(x̄ − ā′, b̄).

Ainsi, k n’a pas une telle extension minimale dans K_{μ} associée au code α si et seulement si k satisfait pour tous paramètres ā′ et b̄ de k tels que φ_{α}(x̄ − ā′, b̄) non vide, il existe un code β ∈ C_{α}, des uples rouges m̄_{0}, ..., m̄_{μ(β)} de k et des matrices M_{0}, ..., M_{μ(β)} à coefficients dans C_{k} tel que la formule Ψ_{β}(M_{0} · x̄ + m̄_{0}, …, M_{μ(β)} · x̄ + m̄_{μ(β)}) est générique au sens DCF_{0} dans φ_{α}(x̄ − ā′, b̄).

Du fait que φ_{α}(x̄ − ā′, b̄) a un bon rang, l’équivalence d’une sous-formule est une propriété uniformément définissable en les paramètres (par définissabilité du générique). De plus, en utilisant l’élimination des quantificateurs dans DCF_{0}, on remarque que cette propriété est définissable par une formule ∀∃.

□

Considérons maintenant la théorie T^{μ} suivante :

(1) Axiomatisation de K_{μ};

(2) Axiomatisation de DCF_{0} ;

(3) Les axiomes χ_{α} pour α ∈ C;

(4) Pour toute formule ϕ(x̄, ȳ) à géométries triviales, si l’ensemble ϕ(x̄, b̄) est non vide alors ϕ(x̄, b̄) a une réalisation rouge.

Théorème 5.8. Un corps K de K_{μ} est riche si et seulement si K est un modèle ω-saturé de T^{μ}.

Démonstration. Montrons qu’un modèle K ω-saturé est riche. Soit k finiment engendré tel que k ≤ K et k′ une extension minimale de k dans K_{μ}.

Si k′ est engendré au-dessus de k par un élément différentiellement algébrique blanc alors il suffit de réaliser le type corpique de cet élément dans K ce qui est possible car K est un modèle ω-saturé de DCF_{0}.

Si δ(k′/k) = 0 et k′ est engendré par une base rouge ā de taille 2n. Après avoir ajouté des éléments différentiellement algébriques, on peut supposer que le type p de ā sur k dans DCF_{0} a rang U égal à ω · n. Dans ce cas :

Ou bien le type rouge p^{∗} de ā sur k est trivial et alors par les axiomes (4) et la saturation de K, on trouve une réalisation rouge de p dans K (c’est-à-dire K réalise p^{∗}).

Ou bien p^{∗} est alors le générique d’une cossette d’un groupe préfinitaire codé par un code α ∈ C. Dans ce cas, l’amalgame libre de K et k′ au-dessus de k n’est pas dans K_{μ} par l’axiome χ_{α}. Alors par le théorème 5.5, le corps k′ doit se plonger nécessairement dans K de manière autosuffisante au-dessus de k.

Si k′ est engendré par le générique rouge au-dessus de k, on l’approxime dans K par des types rouges triviaux et donc par saturation, ce générique est réalisé dans K. Le même argument d’approximation montre que K réalise le générique blanc.

Montrons maintenant que les corps riches sont modèles de T^{μ}. Soit K un corps riche. Alors K est bien dans K_{μ} et il est différentiellement clos car tout type différentiellement algébrique sur un ensemble fini est réalisé par un point blanc dans K. (Il suffit de plonger l’amalgame libre d’une extension par un point différentiellement algébrique). Par richesse, il contient toujours des réalisations des extensions triviales (qui restent dans K_{μ}) au-dessus de paramètres donnéq. Si jamais on restait dans la classe K_{μ} en ajoutant à K une réalisation rouge générique d’une cossette d’un groupe codé par α ∈ C, on pourrait alors facilement trouver dans K une suite de Morley rouge de ce groupe, de longueur arbitrairement grande, et obtiendrait, par la propriété (a) de Ψ_{α}, une pseudo-suite de Morley de longueur trop grande.

Puisque tous les riches se correspondent par va et vient infini, on déduit qu’ils sont tous ω-saturés. □

Pour la suite, nous notons K l’unique modèle riche dénombrable.

Corollaire 5.9. La théorie T^{μ} est de rang ω·2 et les rouges forment un sous-groupe additif de rang ω.

Démonstration. Soit k′ une extension minimale affine de bon rang sur k engendrée par une base rouge ā. Rappelons que le type de ā est alors le générique d’une cossette définissable d’un groupe codé par φ_{α}(x̄, b̄), où l’on peut supposer b̄ autosuffisant. Du fait que la taille des pseudo-suites de Morley correspondantes est bornée, les réalisations rouges de φ_{α}(x̄, b̄) sont incluses dans l’espace vectoriel engendré par b̄ et une suite de Morley finie de cette formule. Comme C est de rang 1, le rang de Morley de φ_{α}(x̄, b̄) ∧ R(x̄) est donc fini.

Les extensions minimales de prédimensions nulles sont donc toutes de rangs finis et le même résultat suit pour toutes les extensions autosuffisantes de prédimensions nulles. De plus,comme on n’a pas collapser les extensions triviales, il y a des rouges de rang fini arbitrairement grand et donc le générique rouge est de rang ω.

Par connexité du groupe additif de K, le rang du générique blanc est au moins ω · 2 mais on a l’égalité car tout point est produit de deux rouges : en effet, pour a ∈ K, on considère une clôture autosuffisante k de a et on prend une paire de rouges r_{1}, r_{2} linéairement indépendants sur k telle que a = r_{1}·r_{2} et r_{1} est différentiellement transcendant sur k. Cette paire détermine alors une extension triviale qui est donc réalisée dans K.

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6. Les verts

Dans cette dernière section, nous travaillons dans le modèle riche K obtenu dans section 4.

Considérons le logarithme différentiel défini de la façon suivante :

\begin{aligned}𝔏∂ : & 𝔾_{m} & → & 𝔾_{a} \\ & x & → & \frac{x′}{x} \end{aligned}

où 𝔾_{m} (resp. 𝔾_{a}) dénote le groupe algébrique multiplicatif (resp. additif) de K. Notons que 𝔏∂ est un homomorphisme de groupes avec noyau 𝔾_{m}(C) = C^{∗}. On défini maintenant :

V = {x̄ ∈ 𝔾_{m} | 𝔏∂(x) ∈ R}

et on l’appelle ensemble de points verts de K. Il est un sous-groupe multiplicatif divisible (parce que R est un ℚ-espace vectoriel) qui contient de la torsion (toute la torsion de C^{∗}). Poizat [13] avait déjà noté que la structure réduite (K, V) n’est pas un mauvais corps, même si on oublie la dérivé (et donc les rouges). Nous répétons et complétons maintenant son argument. Dans le langage étendu, V a aussi rang ω (parce que le noyau de 𝔏∂ a rang 1 et l’application 𝔏∂ est surjective car K est différentiellement clos). De plus, V est divisible, et donc indécomposable (multiplicativement mais aussi additivement). Le théorème des indécomposables montre qu’il existe une borne ξ (en fait, 4) telle que tout élément de K s’exprime comme somme de ξ éléments de V. Cet énoncé reste alors vrai dans la structure réduite, donc K et V ont des rangs commensurables dans la structure (K, V). Maintenant, [14] donne l’existence d’un plus petit corps définissable F contenant le corps de constantes C. En passant au langage étendu, on déduit que F a rang fini, et donc F = C parce que C est algébriquement clos. Ainsi le rang de C dans le réduit reste 1, et le rang de K est au moins ω. Par commensurabilité de K et V et le fait que K est multiplicativement connexe, le rang de V reste ω et le rang de K est ω · 2 dans la structure réduite (K, V).

En utilisant l’application de Manin, on obtient des sous-groupes non-algébriques d’une variété semiabelienne donnée telles que la structure réduite n’a pas rang fini.

Références

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[4] F. Benoist Rangs et types de rang maximum dans les corps différentiellement clos, J. Symbolic Logic, 67, vol 3, 1178–1188, (2002).

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T. Blossier, Université de Lyon, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan UMR 5208 CNRS, 43 boulevard du 11 novembre 1918, F–69622 Villeurbanne Cedex, France

   E-mail address: blossier@math.univ-lyon1.fr

A. Martin Pizarro, Institut für Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin, D– 10099 Berlin, Allemagne. Adresse actuelle : Université de Lyon, Université Lyon 1, Institut Camille Jordan UMR 5208 CNRS, 43 boulevard du 11 novembre 1918, F–69622 Villeurbanne Cedex, France

   E-mail address: pizarro@mathematik.hu-berlin.de, pizarro@math.univ-lyon1.fr