LA FUSION LIBRE : LE CAS SIMPLE

MARTIN HILS

Résumé. Nous construisons la fusion libre de deux théories géométriques T_{1} et T_{2}, au-dessus d’un réduit commun T_{0} qui est supposé fortement minimal et ω-catégorique. Si T_{1} et T_{2} sont supersimples de rang SU 1 (et sous une hypothèse supplémentaire qui est satisfaite si les T_{i} sont stables ou si T_{0} a une géométrie triviale), nous montrons que les complétions de la fusion libre sont supersimples de rang SU au plus ω.

1. Introduction

En variant la méthode d’amalgamation de Fraïssé, Hrushovski a réussi dans [Hr92] à fusionner deux téories fortement minimales en une seule, si leurs langages sont disjoints. Avant, en 1988, il avait déjà emprunté la même méthode d’amalgamation pour construire une théorie fortement minimale non-localement modulaire qui n’interprète pas de groupe infini. Cette théorie est un contre-exemple extrême à la Conjecture de la trichotomie de Zilber qui dit que la géométrie d’un ensemble fortement minimal est triviale, linéaire ou elle provient d’un corps algébriquement clos. Poizat a divisé la méthode de construction par amalgamation en deux étapes : la construction d’une structure générique ω-stable de rang ω (appelée fusion libre dans le cas de la fusion), puis le collapse sur une théorie fortement minimale.

Hrushovski remarque dans son article originel sur la fusion [Hr92] que la fusion en une théorie fortement minimale devrait également être possible si les deux théories fortement minimales à fusionner s’intersecent dans la théorie d’un espace vectoriel sur un corps fini. Plus généralement, le problème d’une fusion au-dessus d’un souslangage se pose, à savoir la fusion de deux théories fortement minimales T_{1} et T_{2} audessus d’une troisième T_{0} (qui est un réduit commun). Pour des raisons techniques, il vaut mieux supposer que T_{0} est ω-catégorique.

Dans un travail en commun avec Assaf Hasson [HH06], nous avons étudié en détail la fusion libre au-dessus d’un sous-langage, sous l’hypothèse supplémentaire que les multiplicités soient préservées dans l’une des expansions T_{0} ⊆ T_{i} (i = 1, 2). La théorie de la fusion libre que nous avons construite est alors ω-stable avec un unique type de rang ω, et nous établissons le collapse sur une théorie fortement minimale dans le cas particulier où T_{1} et T_{2} sont localement modulaires. Enfin, Baudisch, Martin-Pizarro et Ziegler ont montré le collapse au-dessus d’un espace vectoriel sur un corps fini en toute généralité. Il est expliqué dans [Hi06] comment on peut obtenir un collapse pour T_{0} quelconque en utilisant leur résultat.

Date: 8 mars 2007.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary : 03C45 ; Secondary : 03C35, 03C60.

Key words and phrases. Model Theory, Fusion, Simple Theories.

Les résultats font partie de la thèse de doctorat de l’auteur, préparée à l’Université Paris 7 sous la direction de Zoé Chatzidakis et Frank O. Wagner. Les recherches étaient cofinancés par un DAAD Doktorandenstipendium D/02/02345.

Si l’on lève l’hypothèse sur les multiplicités, on n’obtient plus systématiquement une théorie ω-stable en fusionnant librement. En effet, il y a même des exemples où T_{1} et T_{2} sont localement modulaires et T_{0} a une géométrie triviale et tel que aucune complétion de T_{1}∪T_{2} ne soit stable (voir l’Exemple 5.8). Néanmoins, nous montrons dans cet article que l’on peut toujours fusionner librement T_{1} et T_{2} au-dessus de T_{0} en une théorie supersimple. En fait, cela reste même vrai si nous démarrons dans la catégorie des théories supersimples (de rang SU 1).

Il s’avère que le bon contexte pour une telle fusion libre (pas forcément stable) est bien plus général : au niveau de la construction, il suffit de supposer que T_{1} et T_{2} soient des théories prégéométriques, et que T_{0} soit fortement minimale et modulaire. Pour pouvoir axiomatiser la théorie de la fusion libre obtenue, il nous faudra mettre quelques gouttes d’uniformité.

L’article est organisé comme suit : D’abord, dans la Section 2, nous rappelons quelques résultats concernant les théories simples et les théories prégéométriques (des théories dans lesquelles la clôture algébrique induit une prégéométrie). Puis, nous construisons la fusion libre de deux théories prégéométriques T_{1} et T_{2} au dessus de leur réduit commun T_{0} qui est supposé fortement minimal et modulaire (Section 3), en considérant la théorie T_{ω} des structures riches d’une certaine classe d’amalgamation. Sous des hypothèses de définissabilité — élimination de ∃^{∞} dans T_{1} et T_{2} ainsi que ω-catǵoricité de T_{0} — nous donnons dans la Section 4 une axiomatisation explicite de T_{ω}, et nous déduisons que la fusion libre ainsi construite a un sens modèle-théoriquement, car alors tout modèle suffisamment saturé de T_{ω} est riche. À l’aide des notions d’indépendance présentes dans les théories T_{i} et de la notion d’un plongement fort, nous exhibons une notion d’indépendance | ⌣^{∗} dans (toute complétion de) T_{ω}.

Dans la Section 5, on supposera que T_{1} et T_{2} soient supersimples de rang SU égal à 1 (et T_{0} toujours ω-catégorique). Sous une hypothèse supplémentaire (satisfaite si les T_{i} sont stables ou si T_{0} a une géométrie triviale), nous montrons que toute complétion de T_{ω} est supersimple de rang SU au plus ω et que | ⌣^{∗} coïncide avec la relation de non-déviation. C’est le contenu du Théorème 5.5, l’un des résultats principaux de l’article. Ensuite, nous étudions les paires magnifiques de modèles de T_{ω} et nous obtenons comme résultat que toute complétion de T_{ω} a la propriété faible du non-recouvrement fini (wnfcp).

Enfin, dans la dernière section, nous discutons brièvement comment on peut utiliser les mêmes techniques pour généraliser la construction d’une courbe générique plane dans la théorie des corps algébriquement clos [CHKP02] ainsi que la construction de corps bicolores due à Poizat [Po99, Po01] aux théories supersimples de rang SU 1 et même aux théories (pré-)géométriques.

Je voudrais remercier Bruno Poizat pour son inspiration constante, fruit de sa curiosité inassouvissable et de sa façon de poser des questions.

2. Préliminaires

Dans ces préliminaires, nous rappelons quelques résultats connus ; la section nous sert également pour fixer la terminologie ainsi que des notations. Nous utilisons librement des résultats sur les théories stables. On pourra consulter [Pi96] ou [Sh90].

Nos notations sont plutôt standard. Nous écrivons AB pour A ∪ B, et A ⊆_{ω} B signifie que A est un sous-ensemble fini de B. En général, nous ne distinguons pas la structure 𝔐 et l’ensemble de base sous-jacent M et écrivons donc M pour les deux. Par un modèle monstre d’une théorie complète T, nous entendons un modèle ℭ ⊧ T qui est κ-saturé et fortement κ-homogène pour un cardinal régulier κ très grand. Quand nous utilisons un tel modèle monstre, tous les modèles considérés seront des sous-structures élémentaires de ℭ et petits (i.e. de cardinalité < κ), c’est à dire ℭ sert comme domaine universel pour T. Tout sous-ensemble de ℭ que nous considérons sera également petit dans ce sens.

2.1. Théories simples. La classe des théorie simples a été introduite par Shelah dans [Sh80], puis développée par Kim [Ki98] et Kim-Pillay [KP97]. À part le graphe aléatoire, les premiers exemples naturels sont les corps pseudofinis et les corps algébriquement clos avec automorphisme générique (voir [Hr02] et [CH99]).

Nous remarquons que des expansions génériques (prédicat générique, automorphisme générique) étudiées par Chatzidakis-Pillay [CP98] sont des sources de nouvelles théories simples et en général instables. Pour une introduction aux théories simples on peut consulter [Wa00].

Si tp(\overline{a}/BA) ne dévie pas au-dessus de A, on écrit \overline{a} | ⌣_{A} B. Par définition, une théorie (complète) est simple si la relation de non-déviation a un caractère local, c’est à dire si pour tout ensemble de paramètres B et tout uplet (fini) \overline{a} il existe A ⊆ B avec |A| ≤ |T | et \overline{a} | ⌣_{A} B. Si l’ensemble A en question peut toujours être choisi fini, on dit que T est supersimple. Toute théorie stable est simple, et une théorie stable est supersimple si et seulement si elle est superstable. Comme dans les théories stables, la relation de non-déviation | ⌣ a de jolies propriétés dans toute théorie simple. Notamment, elle fournit une notion d’indépendance dans le sens de la Définition 2.1, satisfaisant au Théorème d’Indépendance au-dessus d’un modèle.

Définition 2.1. Soit T une théorie complète et ℭ un modèle monstre de T. Puis, soit Γ une collection de triplets (\overline{a}, B, A) dans ℭ. Si (\overline{a}, B, A) ∈ Γ, on écrit \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} B. On dit que Γ est une notion d’indépendance si les propriétés suivantes (i)-(vii) sont satisfaites :

(i) (invariance) Γ est invariante par automorphismes de ℭ.

(ii) (non-trivialité) Pour tout \overline{a}, B, \overline{a} | ⌣_{B}^{Γ} \overline{a} si et seulement si \overline{a} ∈ acl(B).

(iii) (caractère local) Pour tout \overline{a} et B il existe un sous-ensemble A ⊆ B avec |A| ≤ |T | tel que \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} B.

(iv) (caractère fini) \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} B si et seulement si \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} B_{0} pour tout B_{0} ⊆_{ω} B fini.

(v) (extension) Pour tout \overline{a}, A et B il existe \overline{a}′ avec tp(\overline{a}′/A) = tp(\overline{a}/A) tel que \overline{a}′ | ⌣_{A}^{Γ} B.

(vi) (symétrie) Pour tout \overline{a}, \overline{b} et tout A on a \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} \overline{b} ssi \overline{b} | ⌣_{A}^{Γ} \overline{a}.

(vii) (transitivité) Pour tout \overline{a}, A, B, C on a \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} BC ⟺ \overline{a} | ⌣_{A}^{Γ} B et \overline{a} | ⌣_{AB}^{Γ} C.

Si Γ est une notion d’indépendance, on notera C | ⌣_{A}^{Γ} B si pour tout c̄ ∈ C fini on a c̄ | ⌣_{A}^{Γ} B.

On dit que Γ satisfait au théorème d’indépendance au-dessus d’un modèle si de plus, on a (viii) Pour tout modèle M ≼ ℭ, M ⊆ B_{1}, B_{2} et \overline{a}_{1}, \overline{a}_{2} tels que tp(\overline{a}_{1}/M) =

tp(\overline{a}_{2}/M), \overline{a}_{i} | ⌣_{M}^{Γ} B_{i} pour i = 1, 2 et B_{1} | ⌣_{M}^{Γ} B_{2}, il existe un uplet \overline{a} avec tp(\overline{a}/B_{i}) = tp(\overline{a}_{i}/B_{i}) (pour i = 1, 2) et \overline{a} | ⌣_{M}^{Γ} B_{1}B_{2}.

Le théorème suivant fournit une caractérisation abstraite de l’indépendance dans une théorie simple, et il s’avère extrêmement utile dans les applications. Il est souvent préférable de montrer la simplicité d’une théorie donnée en dévinant une notion d’indépendance Γ et en passant par ce théorème.

Théorème 2.2 (Théorème de Kim-Pillay [KP97] ). Soit T une théorie complète. Alors, T est simple si et seulement si T admet une notion d’indépendance Γ satisfaisant au théorème d’indépendance au-dessus d’un modèle.

De plus, si Γ est une telle notion d’indépendance, on a | ⌣ = | ⌣^{Γ}, où | ⌣ dénote la relation de non-déviation dans T.

Le rang U de Lascar a son analogue en simplicité (défini de la même façon), et il est noté SU. On observe que SU(p) = 0 si et seulement si p est algébrique. Une théorie simple est supersimple si et seulement si SU(p) < ∞ pour tout type réel p.

2.2. Propriété de n-amalgamation. La propriété de n-amalgamation a ses origines dans les travaux de Shelah, et elle a été considérée dans un contexte instable par Hrushovski, en montrant que les corps pseudofinis ont cette propriété pour tout n. Dans ce qui suit, nous discutons brièvement une variation, la propriété de n-amalgamation de modèles.

Définition 2.3. Soit T une théorie simple, M ⊧ T un modèle et soit Y un ensemble fini. Une famille S := (C_{w})_{w∈P(Y)} de sous-ensembles de M^{eq} satisfaisant, pour tout w ⊆ Y

(i) C_{w} ⊆ C_{w′} pour tout w ⊆ w′ ⊆ Y et (ii) C_{w} | ⌣_{⋃_{w′⊊w} C_{w′}} ⋃_{w̃⊉w} Cw̃.

est appelée un Y -système indépendant.

On dit que c’est un Y -système indépendant de modèles si en outre C_{w} = M_{w} ≼ M pour tout w ⊆ Y.

Dans [Sh90], Shelah appelle les systèmes indépendants des systèmes stables. Or, comme cette notion nous intéresse aussi dans des théories simples non-stables, ce terme prêterait à confusion.

Fait 2.4 ([Sh90, XII.2.5]). Soit T une théorie stable, et (M_{w})_{w∈P(Y)} un Y -système indépendant de modèles. Supposons que w ⊈ w̃_{i}, pour i = 1, …, r, et posons w′_{i} := w̃_{i} ∩ w.

Si, pour une formule φ(\overline{z}_{w}, \overline{z}w̃_{1}, …, \overline{z}w̃_{r}) et des uplets \overline{a}_{w} ∈ M_{w}, \overline{a}w̃_{i} ∈ Mw̃_{i} pour i = 1, … r, on a ⊧ φ(\overline{a}_{w}, \overline{a}w̃_{1}, …, \overline{a}w̃_{r}), alors il existe \overline{a}′_{w′_{i}} ∈ M_{w′_{i}} (avec \overline{a}′_{w′_{i}} = \overline{a}w̃_{i} si \overline{a}w̃_{i} ∈ M_{w′_{i}}) tels que ⊧ φ(\overline{a}_{w}, \overline{a}′_{w′_{1}}, …, \overline{a}′_{w′_{r}}). □

Une fois pour toute, on choisit un ordre total ≺ sur P(Y) tel que w ⊊ w′ implique w ≺ w′. Puis, si S = (C_{w})_{w∈P(Y)} est un Y -système indépendant, on introduit les notations suivantes : on pose A_{w}^{S} := ⋃_{w′⊊w} C_{w′} et B_{w}^{S} := ⋃_{w′≺w} C_{w′}.

Fait 2.5 ([Sh90, XII.2.3]). Supposons que S := (C_{w})_{w∈P(Y)} satisfait (i) et, pour tout w ⊆ Y, la propriété suivante :

(ii’) C_{w} | ⌣_{A_{w}^{S}} B_{w}^{S}.

Alors, S est un Y -système indépendant. □

Lemme 2.6. Soit T une L-théorie stable, T′ le réduit de T par rapport à L′ ⊆ L. Puis, soit S := (M_{w})_{w⊆Y} un Y -système indépendant de modèles de T. Alors S′ := (M′_{w})_{w⊆Y} est un Y -système indépendant de modèles de T′, où M′_{w} := M_{w} ↾_{L′}.

Preuve. Par 2.5, il suffit de montrer que M_{w} | ⌣′_{A_{w}^{S}} B_{w}^{S} pour tout w, la propriété (i)

étant trivialement satisfaite. Prenons \overline{m} ∈ M_{w} et posons p′ := tp_{L′}(\overline{m}/A_{w}^{S}). Pour toute L′(∅)-formule φ′(\overline{x}, \overline{y}) il existe une L′(A_{w}^{S})-formule χ′(\overline{y}) telle que pour tout \overline{c} on ait ⊧ χ′(\overline{c}) ssi φ′(\overline{x}, \overline{c}) est contenue dans une extension non-déviante de p′ à A_{w}^{S}\overline{c}. En particulier on a ⊧ χ′(\overline{a}) pour tout \overline{a} ∈ A_{w}^{S} avec φ′(\overline{x}, \overline{a}) ∈ p′.

On raisonne par l’absurde. On trouve donc \overline{b} ∈ B_{w}^{S} avec ⊧ ¬χ′(\overline{b}) ∧ φ′(\overline{m}, \overline{b}). Donc, par le Fait 2.4, il existe \overline{a} ∈ A_{w}^{S} avec ⊧ ¬χ′(\overline{a}) ∧ φ′(\overline{m}, \overline{a}). Contradiction.

□

Dans la majorité des cas dans la suite, l’ensemble Y sera n := {0, …, n − 1}. Nous notons P^{−}(n) := P(n)\{n}. Pour i = 0, …, n−1, î dénote l’ensemble n\{i} (un élément de P^{−}(n)). Pour tout w ∈ P^{−}(n), on se donne un ensemble (infini) de variables x_{w} tel que x_{w} ∩ x_{w′} = x_{w∩w′} pour tout w, w′. Si p_{w}(x_{w}) est un type complet et C_{w} ⊧ p_{w}, pour w′ ⊆ w, C_{w′} est le sous-ensemble de C_{w} qui correspond à l’inclusion x_{w′} ⊆ x_{w}.

Définition 2.7. Soit T simple, et n un entier naturel.

(1) Un problème de n-amalgamation de modèles est la donnée de types complets p_{w}(x_{w}) pour w ∈ P^{−}(n) tels que pour tout i ∈ n et tout Mî ⊧ pî on ait :

(M_{w})_{w⊆î} est un î-système indépendant de modèles.

(2) Une solution à un tel problème est la donnée d’un uplet de variables x_{n} (contenant ⋃_{i=0}^{n−1} xî) et un type complet p_{n}(x_{n}) tel que p_{n}(x_{n}) ⊢ pî(xî) pour tout i et si M̃_{n} ⊧ p_{n}, alors (M̃_{w})_{w∈P(n)} est un n-système indépendant de modèles.

(3) On dit que la théorie T a la propriété de n-amalgamation de modèles, si tout problème de n-amalgamation de modèles (dans T) admet une solution.

Le fait suivant est bien connu. Les deux parties se montrent simultanément par induction sur n et ≺, en utilisant 2.4 et 2.5.

Fait 2.8. Soit T stable, et (p_{w}(x_{w}))_{w∈P^{−}(n)} un problème de n-amalgamation de modèles de T. Alors

(1) Il existe une solution p_{n}(x_{n}) à ce problème.

(2) Cette solution est unique dans le sens suivant : si p′_{n}(x′_{n}) est une deuxième solution, alors p_{n} ↾_{⋃ xî} = p′_{n} ↾_{⋃ xî}. □

2.3. Théories prégéométriques. Dans cette section, nous donnons des faits basiques sur les théories (pré-)géométriques (voir la Définition 2.12). Pour la notion d’une prégéométrie combinatoire, nous référons à [Pi96].

Définition 2.9. Une prégéométrie (combinatoire) est la donnée d’un ensemble X et d’un opérateur de clôture cl(·) : P(X) → P(X) satisfaisant, pour tout A ⊆ X et pour tout a, b ∈ X (où a et b sont des singletons) :

(i) (monotonie) A ⊆ cl(A).

(ii) (transitivité) cl(cl(A)) = cl(A).

(iii) (caractère fini) Si a ∈ cl(A), il existe un sous-ensemble A_{0} ⊆ A fini tel que

a ∈ cl(A_{0}). (iv) (propriété d’échange de Steinitz) Si a ∈ cl(A ∪ {b}) \ cl(A), alors b ∈ cl(A ∪

{a}). Les ensembles de la forme A = cl(A) sont appelés clos.

Pour A ⊆ X, on peut localiser (X, cl) à A pour obtenir la prégéométrie (X, cl_{A}) où cl_{A}(B) := cl(A ∪ B) pour tout B ⊆ X.

Remarque 2.10. Soit (X, cl) une prégéométrie. On dit que l’ensemble B ⊆ X est indépendant au-dessus de A si b ∉ cl_{A}(B \ {b}) pour tout b ∈ B. On dit que B est une base pour C ⊇ B au-dessus de A si B est indépendant au-dessus de A et C ⊆ cl_{A}(B).

Par la propriété d’échange de Steinitz, de telles bases existent (tout sous-ensemble de C qui est indépendant au-dessus de A et maximal avec cette propriété est une base de C au-dessus de A), et deux bases ont la même cardinalité. Cette cardinalité est appelée la dimension de C au-dessus de A et notée dim(C/A).

Enfin, on dit que C est indépendant de D au-dessus de A, si dim(C_{0}/A) = dim(C_{0}/A ∪ D) pour tout sous-ensemble fini C_{0} de C.

Soit (X, cl) une prégéométrie.

– (X, cl) est triviale, si cl(A) = ⋃_{a∈A} cl({a}) pour tout A ⊆ X.

– (X, cl) est modulaire, si pour tous ensembles clos A, B ⊆ X, A est indépendant de B au-dessus de A ∩ B. De manière équivalente, pour tous ensembles clos A, B de dimension finie, dim(AB) = dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B).

– (X, cl) est localement finie si cl(A) est fini pour tout A ⊆_{ω} X.

Notons qu’une prégéométrie triviale est modulaire.

Fait 2.11. Soit (X, cl) une prégéométrie modulaire. Alors, le treillis des sousensembles clos de X est modulaire. Cela signifie : Si C et A ⊆ B sont des ensembles clos, alors cl(A(B ∩ C)) = B ∩ cl(AC).

Une théorie T élimine le quanteur ∃^{∞} si pour toute formule φ(x, \overline{z}) il existe une formule θ(\overline{z}) telle que T ⊢ ∃^{∞}xφ(x, \overline{z}) ↔ θ(\overline{z}). C’est équivalent à l’existence d’un entier n_{φ} satisfaisant, dans tout M ⊧ T : si pour \overline{b} ∈ M, la formule φ(x, \overline{b}) a plus de n_{φ} solutions dans M, alors φ(x, \overline{b}) a une infinité de solutions dans M.

Définition 2.12. – Une théorie complète T est appelée prégéométrique si dans

tout M ⊧ T, la clôture algébrique satisfait à la propriété d’échange de Steinitz.

– Si de plus T élimine ∃^{∞}, on dit que T est géométrique.

– On dit que la structure M est (pré-)géométrique si Th(M) l’est.

Nous avons emprunté la notion d’une théorie prégéométrique de [Ga05], où l’on peut aussi trouver quelques propriétés de base de ces théories.

Notons que dans toute structure M, l’opérateur acl(−) est monotone, transitif et de caractère fini. Il induit donc une prégéométrie sur M précisément s’il satisfait à la propriété d’échange de Steinitz.

Exemples 2.13. (1) Toute théorie fortement minimale (avec dim(A/B) = RM(A/B), plus généralement toute théorie supersimple de rang SU 1 est géométrique, et on a dim(A/B) = SU(A/B) dans une telle théorie. La propriété d’échange pour ces théories est une conséquence des inégalités de Lascar ; quant à l’élimination de ∃^{∞}, voir [Hr98, Lemma 4.2].

(2) La théorie des corps réel-clos, plus généralement toute expansion o-minimale de Th(ℚ, <) est géométrique [vdD98].

(3) ℚ_{p} (le corps des p-adiques) est géométrique. Plus généralement, toute théorie p-minimale est géométrique [HM97].

(4) Si T est géométrique et T_{P} la théorie qu’on obtient en ajoutant un prédicat aléatoire à T, alors toute complétion de T_{P} est géométrique [CP98].

Un exemple d’une théorie prégéométrique qui n’est pas géométrique est la théorie d’une relation d’équivalence avec exactement une classe à n éléments, pour tout n ∈ ℕ. Cette théorie est superstable de rang U égal à 2.

Définition 2.14. Soit T une théorie prégéométrique et dim la notion de dimension par rapport à la prégéométrie induite par acl.

– Pour p ∈ S^{n}(A) on pose dim(p) := dim(\overline{a}/A), où \overline{a} ⊧ p.

– Si π(x_{0}, …, x_{n−1}) est un type partiel (à paramètres dans A), on pose dim(π) := max{dim(p) | π ⊆ p ∈ S^{n}(A)}.

Soit π(x_{0}, …, x_{n−1}) un type partiel. Par induction sur n, on montre

(1)  dim(π(x_{0}, …, x_{n−1})) = n ⟺ ⊧ ∃^{∞}x_{0} … ∃^{∞}x_{n−1}π(\overline{x}).

Plus généralement pour r ∈ ℕ quelconque on a dim(π(x_{0}, …, x_{n−1}) ≥ r si et seulement s’il existe un sous-ensemble I ⊆ n de cardinalité r tel que la projection de π(\overline{x}) sur les coordonnées \overline{x}_{I} (donnée par ∃\overline{x}_{n\I}φ(\overline{x})) soit de rang r.

Notre définition de dim(π) ne dépend donc pas de l’ensemble de paramètres A considéré, et l’existence de points génériques en découle (si π est définit sur B, alors il existe \overline{a} ⊧ π avec dim(\overline{a}/B) = dim(π) : on dit qu’un tel uplet \overline{a} est générique dans π au-dessus de B). En particulier, si p ∈ S(B) et B ⊆ A, il existe q ∈ S(A) étendant p avec dim(q) = dim(p). (Un tel q est appelé une extension libre de p.) Notons également que dim(π(\overline{x})) est égal au minimum des dim(φ(\overline{x})) quand φ(\overline{x}) parcours les formules dans π(\overline{x}).

À l’aide de la caractérisation de dim(π(\overline{x})) ≥ r donnée ci-dessus, on établit les résulats suivants :

Fait 2.15. Soit T une L-théorie prégéométrique et T′ = T ↾ _{L′} un réduit (pour L′ ⊆ L). Alors on a :

(a) T′ est prégéométrique (géométrique si T est géométrique).

(b) Si π′ est un L′-type partiel, alors dim_{T} (π′) = dim_{T′}(π′).

Preuve. Nous donnons l’argument pour la première partie de (a), car il semble que ce fait — quoiqu’il admette une preuve élémentaire — n’est pas très connu. Soit donc T une L-théorie prégéométrique et T′ = T ↾ _{L′} un réduit. Soit C un ensemble de paramètres et a, b des singletons avec a ∈ acl_{T′}(Cb) \ acl_{T′}(C). Il faut montrer que b ∈ acl_{T′}(Ca). Soit p′(x, y) := tp_{L′}(a, b/C). On déduit des hypothèses que T′ |̸= ∃^{∞}y∃^{∞}xp′(x, y), en particulier T |̸= ∃^{∞}y∃^{∞}xp′(x, y). Comme T est prégéométrique, on a donc T |̸= ∃^{∞}x∃^{∞}yp′(x, y) et enfin T′ |̸= ∃^{∞}x∃^{∞}yp′(x, y), c’est à dire b ∈ acl_{T′}(Ca).

Autrement dit : une théorie est prégéométrique si et seulement si les quanteurs ∃^{∞}x et ∃^{∞}y commutent, et cette dernière propriété est préservée dans des réduits.

□

Fait 2.16. Soit T une théorie géométrique. Alors, la dimension est définissable dans T, c’est à dire pour toute formule φ(\overline{x}, \overline{z}) et tout entier r il existe une formule θ(\overline{z}) telle que dim(φ(\overline{x}, \overline{b})) = r si et seulement si ⊧ θ(\overline{b}). □

Définition 2.17. Soit T une théorie prégéométrique et soit p = tp(\overline{a}/B) ∈ S(B) un type donné, \overline{a} = (a_{0}, …, a_{n−1}). Pour I, J ⊆ n on pose k_{I/J} := d(a_{I}/a_{J}B).

Soit φ(\overline{x}, \overline{z}) une formule telle que φ(\overline{x}, \overline{b}) soit dans p. On dit que φ(\overline{x}, \overline{z}) est rang-complète par rapport à p si les conditions suivantes sont satisfaites :

– Si φ(\overline{x}, \overline{b}′) ≠ ∅, alors dim(φ(\overline{x}, \overline{b}′)) = dim(\overline{a}/B).

– ⊧ φ(\overline{a}′, \overline{b}′) implique dim(\overline{a}′_{I}/\overline{a}′_{J} \overline{b}′) ≤ k_{I/J} pour tout I, J ⊆ n.

Notons que si ⊧ φ(\overline{a}′, \overline{b}′) et dim(\overline{a}′/\overline{b}′) = dim(\overline{a}/\overline{b}), alors dim(\overline{a}′_{I}/\overline{a}′_{J} \overline{b}′) = k_{I/J} pour tout I, J ⊆ n.

La formule φ(\overline{x}, \overline{z}) est dite rang-complète s’il existe \overline{b} et un type p tels que φ(\overline{x}, \overline{b}) soit rang-complète par rapport à p.

Lemme 2.18. Soit T une théorie géométrique et soit p = tp(\overline{a}/B) ∈ S(B) un type donné. Alors, p contient une formule φ(\overline{x}, \overline{b}) telle que φ(\overline{x}, \overline{z}) soit rang-complète par rapport à p. Plus précisément, ces formules sont cofinales dans p. □

Notons que, par définition, si φ(\overline{x}, \overline{b}) est rang-complète par rapport à p ∈ S(\overline{b}), alors p est générique dans φ(\overline{x}, \overline{b}).

Notation. Si T est une théorie prégéométrique, nous notons A | ⌣_{B}^{alg} C le fait que A et C sont algébriquement indépendant au-dessus de B, c’est à dire que dim(A_{0}/BC) = dim(A_{0}/B) pour tout A_{0} ⊆_{ω} A.

Fait 2.19. Dans toute théorie prégéométrique, | ⌣^{alg} définit une notion d’indépendance au sens de la Définition 2.1. □

Notons que si | ⌣^{alg} est égal à la relation de non-déviation, alors T est supersimple de rang SU égal à 1.

3. Fusion libre de théories prégéométriques

Dans cette section, nous montrons comment on peut fusionner librement deux théories prégéométriques, au-dessus d’une théorie fortement minimale et modulaire, en utilisant la méthode d’amalgamation de Hrushovski. Nous définissons la classe des fusions (C̃_{0}, ≤) (avec une notion de plongement fort ≤), et nous mettons en place les outils de base pour le travail dans cette classe.

Il est utile d’introduire plusieurs notions de clôtures (ce que nous faisons), dont chacune aura sa place dans la suite.

Puis, nous montrons l’existence des amalgames libres dans (C̃_{0}, ≤), c’est à dire dans la classe des fusions avec les plongements forts comme plongements. En particulier, il s’en suit que (C̃_{0}, ≤) a la propriété d’amalgamation. Quitte à choisir une composante connexe de cette classe, cela permet de construire des structures riches (pour la sous-classe des fusions finiment engendrées (C_{0}, ≤)), dans la Proposition 3.19.

D’abord, nous indiquons le contexte dans lequel nous travaillons, et nous fixons quelques notations.

On considère des théories complètes T_{1} et T_{2}, dans des langages L_{1} et L_{2}, respectivement, ayant un réduit commun T_{0} := T_{1} ↾ L_{0} = T_{2} ↾ L_{0}, où L_{0} := L_{1} ∩ L_{2}. On suppose :

– Pour i = 1, 2, la théorie T_{i} est prégéométrique, c’est à dire l’opérateur de clôture algébrique induit une prégéométrie dans tout modèle de T_{i}.

– T_{0} est fortement minimale et modulaire.

Nous écrivons d_{i} pour dim_{T_{i}}, et | ⌣^{i} pour | ⌣^{alg} par rapport à la théorie T_{i}. Enfin, acl_{i} dénote la clôture algébrique au sens de T_{i}.

Pour simplifier l’exposition, on supposera que :

Hypothèses 3.1 (Hypothèses sur les langages dans la fusion).

– Pour i = 0, 1, 2, la théorie T_{i} élimine les quanteurs dans le langage L_{i}, et L_{i} ne contient pas de symboles de fonctions.

– acl_{i}(∅) est infini pour i = 1, 2 .

– Les langages L_{i} sont dénombrables.

Quitte à passer à des morleyisées et quitte à remplacer les fonctions par leurs graphes, on peut toujours supposer le premier point. Pour satisfaire à la seconde condition, il suffit d’ajouter — au besoin — des constantes aux langages L_{1} et L_{2}.

Nous appelons (T_{0}, T_{1}, T_{2}) un contexte de fusion, si T_{0}, T_{1} et T_{2} satisfont à toutes les hypothèses ci-dessus.

3.1. Construction. Afin de fusionner (librement) T_{1} et T_{2} au-dessus de T_{0}, nous procédons comme dans [HH06], l’inspiration originale étant bien sûr [Hr92]. Pour L := L_{1} ∪ L_{2} on définit C̃ comme la classe des L-structures M ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀} avec M = acl_{1}(M) = acl_{2}(M). Comme T_{1} et T_{2} éliminent les quanteurs, cette définition a un sens.

Par convention, toutes les L_{i}-formules considérées seront sans quanteurs (c’est à dire chaque L_{i}-formule qui apparaît est remplacée par une L_{i}-formule sans quanteurs qui lui est équivalente modulo T_{i}).

Remarque 3.2. Si M ∈ C̃, alors M ⊧ T_{0}.

Preuve. Soit M ∈ C̃. Comme M est acl_{1}-clos (donc infini par 3.1), en particulier, M est acl_{0}-clos et infini. Or, on sait que tout ensemble infini algébriquement clos dans une théorie fortement minimale est un modèle. □

Pour A ⊆ M ∈ C̃ on définit ⟨A⟩ comme le plus petit sous-ensemble de M contenant A qui est algébriquement clos au sens de T_{1} et T_{2}. D’une manière équivalente, ⟨·⟩ correspond à la clôture transitive des opérateurs acl_{1} et acl_{2}. On dit que M est finiment engendrée (dans le sens de ⟨·⟩), si M = ⟨\overline{b}⟩ pour un uplet \overline{b} ∈ M fini. Soit C la classe des structures dans C̃ qui sont finiment engendrées.

Définition 3.3. Soient M ∈ C̃, et A, B ⊆ M avec d_{0}(A) fini.

(1) δ(A) := d_{1}(A) + d_{2}(A) − d_{0}(A), la prédimension de A.
(2) δ(A/B) := d_{1}(A/B) + d_{2}(A/B) − d_{0}(A/B).

(3) C̃_{0} := {M ∈ C̃ | δ(A) ≥ 0 ∀A ⊆_{ω} M}, C_{0} := C̃_{0} ∩ C . Les structures dans C̃_{0} seront appelées fusions.

(4) Si M ∈ C̃_{0}, d_{M}(A) := min{δ(Ã) | A ⊆ Ã ⊆_{ω} M} , la dimension de A dans M. De manière analogue, on définit la dimension relative d_{M}(A/B) : min{d_{M}(AB_{0}) − d_{M}(B_{0}) | B_{0} ⊆_{ω} B}.

(5) Pour M ∈ C_{0}, on pose δ(M) := min{δ(A) | A ⊆_{ω} M et ⟨A⟩ = M}. De plus, si M est finiment engendrée au-dessus de A ⊆ M, on peut définir δ(M/A).

(6) Soient C ⊆ B deux sous-ensembles acl_{0}-clos d’une structure dans C̃. Alors, on pose C ≤ B (C est autosuffisant ou fort dans B) si pour tout uplet fini \overline{b} de B on a δ(\overline{b}/C) ≥ 0.

En général, les fusions sont dénotées par K, L etc., tandis que k, l etc. sont réservées pour des fusions finiment engendrées (i.e. les structures dans C_{0}). Remarquons que δ(A/B) = δ(AB) − δ(B) si d_{0}(B) est fini.

Il est commode d’étendre la notion d’un sous-ensemble autosuffisant aux sousensembles arbitraires C ⊆ B ⊆ K ∈ C̃_{0}. On pose C ≤ B ssi acl_{0}(C) ≤ acl_{0}(B). Contrairement au cas où B est acl_{0}-clos, cette notion peut dépendre du plongement particulier de B dans K.

Par définition, on a C̃_{0} = {M ∈ C̃ | ∅ ≤ M}. Notons également que δ(A) = δ(acl_{0}(A)).

Remarque 3.4. Si T_{0} est ω-catégorique, alors C̃_{0} est une classe élémentaire.

Preuve. Soient φ_{i}(\overline{x}) des L_{i}(∅)-formules, pour i = 1, 2, avec rg(φ_{i}(\overline{x})) = m_{i}. Pour une telle paire on met l’axiome suivant — une condition définissable car T_{0} est ω-categorique :

∀\overline{x}\{[φ_{1}(\overline{x}) ∧ φ_{2}(\overline{x})] → [d_{0}(\overline{x}) ≤ m_{1} + m_{2}]\}.
□

Définition 3.5. Soit K ∈ C̃_{0} une fusion et A ⊆ K. On dit que A contrôle K si ⟨A⟩ = K et A ≤ K. Si B ⊆ K, on dit que A contrôle K au-dessus de B si AB contrôle K.

On observe que pour A fini on a δ(⟨A⟩) ≤ δ(A), avec égalité si et seulement si ⟨A⟩ est contrôlé par A.

Dans le lemme suivant, nous rassemblons les propriétés de base de la prédimension et de la notion de l’autosuffisance. Ces résultats seront utilisés constamment dans la suite, la plupart du temps sans référence.

Lemme 3.6 ([HH06, Lemma 3.1]). ^{1} Soit K ∈ C̃, contenant tous les ensembles et uplets qui apparaissent dans les énoncés suivants.

(1) (sous-modularité) Soit A ⊆ B. Alors, δ(\overline{c}/ acl_{0}(A\overline{c}) ∩ acl_{0}(B)) ≥ δ(\overline{c}/B). En particulier, si B ≤ C et D ⊆ C sont des ensembles acl_{0}-clos, alors D ∩ B ≤ D.

(2) (transitivité) Si A ≤ B et B ≤ C, alors A ≤ C.

1Notre énoncé est plus général que celui montré dans [HH06]. Or, chaque fois que nous citons ce papier, il est sous-entendu que la même preuve donne le résultat dans notre contexte plus général.

Concernant les notations, il y a une différence considérable avec [HH06], où sont empruntés des notations qui pouvaient parfois prêter à confusion. Ainsi, nous écrivons cl_{0}(A), cl_{ω}(A) et cl_{d}(A), parfois avec un superscript K, pour les ensembles notés \overline{A}, cl(A) et cl^{geom}(A), respectivement, dans [HH06].

(3) (continuité) Si (A_{i})_{i∈I} est un système filtré de sous-ensembles de C (c’est à dire pour tout i, j ∈ I il existe k ∈ I avec A_{i} ∪ A_{j} ⊆ A_{k}) tel que A_{i} ≤ C pour tout i, alors ⋃_{i∈I} A_{i} ≤ C.

(4) Soient A_{1}, A_{2} ≤ B des sous-ensembles forts et acl_{0}-clos de B. Alors A_{1} ∩ A_{2} ≤ B.

Si on suppose en outre que K ∈ C̃_{0}, alors :

(5) Pour tout A ⊆ K il existe un unique ensemble cl_{0}^{K}(A) qui est minimal parmi les ensembles A′ ayant les propriétés suivantes : A′ ⊇ A, A′ ≤ K et A′ = acl_{0}(A′). Si d_{0}(A) est fini, alors d_{0}(cl_{0}^{K}(A)) est fini aussi. De plus, on a d_{K}(A) = δ(cl_{0}^{K}(A)).

(6) Soient A ⊆ B ⊆ C finis. Alors, on a d_{K}(C/A) = d_{K}(C/B) + d_{K}(B/A), d_{K}(B/A) ≤ d_{K}(C/A) et d_{K}(C/A) ≥ d_{K}(C/B).

(7) d_{K}(a/B) ∈ {0, 1} pour tout singleton a, et l’opérateur de clôture géométrique (aussi appelée d-clôture) cl_{d}^{K}(B) := {a ∈ K | d_{K}(a/B) = 0} définit une prégéométrie. □

Nous introduisons encore un autre opérateur de clôture pour lequel on réserve le terme de clôture autosuffisante.

Définition 3.7. Soit K une fusion et A ⊆ K. Alors on pose cl_{ω}^{K}(A) := ⟨cl_{0}^{K}(A)⟩, la clôture autosuffisante de A (dans K).

Notons que la clôture autosuffisante de A est égale à la plus petite fusion contenant A qui est contenue dans K de manière autosuffisante.

Dans la suite, on écrira d, cl_{0} et cl_{ω} au lieu de d_{K}, cl_{0}^{K} et cl_{ω}^{K}, si l’on ne risque pas d’ambiguïté. (Cet usage est justifié par 3.8 ci-dessous.) On observe que acl_{0}(A) ⊆ cl_{0}(A) ⊆ cl_{ω}(A) ⊆ cl_{d}(A).

Puisque cl_{d} donne lieu à une prégéometrie, il y a une notion de dimension associée. Clairement, cette dimension est égale à la dimension d déjà définie pour les ensembles finis. Nous étendons donc la définition de d, et à partir de maintenant, d(A/B) dénote la dimension (au sens de la prégéométrie) pour des ensembles A et B arbitraires.

Remarque 3.8. Soient K ≤ L des fusions et A ⊆ K. Alors, d_{K}(A) = d_{L}(A), cl_{0}^{K}(A) = cl_{0}^{L}(A) et cl_{ω}^{K}(A) = cl_{ω}^{L}(A).

Preuve. Par transitivité de ≤ et 3.6(4), cl_{0}^{K}(A) = cl_{0}^{L}(A). Le résultat sur cl_{ω} en découle. Puis, d_{K}(A) = δ(cl_{0}^{K}(A)) = δ(cl_{0}^{L}(A)) = d_{L}(A), par 3.6(5). □

Voilà un lemme facile que nous utiliserons très souvent :

Lemme 3.9. Soit B ≤ K.

(1) Soit A ⊆_{ω} K avec δ(A/B) ≤ 0. Alors, δ(A/B) = 0 et AB ≤ K.

(2) Pour tout uplet \overline{a} ∈ acl_{1}(B), on a d_{2}(\overline{a}/B) = d_{0}(\overline{a}/B), δ(\overline{a}/B) = 0 et

B\overline{a} ≤ K. En particulier, acl_{i}(B) ≤ K pour i = 1, 2 et ⟨B⟩ ≤ K.

Preuve. Soit A ⊆_{ω} K avec δ(A/B) ≤ 0. Alors, δ(A/B) = 0 suit du fait que δ(A′/B) ≥ 0 pour tout A′ ⊆_{ω} K par la définition de l’autosuffisance. Puis, soit C ⊆_{ω} K arbitraire. Donc, 0 ≤ δ(AC/B) = δ(C/AB) + δ(A/B) = δ(C/AB), d’où AB ≤ K, et (1) est montré.

La deuxième partie suit de la première, par induction et continuité. Il suffit de noter que pour toute expansion de théories prégéométriques T′ ⊆ T et \overline{a}, B ⊆ M ⊧ T, on a d(\overline{a}/B) ≤ d′(\overline{a}/B). □

Lemme 3.10. Soit K ∈ C̃. Supposons que pour i = 1, 2, des L_{i}-types p_{i}(x_{I}) ∈ S^{I}(K) soient donnés, avec p_{0} := p_{1} ↾ _{L_{0}} = p_{2} ↾ _{L_{0}}. Alors il existe une extension L ∈ C̃ de K et A ⊆ L tel que A ⊧ p_{1} ∪ p_{2} et L est contrôlée par A au-dessus de K.

Preuve. Par le lemme de consistance de Robinson, il existe A avec KA ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀} et A ⊧ p_{1} ∪ p_{2}.

(∗): Pour tout B ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀} il y a un L ∈ C̃ contrôlé par B. Il suffit de montrer (∗), ce que nous faisons maintenant. On choisit des L_{i}-plongements ι_{i} : B ⊆ M_{i} ⊧ T_{i} (i = 1, 2), où les M_{i} sont

suffisamment saturés. Quitte à choisir un L_{0}(B)-isomorphisme de acl_{0}(ι_{1}(B)) avec acl_{0}(ι_{2}(B)), on peut supposer que B = acl_{0}(B). Si B n’est pas acl_{1}-clos, on choisit b′ dans M_{1} avec b′ ∈ acl_{1}(B)\B (nous supposons que les ι_{i} sont des inclusions). On pose B′ := acl_{0}(Bb′), et on fait de B′ un T_{2}^{∀}-modèle (une L_{2}-extension de B) en exigeant que d_{2}(b′/B) = 1. Pour cela, il suffit de choisir un élément b′′ ∈ M_{2} avec b′′ ∉ acl_{2}(B) ; l’application qui envoie b′ sur b′′ s’étend en un L_{0}(B)-isomorphisme B′ ≃ B′′ := acl_{0}(Bb′′). En utilisant cette application, on peut équiper B′ d’une L-structure telle que B′ ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀}. Tout uplet \overline{a} de B′ qui n’est pas entièrement contenu dans B, est interalgébrique (au sens de L_{0}) au-dessus de B avec b′, et donc δ(\overline{a}/B) = δ(b′/B) = 0 + 1 − 1 = 0. On en déduit que B ≤ B′.

Maintenant, on continue avec B′ au lieu de B. Posons B_{0} := B et B_{1} := B′. Si B_{1} n’est pas acl_{1}-clos, on choisit b′ ∈ acl_{i}(B_{1}) \ B_{1}, et comme avant on trouve B_{1} ≤ B_{2} = acl_{0}(B_{1}b′) ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀}. Ainsi, prenant la réunion pour les ordinaux limites, on obtient une suite croissante (B_{β})_{β} de modèles de T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀}, avec B_{β} ⊆ acl_{1}(B) pour tout β. Il est clair que cette chaîne s’arrête, et il existe donc α tel que B_{α} = acl_{1}(B_{α}). Par transitivité et continuité de l’autosuffisance, B = B_{0} ≤ B_{α}.

Posons B^{1} := B_{α}. En échangeant les rôles de L_{1} et L_{2}, on obtient, à l’aide d’une deuxième chaîne, une structure B^{1} ≤ B^{2} ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀} telle que B^{2} = acl_{2}(B^{1}). On continue en alternant L_{1} et L_{2} et on obtient donc B ≤ B^{1} ≤ B^{2} ≤ … ≤ B^{n} ≤ … tels que B^{2m+1} = acl_{1}(B^{2m}) et B^{2m+2} = acl_{2}(B^{2m+1}) pour tout m ∈ ℕ. Soit L := ⋃_{n<ω} B^{n}. Alors, par construction, on a L = ⟨B⟩ et B ≤ L, c’est à dire L est contrôlée par B. □

Définition 3.11. Soient K ⊆ L, M trois structures dans C̃ (nous continuons à écrire des inclusions au lieu de plongements). On dit que N ∈ C̃ contenant L et M est un amalgame libre de L et M au-dessus de K s’il satisfait aux conditions suivantes :

(α) M | ⌣_{K}^{i} L, pour i = 0, 1, 2 et (β) N est contrôlée par ML.

Par abus du langage, on écrit N = M ⊗_{K} L si N est un amalgame libre de M et L au-dessus de K, même si on n’a pas l’unicité de l’amalgame libre.

Lemme 3.12. Dans la classe C̃, les amalgames libres existent.

Preuve. Soit K ⊆ L, M trois structures dans C̃. Notons d’abord que si A | ⌣_{B}^{i} C pour un B = acl_{i}(B), alors acl_{i}(AB) ∩ acl_{i}(BC) = B, et donc A | ⌣_{B}^{0} C aussi, car T_{0} est modulaire.

Pour i = 1, 2, on choisit une extension libre p_{i}(x_{I}) de tp_{i}(L/K) à M. Par le paragraphe précédent, p_{i}(x_{I})↾_{L_{0}} ne dévie pas au-dessus de K au sens de la théorie T_{0}, et donc p_{1} ↾_{L_{0}} = p_{2} ↾_{L_{0}}, car tp_{0}(L/K) est stationnaire (K étant un modèle de T_{0} par 3.2).

Pour terminer, il suffit d’appliquer le Lemme 3.10 à p_{1} et p_{2} au-dessus de M. □

En fait, la preuve qu’on vient de donner montre un résultat plus fort :

Remarque 3.13. Soient K ⊆ L, M des structures dans C̃. On pose p_{i}(x_{I}) := tp_{i}(L/K). Puis, pour i = 1, 2, soit p̃_{i} une extension libre de p_{i} à M. Alors, il y a un amalgame libre N = L⊗_{K} M tel que, considérant L et M comme sous-structures de N, on a tp_{i}(L/M) = p̃_{i} pour i = 1, 2. □

Notation. Soit K une fusion, et B, A, C ⊆ K. Alors on pose A | ⌣_{B}^{d} C si d(A_{0}/B) = d(A_{0}/BC) pour tout A_{0} ⊆_{ω} A, et nous dirons que A et C sont d-indépendants audessus de B.

Ici, nous utilisons d = d_{K}, et nous devrions donc également noter quelque part le fait que | ⌣^{d} dépend (a priori) de K. Cependant, si nous passons de K à K′ ≥ K, la signification de | ⌣^{d} ne change pas, par 3.8.

Lemme 3.14 ([HH06, Lemma 3.11]). Soient K_{1}, K_{2} deux fusions qui sont fortement plongées dans K. On pose K_{0} := K_{1} ∩ K_{2} et L := ⟨K_{1}K_{2}⟩. Sont équivalents :

(1) K_{1} | ⌣_{K_{0}}^{d} K_{2}

(2) L est isomorphe à un amalgame libre K_{1} ⊗_{K_{0}} K_{2} et L est autosuffisant dans K.

(3) K_{1} | ⌣_{K_{0}}^{i} K_{2} (i = 1, 2) et K_{1}K_{2} ≤ K. □

Lemme 3.15 (Lemme d’amalgamation asymétrique,[HH06, Lemma 3.13]). Soient K, L, M ∈ C̃_{0} avec K ≤ L et K ⊆ M. Alors, M est autosuffisant dans tout amalgame libre N := L ⊗_{K} M, et N est dans C̃_{0}. □

On combine les Lemmes 3.12 et 3.15 pour obtenir :

Corollaire 3.16. La classe (C̃_{0}, ≤) a la propriété d’amalgamation (AP). □

Remarque 3.17. Si on remplace C̃_{0} par la classe des L-structures acl_{0}-closes M ⊧ T_{1}^{∀} ∪ T_{2}^{∀} satisfaisant δ(\overline{a}) ≥ 0 pour tout \overline{a} ∈ M fini, on peut perdre la propriété d’amalgamation. Il y a même de tels exemples avec T_{1} et T_{2} fortement minimales triviales (cf. 5.8(1)).

Définition 3.18. On dit que M ∈ C̃_{0} est riche si pour tout k ≤ l dans C_{0}, et tout plongement fort k ≤ M il existe un k-plongement fort de l dans M.

La classe (C̃_{0}, ≤) a la propriété d’amalgamation, et par le Lemme 3.15, on peut plonger deux fusions K, L fortement dans une même fusion M ssi on peut établir un L-isomorphisme entre ⟨∅⟩_{K} et ⟨∅⟩_{L}. Donc, (C̃_{0}, ≤) n’est pas toujours connexe, les composantes connexes étant données par les L-types d’isomorphisme de fusions ∅-engendrées.

Cela a pour conséquence que deux fusions riches dans C̃_{0} n’ont pas forcément la même théorie élémentaire. Néanmoins, on a le résultat suivant :

Proposition 3.19. Dans chaque composante connexe de (C̃_{0}, ≤), il existe des structures riches, et cela en cardinalité ≤ 2^{ℵ_{0}}. Deux fusions riches sont L_{∞,ω}- équivalentes ssi elles se trouvent dans la même composante connexe de (C̃_{0}, ≤).

Preuve. La classe C_{0} contient au plus 2^{ℵ_{0}} structures à L-isomorphisme près, de même la classe C_{0}(k_{0}) := {k_{0} ≤ l | l ∈ C_{0}} des L-structures dans C_{0} au-dessus d’un certain k_{0} ∈ C_{0} (à k_{0}-isomorphisme près). On obtient une fusion riche contenant fortement une fusion M_{0} ∈ C̃_{0} en utilisant une construction à la Fraïssé-Hrushovski, à l’aide d’une induction transfinie.

Pour M_{0} ∈ C̃_{0} de cardinalité au plus 2^{ℵ_{0}}, on construit M_{0} ≤ M_{1} avec les propriétés suivantes :

(1) M_{1} ∈ C̃_{0} et card(M_{1}) ≤ 2^{ℵ_{0}},

(2) Pour tout k ≤ l ∈ C_{0} et tout plongement fort ι : k ↪^{≤} M_{0} il existe un k-plongement fort de l dans M_{1} étendant ι.

On énumère l’ensemble des problèmes d’amalgamation ι : k ↪^{≤} M_{0}, k ∈ C_{0} et k ≤ l ∈ C_{0}(k) qui apparaissent dans (2), via (ι_{β}, k_{β} ≤ l_{β})_{β<α}. Il est facile de voir que α ≤ 2^{ℵ_{0}}.

Pour obtenir M_{1}, nous construisons une chaîne (N_{β}, ≤)_{β<α} dans C̃_{0}, avec N_{0} := M_{0}, card(N_{β}) ≤ 2^{ℵ_{0}} pour tout β et telle que (ι_{β}, k_{β} ≤ l_{β})_{β<α} est résolu au niveau

N_{β+1}, c’est à dire on peut plonger fortement l_{β} dans N_{β+1} au-dessus de ι_{β} : k_{β} ↪^{≤} M_{0} ≤ N_{β}.

Si λ < α est un ordinal limite, on pose N_{λ} := ⋃_{γ<λ} N_{γ}, et pour β = γ + 1 < α il suffit de prendre un amalgame libre N_{β} = N_{γ} ⊗_{k_{γ}} l_{γ}, par le Corollaire 3.16. On pose M_{1} := ⋃_{β<α} N_{β}.

Pour obtenir une fusion riche M (contenant fortement M_{0} et avec card(M) ≤ 2^{ℵ_{0}}), il suffit de répéter cette construction en remplaçant M_{0} par M_{1}. Ainsi, on obtient une chaîne (M_{i}, ≤)_{i<ω}. Montrons que M := ⋃_{i<ω} M_{i} est riche. Pour cela, il suffit de noter que l’image de tout plongement fort ι d’un k ∈ C_{0} est contenue dans l’un des M_{i} (car k est finiment engendrée), et tout problème d’amalgamation au-dessus de ι est alors résolu dans M_{i+1}, et a fortiori dans M aussi.

Le fait que deux structures riches de la même composante connexe sont L_{∞,ω}- équivalentes est vrai plus ou moins par définition de la richesse. Il suffit de noter que si k_{i} = cl_{ω}(k_{i}) ≤ M_{i} (où M_{i} est riche pour i = 1, 2), f : k_{1} ≅ k_{2} et a_{1} ∈ M_{1}, alors k_{1} ≤ l_{1} := cl_{ω}^{M_{1}}(k_{1}a_{1}) ∈ C_{0}. Comme M_{2} est riche, on trouve donc une copie l_{2} de l_{1} avec l_{2} ≤ M_{2}, et telle qu’il existe un isomorphime f̃: l_{1} ≅ l_{2} étendant f. □

Le lemme suivant est rassurant :

Lemme 3.20. Soit M une fusion riche. Alors M ⊧ T_{1} ∪ T_{2}.

Preuve. Par symétrie, il suffit de voir que M ⊧ T_{1}. Considérons M comme sousensemble (acl_{1}-clos) de M_{1} ⊧ T_{1}, et soit φ(x, \overline{y}) une L_{1}-formule et \overline{b} ∈ M tel que M_{1} ⊧ ∃xφ(x, \overline{b}). Par le test de Tarski, il suffit de trouver a ∈ M avec M_{1} ⊧ φ(a, \overline{b}) pour pouvoir conclure que M ≼_{L_{1}} M_{1}.

Posons k := cl_{ω}^{M}(\overline{b}), et choisissons p_{1}(x) ∈ S_{T_{1}}(k) contenant φ(x, \overline{b}). Si p_{1} est réalisé dans k = acl_{1}(k), on a rien à faire (car k ⊆ M). Sinon, nécessairement d_{1}(p_{1}) = 1, et a fortiori p_{1} ↾_{L_{0}} est le type T_{0}-générique au-dessus de k. On choisit p_{2}(x) ∈ S_{T_{2}}(k) avec d_{2}(p_{2}) = 1 (par conséquent, p_{2} ↾_{L_{0}} est le type générique, aussi).

On applique le Lemme 3.10 à (p_{1}, p_{2}) pour obtenir a′ ⊧ p_{1} ∪ p_{2} avec ka′ ≤ ⟨ka′⟩ =: l. Clairement, k ≤ acl_{0}(ka′) ≤ l ∈ C_{0}. Comme M est riche, on peut kplonger l (fortement) dans M. L’image a de a′ par ce plongement est la solution de φ(x, \overline{b}) cherchée. □

3.2. Décomposition des extensions finiment engendrées. Dans cette section, nous expliquons comment on peut décomposer des extensions autosuffisantes de structures dans C̃_{0} en des extensions “élémentaires”. Pour cela, nous suivons entièrement [HH06, Section 4].

Nous travaillons à l’intérieur d’une fusion riche K^{∗}. Les notions cl_{0}, d etc. seront par rapport à K^{∗}.

Définition 3.21. Soit K ≤ L une extension dans C̃_{0}, avec L ≤ K^{∗}. On dit que cette extension est

– finiment engendrée si L = ⟨K\overline{a}⟩ pour un uplet \overline{a} fini,

– générique si L = ⟨Ka⟩ pour un singleton a avec d(a/K) = 1,

– parasite si elle est finiment engendrée et δ(L/K) = 0,

– primitive si elle est parasite, propre et il n’y a pas de K′ ∈ C̃_{0} tel que K ⫋ K′ ⫋ L et K′ ≤ L.

Lemme 3.22. Soient K ≤ K′ ≤ K^{∗}, et K ≤ L ≤ K^{∗} avec L/K primitive. Alors ou bien L ⊆ K′, ou bien L′ := ⟨LK′⟩ est égale à un amalgame libre K′ ⊗_{K} L (et L′ ≤ K^{∗}).

Preuve. D’abord, L | ⌣_{L∩K′}^{d} K′ suit de d(L/K) = 0 et K ⊆ K′. Si L ∩ K′ ⊋ K, alors L ⊆ K′, car L/K est primitive. Sinon, on conclut par le Lemme 3.14. □

Techniquement, il est pratique de considérer un autre concept de primitivité pour des extensions de sous-ensembles acl_{0}-clos d’une fusion :

Définition 3.23. Soit B ⊆ A ⊆ K^{∗} ∈ C̃_{0}. On dit que l’extension A/B est première, si A et B sont acl_{0}-clos, d_{0}(A/B) est fini et ≥ 2, δ(A/B) = 0 et δ(A′/B) > 0 pour tout ensemble acl_{0}-clos A′ avec B ⊊ A′ ⊊ A (en particulier B ≤ A).

Le nombre d_{0}(A/B) est appelé la longueur de l’extension.

Remarque. Notre définition exclut les “extensions premières de longueur 1”, qui correspondraient aux extensions de la forme A := acl_{0}(Bα), où α est dans exactement un des acl_{i}(B), i = 1, 2.

Lemme 3.24 ([HH06, Lemma 4.4]). Soit A/B une extension première de longueur n (au sein de K^{∗}) et soit B ⊆ B′ ⊆ K^{∗} avec B′ acl_{0}-clos. On pose A′ := acl_{0}(AB′). Alors, on a :

(1) Si B′ | ⌣_{B}^{i} A pour i = 1, 2, alors A′/B′ est première de longueur n. En particulier, B′ | ⌣_{B}^{0} A.

(2) δ(A/B′) = δ(A′/B′) ≤ 0, et on a égalité ssi ou bien A ⊆ B′ ou bien A′/B′ est première (de longueur n).

(3) Si B′ = cl_{0}(B′), alors A ⊆ B′ ou A′/B′ est première de longueur n. □

Maintenant, on introduit des filtrations de ⟨·⟩ qui seront utilisées dans plusieurs preuves qui marchent par induction. Les opérateurs ⟨·⟩_{1}^{n}, ⟨·⟩_{2}^{n} et ⟨·⟩^{n} (n ∈ ℕ) définissent des filtrations différentes.

Définition 3.25. Pour X ⊆ K^{∗} et n ∈ ℕ, on définit ⟨X⟩_{1}^{n} , ⟨X⟩_{2}^{n} et ⟨X⟩^{n} de manière suivante. D’abord, on pose ⟨X⟩_{1}^{0} := ⟨X⟩_{2}^{0} : ⟨X⟩^{0} := acl_{0}(X).

Inductivement, on définit ⟨X⟩_{i}^{m+1} := acl_{i}(⟨X⟩^{m}) pour i = 1, 2, et finalement ⟨X⟩^{m+1} := acl_{0}(⟨X⟩_{1}^{m+1} ∪ ⟨X⟩_{2}^{m+1}).

Notons que ⟨X⟩_{2}^{m+1} = acl_{2}(⟨X⟩_{1}^{m}) et ⟨X⟩_{1}^{m+1} = acl_{1}(⟨X⟩_{2}^{m}) pour tout m ∈ ℕ. Cela suit de l’identité acl_{2}(acl_{1}(X)) = acl_{2}(acl_{0}(acl_{1}(X) acl_{2}(X))), par induction sur m et symétrie.

De plus, si X ≤ K^{∗}, alors ⟨X⟩_{i}^{m} et ⟨X⟩^{m} sont forts dans K^{∗} aussi (par 3.9).

Lemme 3.26. Soient B ⊆ A, C des ensembles forts dans K^{∗}. Supposons que A | ⌣_{B}^{0} C et A | ⌣_{B}^{d} C. Alors on a :

(a) A | ⌣_{B}^{i} C pour i = 1, 2, et AC ≤ K^{∗}.

(b) ⟨A⟩_{i}^{m} | ⌣_{⟨B⟩_{i}^{m}}^{j}⟨C⟩_{i}^{m} et ⟨A⟩ | ⌣_{⟨B⟩}^{j}⟨C⟩, pour i = 1, 2, j = 0, 1, 2 et tout m ∈ ℕ.

Preuve. L’argument dans la preuve de 3.14 pour montrer (1) ⇒ (3) donne (a). Quant à (b), on a évidemment ⟨A⟩_{i}^{m} | ⌣_{⟨B⟩_{i}^{m}}^{d}⟨C⟩_{i}^{m} pour tout choix de m et i. Pour établir (b), par induction (sur m), symétrie, continuité et utilisant (a), il suffit de montrer acl_{1}(A) | ⌣_{acl_{1}(B)}^{0} acl_{1}(C). Or, acl_{1}(A) | ⌣_{acl_{1}(B)}^{1} acl_{1}(C) est une conséquence

de A | ⌣_{B}^{1} C, et on en déduit acl_{1}(A) | ⌣_{acl_{1}(B)}^{0} acl_{1}(C), par modularité de T_{0}. □

Considérons une extension générique L/K avec L = ⟨Kg⟩ ≤ K^{∗}. Supposons que \overline{a} ∈ L avec d(\overline{a}/K) = 0. Alors, g ∉ cl_{0}(K\overline{a}), car d(g/K) = 1. L’hypothèse cl_{0}(K\overline{a}) | ⌣_{K}^{d} acl_{0}(Kg) étant trivialement satisfaite, on déduit donc de 3.26(b) que cl_{0}(K\overline{a}) | ⌣_{K}^{0} L, et en particulier que \overline{a} ∈ K. Cela montre

Corollaire 3.27. Soit L/K une extension générique et c ∈ L\K. Alors, d(c/K) = 1. □

Voilà le lien entre les extensions premières et les extensions primitives :

Lemme 3.28 ([HH06, Lemmes 4.8 et 4.11]). (a) Soit K ≤ A_{1} ≤ K^{∗} avec K ∈

C̃_{0} et A_{1}/K première. Alors, ⟨A_{1}⟩/K est une extension primitive.

(b) Soit L/K une extension primitive. Alors, il y a un unique ensemble minimal A = cl_{0}(A) ⊃ K contrôlant L/K. L’extension A/K est première, et on appelle longueur de L/K la longueur de A/K. □

Proposition 3.29 (Lemme de décomposition, [HH06, Cor. 4.9]). Soit K ≤ L une extension finiment engendrée (avec L ≤ K^{∗}) telle que d(L/K) = d. Alors, il y a une décomposition K = K_{0} ≤ K_{1} ≤ … ≤ K_{d+n} = L, où K_{i}/K_{i−1} est générique pour i ≤ d et primitive pour i > d.

Si L/K est parasite et si K = K_{0} ≤ K_{1} ≤ … ≤ K_{n} = L et K = K′_{0} ≤ K′_{1} ≤ … ≤ K′_{n′} = L sont deux décompositions en extensions primitives on a n = n′. □

On finit la section avec quelques lemmes supplémentaires.

Lemme 3.30. Soit k une fusion fortement plongée dans une fusion finiment engendrée. Alors, k est finiment engendrée aussi.

Plus généralement, si K ≤ L′ ≤ L ∈ C̃_{0} avec L/K finiment engendrée, alors L′/K est finiment engendrée aussi.

Preuve. Soit k ≤ l avec l finiment engendrée. En particulier, d(k) ≤ d(l), et ces deux dimensions sont finies. On choisit B ⊆_{ω} k fini avec d(k/B) = 0. Puis, comme l est finiment engendrée, on peut choisir B ⊆ A ⊆_{ω} l tel que A contrôle l.

Posons B′ := acl_{0}(A)∩k (donc d_{0}(B′) est fini). Alors, A | ⌣_{B′}^{0} k par construction, de même A | ⌣_{B′}^{d} k, car d(k/B) = 0 et B ⊆ B′. Il suffit d’appliquer 3.26(b) pour obtenir ⟨A⟩ | ⌣_{⟨B′⟩}^{0}⟨k⟩, en d’autres termes l | ⌣_{⟨B′⟩}^{0} k. Donc, k = ⟨B′⟩ est finiment engendrée.

La preuve concernant K ≤ L′ ≤ L est similaire. □

Lemme 3.31. Soit K une fusion, K ⊆ A, B ⊆ K^{∗}. On suppose que A = cl_{0}(A), B = cl_{0}(B), δ(B/A) = 0 et [acl_{1}(B) ∪ acl_{2}(B)] ∩ A = K. Alors ⟨B⟩ ∩ A = K.

Preuve. Posons B′ := acl_{1}(B). Par symétrie, raisonnant par induction, il suffit de montrer que acl_{2}(B′) ∩ A = K. On a B′ | ⌣_{K}^{0} A par hypothèse, donc B′ | ⌣_{B}^{0} A. Comme A est fort et δ(B/A) = 0, nécessairement AB ≤ K^{∗}, aussi. Cela donne δ(B′_{0}/AB) = δ(B′_{0}/B) = 0 pour tout B′_{0} ⊆_{ω} B′, et alors B′ | ⌣_{B}^{2} A. On en déduit que acl_{2}(B′) ∩ A ⊆ acl_{2}(B) ∩ A = K. □

4. Axiomatisation

Dans cette section, nous continuons à considérer un contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}) comme dans la Section 3. Nous supposons de plus :

Hypothèses 4.1 (Hypothèses de définissabilité).

– Les théories T_{i} sont géométriques, c’est à dire elles éliminent ∃^{∞}.

– T_{0} est ω-catégorique.

En particulier (cf. 3.4), C̃_{0} est une classe élémentaire. Pour des exemples de théories géométriques, nous référons à 2.13.

Soit T_{ω} la L-théorie (en général incomplète) des fusions riches, dans le contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}). Nous étudierons d’abord des questions de définissabilité et d’uniformité concernant l’autosuffisance et les autres notions jusqu’alors introduites, ce qui nous permettra de donner des axiomes explicites pour T_{ω}. Nous verrons ensuite que le fait d’être riche est significatif modèle-théoriquement, puisque tout modèle ℵ_{1}-saturé de T_{ω} est riche et, réciproquement, toute fusion riche est un modèle ω-saturé de T_{ω}. Cela est le contenu du Théorème 4.13. En particulier, on en déduit une description des complétions de T_{ω} et des L-types.

Lemme 4.2. Soit \overline{a}/\overline{b} une extension première et φ_{0}(\overline{x}, \overline{z}) une L_{0}-formule isolant tp_{0}(\overline{a}, \overline{b}). Puis, pour i = 1, 2, soient φ_{i}(\overline{x}, \overline{z}) des L_{i}-formules rang-complètes telles que tp_{i}(\overline{a}/\overline{b}) soit générique dans φ_{i}(\overline{x}, \overline{b}).

Alors, pour tout \overline{a}′, \overline{b}′ ∈ K′ ∈ C̃_{0} avec K′ ⊧ ⋀_{i=0}^{2} φ_{i}(\overline{a}′, \overline{b}′) on a

– ou bien \overline{a}′ ∈ cl_{0}^{K′}(\overline{b}′),

– ou bien \overline{a}′/\overline{b}′ est une extension première. (Dans ce cas, \overline{a}′ est générique dans φ_{i}(\overline{x}, \overline{b}′) pour i = 1 et i = 2.)

En particulier, pour tout ensemble B̃′ ⊇ \overline{b}′ on a δ(\overline{a}′/B̃′) ≤ 0.

Preuve. Comme \overline{a}/\overline{b} est première et les φ_{i} sont rang-complètes, pour tout \overline{b}′ ⊊ \overline{a}′_{1} ⊊ \overline{a}′ on a δ(\overline{a}′/\overline{a}′_{1}) < 0. On rappelle que \overline{b}′, ayant le même L_{0}-type que \overline{b}, énumère un ensemble acl_{0}-clos (c’est pareil pour \overline{a}′).

Donc, si \overline{a}′ ∩ cl_{0}(\overline{b}′) ⊋ \overline{b}′, alors \overline{a}′ ⊆ cl_{0}(\overline{b}′). Par contre, si \overline{a}′ ∩ cl_{0}(\overline{b}′) = \overline{b}′, alors \overline{b}′ = cl_{0}^{K′}(\overline{b}′) ∩ \overline{a}′ ≤ \overline{a}′ par 3.6(1), et donc nécessairement δ(\overline{a}′/\overline{b}′) = 0. On en déduit que \overline{a}′/\overline{b}′ est une extension première et l’uplet \overline{a}′ est L_{i}-générique dans φ_{i}(\overline{x}, \overline{b}′) pour i = 1, 2 (on fait un δ-calcul).

La dernière partie suit directement du Lemme 3.24(2). □

Définition 4.3. Soit τ(\overline{x}) = ∃\overline{y}φ(\overline{x}, \overline{y}) une L-formule existentielle (avec φ sans quanteurs). On dit que τ est à quantification bornée , si K ⊧ φ(\overline{a}, \overline{b}) implique \overline{b} ∈ cl_{ω}^{K}(\overline{a}) pour tout \overline{a}, \overline{b} ∈ K ∈ C̃_{0}.

Lemme 4.4. Soit B ⊆ K ∈ C̃_{0}, et soient \overline{α}_{0} ∈ cl_{0}^{K}(B), \overline{α}_{ω} ∈ cl_{ω}^{K}(B) et \overline{α}_{d} ∈ cl_{d}^{K}(B).

(1) Il existe \overline{b} ∈ B et \overline{a} ∈ cl_{0}^{K}(B) (\overline{a} contenant \overline{b}\overline{α}_{0}) et une L-formule sans quanteurs φ(\overline{x}, \overline{y}) avec ⊧ φ(\overline{a}, \overline{b}) telle que pour toute fusion K′ et tout

\overline{b}′, \overline{a}′ ∈ K′, si ⊧ φ(\overline{a}′, \overline{b}′), alors \overline{a}′ ∈ cl_{0}^{K′}(\overline{b}′) et δ(\overline{a}′/\overline{b}′) ≤ δ(\overline{a}/\overline{b}).

(2) Même énoncé que dans (1), en remplaçant \overline{α}_{0} par \overline{α}_{ω} et cl_{0} par cl_{ω}.

(3) Il existe \overline{b} ∈ B, \overline{a} ∈ cl_{ω}^{K}(\overline{b}\overline{α}_{d}) (contenant \overline{b}\overline{α}_{d}) et une L-formule sans quanteurs φ(\overline{x}, \overline{x}_{d}, \overline{y}) avec K ⊧ φ(\overline{a}, \overline{α}_{d}, \overline{b}) telle que pour tout \overline{b}′, \overline{α}′_{d}, \overline{a}′ ∈ K′

avec K′ ⊧ φ(\overline{a}′, \overline{α}′_{d}, \overline{b}′) on a \overline{a}′ ∈ cl_{d}^{K′}(\overline{b}′) ∩ cl_{ω}^{K′}(\overline{b}′\overline{α}′_{d}).

Soit maintenant e un entier ≥ 0, B ⊆ K et \overline{α} ∈ K. Alors :

(4) Si d_{K}(\overline{α}/B) ≤ e, il existe \overline{b} ∈ B et une L-formule existentielle à quantification bornée τ_{d}(\overline{x}, \overline{y}) telle que K ⊧ τ_{d}(\overline{α}, \overline{b}) et si K′ ⊧ τ_{d}(\overline{α}′, \overline{b}′) pour

\overline{α}′ ∈ K′ ∈ C̃_{0} et \overline{b}′ ∈ K′, alors d_{K′}(\overline{α}′/\overline{b}′) ≤ e.

Preuve. Dans la preuve, on peut supposer que B = acl_{0}(B).

(1) Comme cl_{0}^{K}(B) est la réunion des cl_{0}^{K}(B_{0}) pour B_{0} ⊆_{ω} B, il existe \overline{b} ∈ B énumérant un ensemble acl_{0}-clos tel que \overline{α}_{0} ∈ cl_{0}^{K}(\overline{b}). On considère une énumération (finie, car T_{0} est ω-catégorique) \overline{a} de cl_{0}^{K}(\overline{b}), et on choisit, pour i = 1, 2, une formule φ_{i}(\overline{x}, \overline{z}) rang-complète par rapport à tp_{i}(\overline{a}/\overline{b}) (en particulier, ⊧ φ_{i}(\overline{a}, \overline{b})). On les choisit telles que φ_{i}(\overline{x}, \overline{y}) ⊢ tp_{0}(\overline{a}, \overline{b}) ce qui est possible par le Lemme 2.18. Soient k_{I/J}^{i} les entiers associés à φ_{i} et I, J ⊆ n (avec les notations de 2.17, où \overline{x} = (x_{0}, …, x_{n−1})). On pose φ(\overline{x}, \overline{y}) := φ_{1}(\overline{x}, \overline{y}) ∧ φ_{2}(\overline{x}, \overline{y}).

Maintenant, soient \overline{a}′, \overline{b}′ ∈ K′ tels que ⊧ φ(\overline{a}′, \overline{b}′). Prenons I ⊆ n avec \overline{a}′ ∉ acl_{0}(\overline{a}′_{I} \overline{b}′). Comme \overline{a}_{I} \overline{b} ≰ \overline{a} — on rappelle que \overline{a} énumère cl_{0}^{K}(\overline{b}) — on a 0 > δ(\overline{a}/\overline{a}_{I} \overline{b}) = k_{n/I}^{1} + k_{n/I}^{2} − d_{0}(\overline{a}/\overline{a}_{I} \overline{b}). Or, d_{0}(\overline{a}′/\overline{a}′_{I} \overline{b}′) = d_{0}(a/\overline{a}_{I} \overline{b}) (ils ont le même

L_{0}-type) et d_{i}(\overline{a}′/\overline{a}′_{I} \overline{b}′) ≤ k_{n/I}^{i} pour i = 1, 2, car φ_{i} est rang-complète. Cela donne

δ(\overline{a}′/\overline{a}′_{I} \overline{b}′) < 0. Par sous-modularité, on a donc \overline{a}′ ∈ cl_{0}^{K′}(\overline{b}′), et (1) est montré.

Quant à (2), il suffit d’expliciter une cascade d’algébricités au sens de L_{1} et de L_{2} dans l’uplet \overline{a} en question (on utilise (1) et le fait que cl_{ω}(X) = ⟨cl_{0}(X)⟩). C’est facile et on omet les détails.

Montrons (3). On décompose l’extension parasite k = cl_{ω}^{K}(B) ≤ cl_{ω}^{K}(B\overline{α}_{d}) = l en primitives (k = l_{0} ≤ l_{1} ≤ … ≤ l_{n} = l). On se sert constamment de (2) pour pouvoir utiliser explicitement des éléments se trouvant dans la clôture autosuffisante cl_{ω}.

Traitons le cas n = 1, où l/k est une extension primitive. (Si n > 1, on raisonne par induction.) Soit k ≤ A ≤ l comme dans le Lemme 3.28.(b), c.à.d. A/k est une extension première, A contrôlant l. On choisit une L_{0}-base \overline{a}_{1} de A/k, puis on choisit b̃ = acl_{0}(b̃) ⊆ k et \overline{b} ∈ B avec les propriétés suivantes :

(i) \overline{a}_{1} | ⌣i ; b̃ k pour tout i,

(ii) \overline{α}_{d} ∈ cl_{ω}(b̃\overline{a}_{1}).

(iii) b̃ ∈ cl_{ω}(\overline{b}).

Alors, posant ã := acl_{0}(b̃\overline{a}_{1}), on voit facilement que ã/b̃ est une extension première. Soit \overline{a} := ã\overline{α}_{d}. On utilise (2) pour pouvoir se servir de b̃ et pour expliciter toutes les autres cl_{ω}-dépendances, et le Lemme 4.2 garantit qu’on peut trouver une formule φ(\overline{x}, \overline{z}) comme requise.

Finalement, sous les hypothèses de (4), on choisit un sous-uplet (α_{i_{1}}, …, α_{i_{e}}) de \overline{α} de manière que \overline{α} ∈ cl_{d}(Bα_{i_{1}}, …, α_{i_{e}}). Puis, on applique (3) à l’ensemble Bα_{i_{1}}, …, α_{i_{e}} et l’uplet \overline{α}. □

Lemme 4.5 (Définissabilité de l’autosuffisance). Il existe un L-type partiel et universel Π(y_{0}, …, y_{n−1}) tel que pour toute fusion K ∈ C̃_{0} et tout uplet \overline{b} ∈ K on ait K ⊧ Π(\overline{b}) si et seulement si \overline{b} ≤ K.

Preuve. Soit \overline{b} ∈ K avec \overline{b} ≰ K, et supposons que \overline{a} énumère cl_{0}^{K}(\overline{b}). Par (la preuve de) 4.4(1), il existe une L-formule sans quanteurs φ(\overline{x}, \overline{y}) satisfaite par (\overline{a}, \overline{b}) telle que pour tout \overline{a}′, \overline{b}′ ∈ K′ avec ⊧ φ(\overline{a}′, \overline{b}′) on a δ(\overline{a}′/\overline{b}′) ≤ δ(\overline{a}/\overline{b}) < 0. En particulier, si K′ ⊧ ∃\overline{x}φ(\overline{x}, \overline{b}′), alors \overline{b}′ ≰ K′.

Il suffit de mettre dans Π(\overline{y}) toutes les formules de la forme ∀\overline{x}¬φ(\overline{x}, \overline{y}), où φ(\overline{x}, \overline{y}) est comme ci-dessus. □

Définition 4.6. Soit k, l ∈ C_{0} avec k ≤ l. On suppose qu’il y a des ensembles finis et acl_{0}-clos B ≤ A tels que B contrôle k et A contrôle l. On demande que A | ⌣_{B}^{i} k pour i = 0, 1, 2. Une telle paire A/B est appelée paire de contrôle pour l’extension k ≤ l. Si d(A/B) = e = d(l/k), on dit que A/B est une paire de contrôle de dimension e.

Remarque 4.7. Si A/B est une paire de contrôle (pour une extension l/k), alors B est relativement acl_{i}-clos dans A pour i = 0, 1, 2.

Preuve. On a A ∩ acl_{i}(B) ⊆ A ∩ k = B, comme B = acl_{0}(B) et A | ⌣_{B}^{0} k. □

Lemme 4.8. Soit k ≤ l une extension dans C_{0} et Λ ⊆_{ω} l. Alors, il existe une paire de contrôle A/B pour l/k avec Λ ⊆ A.

Preuve. Comme l est finiment engendrée, quitte à agrandir Λ, on peut supposer que ⟨Λ⟩ = l. Posons A_{1} := cl_{0}(kΛ), et choisissons Λ ⊆ A_{0} ⊆_{ω} A_{1} avec acl_{0}(A_{0}k) = A_{1}. Puis, on choisit B = cl_{0}(B) ⊆_{ω} k contrôlant k et satisfaisant A_{0} | ⌣_{B}^{i} k pour i = 0, 1, 2. Finalement, on pose A := acl_{0}(BA_{0}). On vérifie que A/B est une paire de contrôle pour l/k. □

Pour pouvoir axiomatiser la théorie T_{ω}, il nous faudra étudier des familles de paires de contrôle. Considérons B ≤ A, une paire de contrôle pour k ≤ l. On énumère B avec \overline{b} et A\B avec \overline{a}, et on pose \overline{b}_{0} := Cb(tp_{0}(\overline{a}/k)), où Cb(·) dénote la base canonique d’un type. Comme \overline{a} | ⌣0 ; \overline{b} k, \overline{b}_{0} ∈ acl_{0}^{eq}(\overline{b}). Par ailleurs, \overline{b}_{0} ∈ dcl_{0}^{eq}(k). Soit ψ_{0}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) une L_{0}-formule isolant tp_{0}(\overline{a}, \overline{b}, \overline{b}_{0}).

Par définissabilité de la dimension dans T_{i} (cf. 2.16), il existe des L_{i}-formules ψ_{i}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) pour i = 1, 2, satisfaisant :

PC(i) ⊧ ψ_{1}(\overline{a}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{a}, \overline{b}, \overline{b}_{0}).

PC(ii) T_{i} ⊢ ψ_{i} → ψ_{0} pour i = 1, 2.

PC(iii) La formule φ_{i}(\overline{x}, \overline{z}) := ∃\overline{z}_{0}ψ_{i}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) est une formule rang-complète par

rapport à tp_{i}(\overline{a}/\overline{b}) pour i = 1, 2. PC(iv) Pour tout \overline{b}′, \overline{b}′_{0}, et i = 1, 2, d_{i}(ψ_{i}(\overline{x}, \overline{b}′, \overline{b}′_{0})) = d_{i}(φ_{i}(\overline{x}, \overline{b}′)).

Définition 4.9. Soit Ψ := (ψ_{1}, ψ_{2}) une paire de formules. On dit que Ψ est une famille de paires de contrôle (de dimension e) s’il existe une paire de contrôle A/B de dimension e (pour une extension l/k dans C_{0}), telle que Ψ satisfasse aux conditions PC(i-iv) données ci-dessus. Gardant les mêmes notations, pour une telle famille, on pose θ_{Ψ}(\overline{z}, \overline{z}_{0}) := ∃\overline{x}ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ∃\overline{x}ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}).

Lemme 4.10. Soit k ≤ l ∈ C_{0}. Alors qftp_{L}(l/k) est impliqué par l’ensemble des ψ_{1}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}), où Ψ = (ψ_{1}, ψ_{2}) est une famille de paires de contrôle, \overline{a} ∈ l, \overline{b} ∈ k, \overline{b}_{0} ∈ dcl_{0}^{eq}(k) ∩ acl_{0}^{eq}(\overline{b}) et \overline{a}\overline{b}/\overline{b} une paire de contrôle de l/k avec ⊧ ψ_{1}(\overline{a}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{a}, \overline{b}, \overline{b}_{0}).

Preuve. C’est essentiellement le Lemme 4.8, combiné avec le fait que les formules rang-complètes sont cofinales dans tp_{i}(\overline{a}/\overline{b}) pour i = 1, 2. □

Lemme 4.11. Soit Ψ = (ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}), ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0})) une famille de paires de contrôle de dimension e, et soit \overline{b}′ ∈ k′ ∈ C_{0}, \overline{b}′_{0} ∈ dcl_{0}^{eq}(k′), \overline{b}′ contrôlant k′, tels que ⊧ θ_{Ψ}(\overline{b}′, \overline{b}′_{0}). Alors :

(1) Soit k′ ⊆ L ∈ C̃_{0} et \overline{a}′ ∈ L une solution générique de ψ_{i}(\overline{x}, \overline{b}′, \overline{b}′_{0}) au-dessus de k′ pour i = 1 et i = 2. Supposons de plus que k′\overline{a}′ ≤ ⟨k′\overline{a}′⟩ =: l′ ⊆ L. Alors, \overline{a}′\overline{b}′/\overline{b}′ est une paire de contrôle pour k′ ≤ l′, de dimension e.

(2) Des extensions L de k′ contenant des uplets \overline{a}′ comme dans (1) existent.

Preuve. Pour (1), notons que \overline{b}′ ≤ \overline{a}′\overline{b}′ suit de PC(iii) et PC(iv). Comme \overline{a}′ | ⌣_{\overline{b}′}^{i} k′

et \overline{a}′ | ⌣_{\overline{b}′}^{0} acl_{i}(\overline{b}′) pour i = 1, 2, on a \overline{a}′ | ⌣_{\overline{b}′}^{i} k′ pour i = 0, 1, 2. Le Fait 2.11 nous donne que k′ ≤ A′_{k′} := acl_{0}(A′k′) (on raisonne comme dans la preuve du Lemme 3.12), et donc \overline{a}′\overline{b}′/\overline{b}′ est une paire de contrôle pour k′ ≤ l′ (de dimension e).

Pour montrer (2), il suffit d’appliquer le Lemme 3.10 à (p_{1}, p_{2}), où p_{i} est un L_{i}-type générique dans ψ_{i}(\overline{x}, \overline{b}′, \overline{b}′_{0}) au dessus de k′. La condition PC(ii) entraîne que p_{1} ↾_{L_{0}} = p_{2} ↾_{L_{0}}, car \overline{b}′_{0} = Cb_{0}(p_{i} ↾_{L_{0}}) pour i = 1, 2 et p_{i} ↾_{L_{0}} ne L_{0}-dévie pas au-dessus de \overline{b}′. □

Lemme 4.12. Soit Ψ = (ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}), ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0})) une famille de paires de contrôle (de dimension e), et soient \overline{b} ⊆ b̃ = cl_{0}(b̃) ≤ K ∈ C̃_{0}, \overline{b}_{0} ∈ dcl_{0}^{eq}(⟨\overline{b}⟩) tels que ⊧ θ_{Ψ}(\overline{b}, \overline{b}_{0}). Alors il existe Ψ̃ = (ψ̃_{1}(x̃, z̃, z̃_{0}), ψ̃_{2}(x̃, z̃, z̃_{0})), une famille de paires de contrôle (de dimension e), avec x̃ ⊇ \overline{x}, z̃ ⊇ \overline{z} et z̃_{0} ⊇ \overline{z}_{0}, telle que ⊧ ψ̃_{i} → ψ_{i} pour i = 1, 2 et θψ̃(b̃, b̃_{0}) pour un \overline{b}_{0} ⊆ b̃_{0} ∈ dcl_{0}^{eq}(⟨b̃⟩).

Preuve. Pour i = 1, 2, soient p_{i} des L_{i}-types génériques dans ψ_{i}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) au-dessus de k := ⟨b̃⟩. Comme \overline{b}_{0} ∈ dcl_{0}^{eq}(k), cela a un sens. Supposons que \overline{a}_{i} ⊧ p_{i}. Comme dans la preuve de 4.11, on montre que \overline{a}_{i} | ⌣0 ; \overline{b} k et p_{1} ↾_{L_{0}} = p_{2} ↾_{L_{0}}, et enfin qu’une application de 3.10 à (p_{1}, p_{2}) fournit une extension k ≤ l, avec l contrôlée par une solution \overline{a} de p_{1}∪p_{2} au-dessus de k. Soit ã := acl_{0}(b̃\overline{a})\b̃. Alors ãb̃/b̃ est une paire de contrôle de l/k. Par le Lemme 4.10, il existe une famille de paires de contrôle Ψ̃ = (ψ̃_{1}(x̃, z̃, z̃_{0}), (ψ̃_{2}(x̃, z̃, z̃_{0})) et b̃_{0} = Cb_{0}(ã/b̃) ⊇ \overline{b}_{0} tel que ⊧ ψ̃_{1}(ã, b̃, b̃_{0}) ∧ ψ̃_{2}(ã, b̃, b̃_{0}) et ⊧ ψ̃_{i}(x̃, b̃, b̃_{0}) → ψ_{i}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) pour i = 1, 2. Quitte à rétrécir les ψ̃_{i}, on peut supposer que ⊧ ψ̃_{i}(x̃, z̃, z̃_{0}) → ψ_{i}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) pour i = 1, 2. □

Maintenant, on considère la L-théorie T′_{ω} := T′_{ω}(1, 2, 3) donnée par les trois groupes d’axiomes :

T′_{ω}(1) : Th(C̃_{0}) T′_{ω}(2) : T_{1} ∪ T_{2} T′_{ω}(3) : Soit Ψ = (ψ_{1}, ψ_{2}) une famille de paires de contrôle de dimension e. Puis,

soit τ(\overline{x}, \overline{z}) une formule existentielle à quantification bornée, telle que K ⊧ τ(\overline{a}, \overline{b}) implique d(\overline{a}/\overline{b}) < e. Pour Ψ et τ, on met l’axiome

∀\overline{z}\overline{z}_{0}∃\overline{x}[θ_{Ψ}(\overline{z}, \overline{z}_{0}) → ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ¬τ(\overline{x}, \overline{z})].

Théorème 4.13. Les théories T′_{ω} et T_{ω} coïncident. Tout modèle ℵ_{1}-saturé de T′_{ω} est une fusion riche. Réciproquement, toute fusion riche est un modèle ℵ_{0}-saturé de T′_{ω}.

Preuve. Soit K une fusion riche. On montre d’abord que K ⊧ T′_{ω}. Il est clair que K ⊧ T′_{ω}(1), et le Lemme 3.20 donne K ⊧ T′_{ω}(2). Quant au schéma d’axiomes T′_{ω}(3), supposons que Ψ = (ψ_{1}, ψ_{2}) est une famille de paires de contrôle (de dimension e), et \overline{b}, \overline{b}_{0} ∈ K avec ⊧ θ_{Ψ}(\overline{b}, \overline{b}_{0}). Puis, soit τ(\overline{x}, \overline{z}) une formule comme dans le schéma (3). Quitte à appliquer le Lemme 4.12, on peut supposer que \overline{b} ≤ ⟨\overline{b}⟩ =: k ≤ K. On trouve, par le Lemme 4.11, k ≤ l ∈ C_{0} et \overline{a} ∈ l tel que \overline{a}\overline{b}/\overline{b} soit une paire de contrôle (de dimension e) pour l/k et tel que \overline{a} satisfasse ψ_{1}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}). Comme K est riche, on peut k-plonger l fortement dans K. Identifiant \overline{a} avec son image dans K par un tel plongement, on obtient K ⊧ ψ_{i}(\overline{a}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) pour i = 1, 2. Or, on a aussi K ⊧ ¬τ(\overline{a}, \overline{b}), car d(\overline{a}/\overline{b}) = e. L’axiome correspondant à Ψ et τ dans T′_{ω}(3) est donc satisfait par K. En particulier, on a montré la consistance de T′_{ω}, car les fusions riches existent.

Ensuite, nous montrons que tout modèle ℵ_{1}-saturé de T′_{ω} est riche. Une fois que cela est établi, la proposition entière est prouvée, i.e. toute fusion riche est modèle ω-saturé de T′_{ω} (puisque la L_{∞,ω}-équivalence avec un modèle ω-saturé entraîne l’ω-saturation) et T′_{ω} = T_{ω} (puisque toute structure a des extensions éłémentaires ℵ_{1}-saturées et deux théories ayant les mêmes modèles κ-saturés pour un certain κ sont équivalentes).

On considère K ⊧ T′_{ω}, où K est ℵ_{1}-saturé, et k ≤ K une fusion finiment engendrée. Pour tout k ≤ l ∈ C_{0} (on suppose que d(l/k) = e), on doit trouver un k-plongement fort de l dans K.

En utilisant le Lemme 4.4.(4), on voit que l’on peut approximer “d(\overline{x}/\overline{z}) ≥ e” par des formules de la forme ¬τ(\overline{x}, \overline{z}), où τ(\overline{x}, \overline{z}) est une formule existentielle à quantification bornée forçant d(\overline{x}/\overline{z}) < e. On note que l’ensemble de tels τ est clos par disjonctions finies. Combiné avec 4.10, cela montre que les axiomes dans T′_{ω}(3) approximent bien une réalisation de qftp_{L}(l/k) qui est autosuffisante. Par ℵ_{1}-saturation de K, on peut donc k-plonger fortement l dans K. □

D’un point de vue esthétique, le Théorème 4.13 n’est pas satisfaisant, car il ne caractérise pas les fusions riches par une propriété modèle-théorique. Si l’on exigeait, dans la définition d’une fusion riche, que tout problème d’amalgamation soit résolu pour tout k ≤ l ∈ C̃_{0} dénombrable, les fusions riches correspondraient exactement aux modèles ℵ_{1}-saturés de T_{ω}. Cependant, à l’aide d’une notion adaptée de saturation, on peut aussi se contenter de la définition de “riche” que nous avons donnée.

On dira qu’une structure M est ℵ_{ϵ}-saturée si pour tout \overline{b} ⊆_{ω} M, tout type audessus de acl(\overline{b}) est réalisé dans M. On remarque que d’habitude, dans la définition de la ℵ_{ϵ}-saturation, la clôture algébrique est prise dans M^{eq}, mais nous la prenons uniquement dans les réels. A posteriori, en utilisant le Corollaire 4.24, on pourra caractériser les fusions riches de la façon suivante :

Remarque 4.14. Les fusions riches dans C̃_{0} sont exactement les modèles ℵ_{ϵ}- saturés de T_{ω}. □

En modifiant la preuve du Théorème 4.13 et en utilisant le Lemme de décomposition 3.29, on obtient :

Remarque 4.15. Dans l’axiomatisation de T′_{ω}, on peut se restreindre aux familles de paires de contrôle donnant lieu à des extensions primitives ou à des extensions génériques.

Il y a un cadre où l’on peut se dispenser des extensions génériques :

Définition 4.16. Soit T_{0} ⊆ T_{1} une expansion satisfaisant à nos hypothèses générales. On dit que l’expansion T_{0} ⊆ T_{1} renforce la prégéométrie si pour tout A ⊆ M ⊧ T_{1} et tout élément a avec d_{1}(a/A) = 1 on a acl_{1}(Aa) ⊋ acl_{0}(Aa).

Notation. Pour B ⊆ A, on pose B ≤_{n} A si et seulement si δ(A′/B) ≥ 0 pour tout ensemble A′ avec B ⊆ A′ ⊆ A et d_{0}(A′/B) ≤ n.

Lemme 4.17. Supposons que le contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}) est tel que les deux expansions T_{0} ⊆ T_{1} et T_{0} ⊆ T_{2} renforcent la prégéométrie. Alors, toute extension générique de fusions peut être approximée par des extensions parasites.

Plus précisément, soit K ≤ L ∈ C̃_{0} une extension générique et \overline{a} ∈ L avec δ(\overline{a}/K) = d(\overline{a}/K) = 1. Alors, pour tout n ∈ ℕ il existe une extension parasite L′/K et \overline{a}′ ∈ L′ avec qftp_{L}(\overline{a}′/K) = qftp_{L}(\overline{a}/K) et K\overline{a}′ ≤_{n} L′.

Preuve. Soit donc K ≤ L = ⟨Ka⟩ une extension générique (avec L ≤ K^{∗} pour K^{∗} riche). Observons d’abord que pour a′ ∈ K^{∗} \ K on a d(a′/K) = 1 si et seulement si Ka′ ≤_{n} K^{∗} pour tout n, c’est à dire a′ satisfait à tous les types partiels suivants :

∀y_{1} … y_{n}δ(x\overline{y}/K) ≥ 1.

Rappelons que les L_{i} ne contiennent pas de symboles de fonctions. Il suffit alors de trouver des singletons a_{n} ∈ K^{∗} satisfaisant qftp_{L}(⟨Ka_{n}⟩^{n}/K) = qftp_{L}(⟨Ka⟩^{n}/K) et d_{0}(cl_{0}(Ka_{n})/K) ≥ n. On va construire une extension parasite K ≤ L_{n} = cl_{ω}(Ka_{n}) avec a_{n} comme requis.

Nous renvoyons à 3.25 pour la définition de ⟨·⟩^{n}. Pour construire L_{n}, on considère d’abord A′_{n} := ⟨Ka⟩^{n}. Par induction sur n, en utilisant l’hypothèse que les expansions T_{0} ⊆ T_{i} renforcent la prégéométrie et que d(a/K) = 1, on voit que A′_{n} n’est pas acl_{i}-clos, pour i = 1, 2. On peut donc choisir (dans L) des éléments c_{i} ∈ acl_{i}(A′_{n}) \ A′_{n}. Maintenant, on applique le Lemme 3.10 aux types p_{i} := tp_{i}(acl_{0}(A′_{n}c_{i})/K) au-dessus de K, et on obtient une extension L_{n}/K qui est contrôlée au-dessus de K par une réalisation de p_{1} ∪ p_{2}. On vérifie sans peine que L_{n}/K est parasite. Soit a_{n} ∈ L_{n} l’élément qui correspond à a dans L. Alors, A_{n} := cl_{0}(Ka_{n}) ⊆ ⟨Ka_{n}⟩^{n+1} et A_{n} ⊈ ⟨Ka_{n}⟩^{n} (par construction).

A fortiori, d_{0}(cl_{0}(A_{n})/K) ≥ n + 1, car si A_{n} ∩ ⟨Ka_{n}⟩^{m} = A_{n} ∩ ⟨Ka_{n}⟩^{m+1} pour un m, il s’en suit que A_{n} ⊆ ⟨Ka_{n}⟩^{m} (par 3.31). □

Combinant ce résultat avec le Lemme de décomposition, on obtient le corollaire suivant.

Corollaire 4.18. Soit (T_{0}, T_{1}, T_{2}) un contexte de fusion, où T_{0} ⊆ T_{i} renforce la prégéométrie, pour i = 1, 2. Alors, dans l’axiomatisation de T_{ω}, le schéma (3) prend la forme

∀\overline{z}\overline{z}_{0}∃\overline{x}[θ_{Ψ}(\overline{z}, \overline{z}_{0}) → ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0})],

où Ψ parcourt les familles de paires de contrôles donnant lieu à des extensions primitives. □

Exemples 4.19. (1) Soit T_{0} = EV_{𝔽_{p}} la théorie d’un espace vectoriel infini sur 𝔽_{p}, et soit T_{1} une complétion de la théorie des corps pseudofinis de caractéristique p. La théorie T_{1} est une expansion de T_{0} (le L_{0}-réduit est donné par le groupe additif du corps). Alors, T_{0} ⊆ T_{1} renforce la prégéométrie. Cela est aussi vrai, si T_{0} est la théorie d’un ensemble infini sans structure et T_{1} une théorie complète de corps pseudofinis (de caractéristique arbitraire).

(2) Soit T_{0} la théorie d’un ensemble infini sans structure, et soit T_{1} le graphe aléatoire (où une expansion d’une théorie géométrique T_{0} qu’on peut obtenir en ajoutant un prédicat aléatoire [CP98]). On a acl_{1}(A) = A = acl_{0}(A), et donc l’expansion T_{1} ⊇ T_{0} ne renforce pas la prégéométrie.

(3) Soit T_{0} = EV_{𝔽_{q}}, et T_{1} la théorie d’un espace vectoriel infini sur 𝔽_{q} avec une forme bilinéaire générique β(·, ·). Alors, T_{0} ⊆ T_{1} ne renforce pas la prégéométrie, car dans cet exemple on a acl_{1} = acl_{0} aussi.

Pour pouvoir pleinement exploiter le Théorème 4.13, il est commode de considérer la classe C̃_{0} ainsi que la théorie T_{ω} dans une expansion par définitions de L.

Définition 4.20. Soit L^{∗} l’expansion par définitions de L donnée par l’ensemble des L-formules existentielles (sans paramètres) à quantification bornée.

Formellement, ce nouveau langage L^{∗} est construit ainsi : pour toute formule existentielle à quantification bornée τ(\overline{x}) = τ(x_{0}, …, x_{n−1}) on introduit un nouveau symbole de relation n-aire R_{τ} (\overline{x}). Puis, on considère T_{ω} (et toute autre théorie qui implique Th_{L}(C̃_{0})) dans le langage L^{∗}, en ajoutant aux L-axiomes les “définitions” des R_{τ}, c’est à dire pour tout τ on impose

∀\overline{x}(R_{τ} (\overline{x}) ↔ τ(\overline{x})).

On écrit T_{ω}^{∗} pour dénoter la théorie T_{ω} ainsi obtenue dans L^{∗}, de même C̃_{0}^{∗} dénote la classe C̃_{0}, considérée dans L^{∗}.

Notation. On écrira tp_{ω} au lieu de tp_{T_{ω}} ainsi que acl_{ω} au lieu de acl_{T_{ω}}.

Théorème 4.21 (Élimination des quanteurs).

(1) Soient A_{i} ⊆ M_{i} ⊧ T_{ω} pour i = 1, 2 des uplets (pas nécessairement finis). Alors

tp_{ω}(A_{1}) = tp_{ω}(A_{2}) ssi cl_{ω}^{M_{1}}(A_{1}) ≅_{L} cl_{ω}^{M_{2}}(A_{2}).

(2) La théorie T_{ω}^{∗} élimine les quanteurs (dans L^{∗}).

(3) La L-théorie T_{ω} est presque modèle-complète, i.e. toute L-formule est équivalente, dans T_{ω}, à une combinaison booléenne de L-formules existentielles.

Preuve. Notons d’abord que (2) est une conséquence de (1), car il y a suffisamment de L-formules pour décrire uniformément la clôture autosuffisante (c’est la partie (2) du Lemme 4.4). Puis, (3) suit de (2). Il suffit donc de montrer (1).

On peut supposer que A_{1} et A_{2} sont finis. L’implication est claire. Réciproquement, supposons que cl_{ω}^{M_{1}}(A_{1}) ≅_{L} cl_{ω}^{M_{2}}(A_{2}). Par le Théorème 4.13, les modèles saturés de T_{ω} sont riches. On peut donc établir un va-et-vient infini au-dessus du L-isomorphisme donné entre les cl_{ω}^{M_{i}}(A_{i}), d’où tp_{ω}(A_{1}) = tp_{ω}(A_{2}). □

Corollaire 4.22. Soient M ⊆ N deux modèles de T_{ω}. Alors M ≼ N si et seulement si M ≤ N. □

Corollaire 4.23. Les complétions de T_{ω} sont données par les L-types d’isomorphisme possibles de ⟨∅⟩ ∈ C_{0}, c’est à dire pour M, N ⊧ T_{ω} on a M ≡ N si et seulement si ⟨∅⟩_{M} ≅_{L} ⟨∅⟩_{N}. □

Corollaire 4.24. Pour tout A ⊆ M ⊧ T_{ω} on a cl_{ω}^{M}(A) = acl_{ω}(A), i.e. la clôture algébrique au sens de T_{ω} est donnée par la clôture autosuffisante.

Preuve. L’inclusion cl_{ω}^{M}(A) ⊆ acl_{T_{ω}}(A) suit de 3.8, et il suffit donc de montrer que K := cl_{ω}^{M}(A) est algébriquement clos. Soit K ≤ M ≤ K^{∗} ⊧ T_{ω} et α ∈ K^{∗} \ K. On a K ≤ cl_{ω}(Kα) =: L ≤ K^{∗}. Pour n ∈ ℕ, soient L_{1}, …, L_{n} des copies isomorphes de L au-dessus de K. On peut supposer que K^{∗} est suffisamment saturé, et on peut alors plonger fortement un amalgame libre L_{1} ⊗_{K} …⊗_{K} L_{n} dans K^{∗}. En utilisant le Théorème 4.21, on voit que tp_{ω}(α/K) admet un nombre non-borné de réalisations, d’où α ∉ acl_{ω}(K). □

À la fin de cette section, nous étudions une notion d’indépendance inhérente à la construction de la fusion libre.

Définition 4.25. Soient A, B, C ⊆ K, où K est une fusion. On pose A | ⌣_{B}^{∗} C ssi cl_{ω}(BA) ∩ cl_{ω}(BC) = cl_{ω}(B) et A | ⌣_{B}^{d} C.

Le Lemme 3.14 montre :

Remarque 4.26. Soient B ⊆ A, C ⊆ K des sous-ensembles cl_{ω}-clos de la fusion K. Alors, sont équivalents :

(1) A | ⌣_{B}^{∗} C.

(2) A | ⌣_{B}^{i} C (i = 1, 2) et AC ≤ K.

(3) D := ⟨AC⟩ est un amalgame libre de A et C au-dessus de B et D ≤ K. □

Lemme 4.27. La notion | ⌣^{∗} est symétrique et transitive, c’est à dire pour tout A, B, C, D on a

Symétrie : A | ⌣_{B}^{∗} C si et seulement si C | ⌣_{B}^{∗} A.

Transitivité : A | ⌣_{B}^{∗} CD si et seulement si A | ⌣_{B}^{∗} C et A | ⌣_{BC}^{∗} D.

Preuve. La symétrie est claire par définition. Pour montrer la transitivité, il suffit de traiter le cas où B ≤ A, C et C ≤ D sont tous cl_{ω}-clos. Si A | ⌣_{B}^{∗} C et A | ⌣_{C}^{∗} D, alors A | ⌣_{B}^{∗} D suit de la Remarque 4.26(2). Pour l’autre direction, notons que A | ⌣_{B}^{∗} D ⇒ A | ⌣_{B}^{∗} C suit de la définition de | ⌣^{∗}, puisque A | ⌣_{B}^{d} D entraîne A | ⌣_{B}^{d} C. Le fait que A | ⌣_{B}^{∗} D implique A | ⌣_{C}^{∗} D est une conséquence du Lemme 3.26 : on l’applique à C ≤ A′, D, où A′ := acl_{0}(AC). Comme A | ⌣_{B}^{∗} C, A′ est fort dans K. Les autres hypothèses de 3.26, en l’occurrence A′ | ⌣_{C}^{0} D et A′ | ⌣_{C}^{d} D, sont satisfaites, et on déduit donc que cl_{ω}(AC) ∩ D = C, car cl_{ω}(AC) = ⟨A′⟩. □

Lemme 4.28 (Caractère local). Soient M une fusion, B ⊆ M et \overline{α} ∈ M un uplet fini. Alors il existe B_{0} ⊆_{ω} B tel que \overline{α} | ⌣_{B_{0}}^{∗} B.

Preuve. On pose L := cl_{ω}(B\overline{α}) et K := cl_{ω}(B). Donc, L = ⟨K\overline{a}⟩ pour un uplet fini \overline{a} ∈ M contrôlant L au-dessus de K, \overline{a} ⊇ \overline{α}. Maintenant, on choisit k ≤ K finiment engendré tel que d(\overline{a}/K) = δ(\overline{a}/K) = δ(\overline{a}/k) = d(\overline{a}/k), et on pose l := ⟨k\overline{a}⟩ (c’est autosuffisant dans M). Le Lemme 3.14 entraîne que L est un amalgame libre de K et l au-dessus de k′ := K∩l. Or, k′ est une fusion contenue de manière autosuffisante dans une fusion finiment engendrée, et donc finiment engendréee aussi, par le Lemme 3.30. Pour terminer la preuve, il suffit de choisir un ensemble B_{0} ⊆ B fini tel que k′ ⊆ cl_{ω}(B_{0}). □

Proposition 4.29. Dans toute complétion T de T_{ω}, la notion | ⌣^{∗} définit une notion d’indépendance, c’est à dire elle satisfait aux propriétés (i)-(vii) de la Définition 2.1.

Preuve. L’invariance par automorphisme est claire, et la non-trivialité suit de la définition de | ⌣^{∗} et de l’égalité acl_{ω} = cl_{ω} (Corollaire 4.24).

Ensuite, la propriété d’extension suit de l’existence d’un amalgame libre dans C̃_{0}, combiné avec le fait qu’on peut toujours plonger un amalgame libre de deux fusions fortes de manière autosuffisante dans un modèle suffisamment saturé (donc riche) de T.

Le caractère fini est une conséquence immédiate de : cl_{ω} est un opérateur finitaire, ⊗ ainsi que ≤ passent à la limite.

Enfin, la symétrie et la transitivité sont montrées dans 4.27, tandis que le caractère local est le contenu du Lemme 4.28. □

5. Simplicité

Dans cette section, nous considérons un contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}) avec T_{1} et T_{2} supersimples de rang SU 1 (et T_{0} toujours ω-catégorique) et nous montrons — sous une hypothèse supplémentaire — que toute complétion de T_{ω} est supersimple (Théorème 5.5).

Soit | ⌣^{Γ} une notion d’indépendance. Rappellons qu’une suite (A_{i})_{i<α} est | ⌣^{Γ}- indépendante au-dessus de B si pour tout β < α on a A_{β} | ⌣_{B}^{Γ} ⋃_{i<β} A_{i}. Les suites | ⌣^{Γ}-indépendantes ont des propriétés similaires à celles des suites indépendantes — c’est à dire | ⌣-indépendantes — dans une théorie simple.

Définition 5.1. (1) On dit qu’une expansion de théories simples T_{0} ⊆ T_{1} a une algébricité indépendante, si pour tout M ⊧ T_{1} et toute suite T_{1}- indépendante A, B, C au-dessus de M avec A, B, C ⊇ M on a

acl_{1}(AB) acl_{1}(AC) | ⌣_{BC}^{0} acl_{1}(BC).

(2) Nous disons que le contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}) satisfait à l’hypothèse A, si l’expansion T_{0} ⊆ T_{i} a une algébricité indépendante pour i = 1 et i = 2.

Lemme 5.2. Soit T_{0} fortement minimale et modulaire.

(1) Si T_{0} a une prégéométrie triviale, alors toute expansion simple T_{0} ⊆ T_{1} a une algébricité indépendante.

(2) Si T_{1} est stable, alors T_{0} ⊆ T_{1} a une algébricité indépendante.

Preuve. C’est clair pour (1). Quant à (2), soit M ⊧ T_{1} et soit A, B, C une suite T_{1}- indépendante au-dessus de M telle que A, B, C ⊇ M. Comme T_{0} est modulaire et fortement minimale, il suffit de montrer que acl_{0}(acl_{1}(AB) acl_{1}(AC)) ∩ acl_{1}(BC) = acl_{0}(BC). Soient \overline{a} ∈ A, \overline{b} ∈ B et \overline{c} ∈ C. Soit f̄ ∈ acl_{1}(BC) \ acl_{0}(BC). Puis, soit d̄ ∈ acl_{1}(AB) avec ⊧ φ_{1}(d̄, \overline{a}, \overline{b}), où φ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{b}) est une L_{1}-formule à paramètres dans M\overline{b} qui rend d̄ explicitement algébrique au-dessus de M\overline{b}\overline{a}. De même pour ē ∈ acl_{1}(AC) et une formule φ′_{1}(\overline{y}, \overline{z}, c̄) avec ⊧ φ′_{1}(ē, \overline{a}, c̄). Puis, soit χ_{0}(w̄, \overline{x}, \overline{y}) une L_{0}(M)-formule, explicitant w̄ ∈ acl_{0}(M\overline{x}\overline{y}) avec ⊧ χ_{0}(f̄, d̄, ē). Comme tp_{L_{1}}(\overline{a}/ acl_{1}(M\overline{b}c̄)) est le cohéritier de sa restriction à M, on trouve m̄ ∈ M avec ⊧ ∃\overline{x}\overline{y}φ_{1}(\overline{x}, m̄, \overline{b}) ∧ φ′_{1}(\overline{y}, m̄, c̄) ∧ χ_{0}(f̄, \overline{x}, \overline{y}). On en déduit facilement que f̄ ∈ acl_{0}(M\overline{b}c̄). □

Remarque. Nous ignorons s’il y a des exemples d’expansions T_{1} ⊇ T_{0} (disons avec T_{1} supersimple de rang SU 1 et T_{0} fortement minimale et modulaire) sans algébricité indépendante.

Lemme 5.3. Supposons l’hypothèse A, et soit K ⊧ T_{1} ∪ T_{2} une fusion, K ⊆ A, B, C ⊆ M, où M est riche et A, B, C une suite | ⌣^{∗}-indépendante de sousensembles cl_{ω}-clos de M. On pose D := ⟨BC⟩ = cl_{ω}(BC), E := ⟨AB⟩ = cl_{ω}(AB) et F := ⟨AC⟩ = cl_{ω}(AC). Alors, D, E, F est une suite | ⌣^{i}-indépendante au-dessus de ABC, pour i ∈ {0, 1, 2}.

Preuve. Par induction sur m + n + p, on va montrer :

(∗)^{m,n,p}: La suite (⟨AB⟩_{j}^{m}, ⟨AC⟩_{j}^{n}, ⟨BC⟩_{j}^{p}) est | ⌣^{i}-indépendante au-dessus de

l’ensemble ABC, pour i = 0, 1, 2 et j = 1, 2.

Une fois que (∗)^{m,n,p} est montré, la preuve est terminée. Pour l’établir, il suffit de montrer que ⟨AB⟩_{j}^{m}⟨AC⟩_{j}^{n} | ⌣_{BC}^{i}⟨BC⟩_{j}^{p} pour i = 0, 1, 2, puisque nous avons ⟨AB⟩ | ⌣_{B}^{∗}⟨BC⟩ par hypothèse, ce qui entraîne ⟨AB⟩ | ⌣_{B}^{i}⟨BC⟩ par 4.26 et donc aussi ⟨AB⟩ | ⌣_{BC}^{i}⟨BC⟩ pour tout i.

Les ensembles BC, ⟨AB⟩_{j}^{m}⟨AC⟩_{j}^{n} et ⟨BC⟩_{j}^{p} étant forts, le Lemme 3.26 montre

⟨AB⟩_{j}^{m}⟨AC⟩_{j}^{n} | ⌣_{BC}^{0}⟨BC⟩_{j}^{p} ⇒ ⟨AB⟩_{j}^{m}⟨AC⟩_{j}^{n} | ⌣_{BC}^{i}⟨BC⟩_{j}^{p} pour i = 1, 2.

On raisonne par l’absurde. Il existe donc m, n, p ∈ ℕ avec m + n + p minimal tels que (∗)^{m,n,p} soit faux. Par symétrie, on peut supposer que m ≤ n ≤ p et

⟨AB⟩_{1}^{m}⟨AC⟩_{1}^{n} |̸ ⌣_{BC}^{0}⟨BC⟩_{1}^{p}.

Par hypothèse, l’expansion T_{0} ⊆ T_{1} a une algébricité indépendante, et donc nécessairement p ≥ 2 (car m ≤ n ≤ p).

Par minimalité de m + n + p, on a ⟨AB⟩_{2}^{m}⟨AC⟩_{2}^{n} | ⌣_{BC}^{1}⟨BC⟩_{2}^{p−1} ce qui donne ⟨AB⟩_{1}^{m+1}⟨AC⟩_{1}^{n+1} | ⌣_{⟨BC⟩_{1}^{1}}^{1}⟨BC⟩_{1}^{p} (par la définition des hiérarchies ⟨·⟩_{j}^{k}), et en particulier

(2)  ⟨AB⟩_{1}^{m}⟨AC⟩_{1}^{n} | ⌣_{⟨BC⟩_{1}^{1}}^{0}⟨BC⟩_{1}^{p}.

Puisque p ≥ 2, on a ⟨AB⟩_{1}^{m}⟨AC⟩_{1}^{n} | ⌣_{BC}^{0}⟨BC⟩_{1}^{1}, car m + n + 1 < m + n + p. Par transitivité et (2) on arrive à ⟨AB⟩_{1}^{m}⟨AC⟩_{1}^{n} | ⌣_{BC}^{0}⟨BC⟩_{1}^{p}, une contradiction. □

Proposition 5.4 (Théorème d’Indépendance). Supposons l’hypothèse A, et soit K ⊧ T_{1} ∪ T_{2} une fusion, K ≤ A_{0}, A_{1}, A_{2} ∈ C̃_{0}. Supposons données des fusions A_{{0,1}}, A_{{0,2}} et A_{{1,2}} ainsi que des K-plongements forts ι_{k}^{w} : A_{k} ↪ A_{w} pour k ∈ w, tels que A_{{i,j}} soit un amalgame libre des images de A_{i} et A_{j} pour les plongements ι_{i}^{{i,j}} et ι_{j}^{{i,j}}.

Alors il existe une K-fusion A et des K-plongements forts ι_{w} : A_{w} ↪ A satisfaisant

(1) ι_{w} ∘ ι_{k}^{w} = ι_{w′} ∘ ι_{k}^{w′} si k ∈ w ∩ w′ (ce plongement est noté ι_{k}),
(2) ι_{0}(A_{0}), ι_{1}(A_{1}), ι_{2}(A_{2}) est une suite | ⌣^{∗}-indépendante au-dessus de K.

Preuve. L’argument que nous donnerons doit beaucoup à des suggestions de Massoud Pourmahdian qui ont aidé à simplifier la preuve du Théorème d’Indépendance que nous avions initialement.

On peut supposer que A_{1}, A_{2} ≤ A_{{1,2}}, c’est à dire ι_{1}^{{1,2}} et ι_{2}^{{1,2}} sont des inclusions. D’abord, nous construisons des L_{1}-plongements ι′_{w} : A_{w} ↪ M′ ⊧ T_{1} satisfaisant la condition (1) ainsi que certaines conditions d’indépendance.

On choisit M′ ⊇ A_{{1,2}}, un modèle suffisamment saturé de T_{1} (en particulier, ι′_{{1,2}} sera donnée par l’inclusion).

Par le théorème d’indépendance dans T_{1}, on trouve A′_{0} avec

(I): A′_{0} | ⌣_{K}^{1} A_{1}A_{2}, et A′_{0} ≡_{A_{1}}^{1} ι_{0}^{{0,1}}(A_{0}) ainsi que A′_{0} ≡_{A_{2}}^{1} ι_{0}^{{0,2}}(A_{0}).

On peut choisir A′_{0} de telle manière que

(II): A′_{0} | ⌣_{K}^{1} A_{{1,2}}.

Identifiant A′_{0} et ι_{0}^{{0,1}}(A_{0}), on trouve A′_{{0,1}} satisfaisant

(III): A′_{{0,1}} ≡_{A′_{0}A_{1}}^{1} A_{{0,1}} et A′_{{0,1}} | ⌣_{A′_{0}A_{1}}^{1} A_{{1,2}}.

De même, identifiant A′_{0} avec ι_{0}^{{0,2}}(A_{0}), on trouve A′_{{0,2}} satisfaisant

(IV): A′_{{0,2}} ≡_{A′_{0}A_{2}}^{1} A_{{0,2}} et A′_{{0,2}} | ⌣_{A′_{0}A_{2}}^{1} A′_{{0,1}}A_{{1,2}}.

Finalement, par (III) et (IV), nous avons le suivant :

(V): A′_{{0,1}}, A′_{{0,2}}, A_{{1,2}} est une suite T_{1}-indépendante au-dessus de l’en-

semble A′_{0}A_{1}A_{2}.

Les identifications que nous avons faites fournissent des L_{1}-plongements ι′_{{0,i}} : A′_{{0,i}} ↪ M′ pour i = 1, 2 qui satisfont évidemment (1).

Voilà les conséquences de (I)-(V) au niveau des L_{0}-réduits : d’abord, par (III) et (II), on a A′_{{0,1}} | ⌣_{A_{1}}^{1} A_{{1,2}}, ce qui donne

(III-0): A′_{{0,1}} | ⌣_{A_{1}}^{0} A_{{1,2}}.

Puis, (IV) donne A′_{{0,2}} | ⌣_{acl_{1}(A′_{0}A_{2})}^{0} A′_{{0,1}}A_{{1,2}}. Par ailleurs, on prétend que

(3)  acl_{1}(A′_{0}A_{2}) | ⌣_{A′_{0}A_{2}}^{0} A′_{{0,1}}A_{{1,2}},

ce qui donnera (IV-0).

Pour montrer (3), notons d’abord que (3) est un énoncé qui ne dépend que de q_{1} := tp_{1}(A′_{{0,1}}A_{{1,2}}). Comme A′_{{0,1}} | ⌣_{A_{1}}^{1} A_{{1,2}}, par la Remarque 3.13, il existe un amalgame libre (auxiliaire) Ã = A′_{{0,1}} ⊗_{A_{1}} A_{{1,2}} tel que tp_{1}(Ã′_{{0,1}}Ã_{{1,2}}) = q_{1}, où nous écrivons X̃ chaque fois qu’un ensemble X est considéré comme sousensemble de Ã. Les fusions Ã′_{0}, Ã_{1} et Ã_{2} forment une suite | ⌣^{∗}-indépendante, avec Ã′_{{0,1}} = ⟨Ã′_{0}Ã_{1}⟩ et Ã_{{1,2}} = ⟨Ã_{1}Ã_{2}⟩.

Or, le Lemme 5.3 implique ⟨Ã′_{0}Ã_{2}⟩ | ⌣_{Ã′_{0}Ã_{1}Ã_{2}}^{0} Ã′_{{0,1}}Ã_{{1,2}}, et donc en particulier

acl_{1}(Ã′_{0}Ã_{2}) | ⌣_{Ã′_{0}Ã_{2}}^{0} Ã′_{{0,1}}Ã_{{1,2}}. Comme tp_{1}(Ã′_{{0,1}}Ã_{{1,2}}) = tp_{1}(A′_{{0,1}}A_{{1,2}}), on a montré (3).

(IV-0): A′_{{0,2}} | ⌣_{A′_{0}A_{2}}^{0} A′_{{0,1}}A_{{1,2}}.

On combine (III-0) et (IV-0) pour obtenir

(V-0): Le système (K, A′_{0}, A_{1}, A_{2}, A′_{{0,1}}, A′_{{0,2}}, A_{{1,2}}, M′), avec les indices et plongements évidents, est un système indépendant de modèles de T_{0}.

Par le Fait 2.4 et (V-0), tp_{0}(A′_{{0,1}}, A′_{{0,2}}, A_{{1,2}}) est complètement déterminé par le système en question.

Changeant L_{1} en L_{2}, on peut obtenir des L_{2}-plongements ι′′_{w} : A_{w} ↪ M′′ ⊧ T_{2} satisfaisant à (1), en considérant A_{{1,2}} ⊆ M′′ ⊧ T_{2} suffisamment saturé, et en trouvant A′′_{0}, A′′_{{0,1}} et A′′_{{0,2}} vérifiant les analogues de (I)-(V).

Par ce qui est dit plus haut, on a l’égalité

tp_{0}(A′_{{0,1}}A′_{{0,2}}A_{{1,2}}) = tp_{0}(A′′_{{0,1}}A′′_{{0,2}}A_{{1,2}}).

Il suffit d’appliquer 3.10 à tp_{1}(A′_{{0,1}}A′_{{0,2}}A_{{1,2}}) et tp_{2}(A′′_{{0,1}}A′′_{{0,2}}A_{{1,2}}) pour obtenir la fusion A cherchée. Notons que les plongements ι_{w} sont donnés implicitement par notre construction. Puis, (2) suit du fait que A est un amalgame libre de A′_{0} et A_{{1,2}} au-dessus de K (on applique 5.3). □

Théorème 5.5. Supposons l’hypothèse A. Alors toute complétion T de T_{ω} est supersimple, et la relation de non-déviation | ⌣ dans T est donnée par | ⌣^{∗}.

Le rang SU d’une extension parasite est égal à la longueur d’une décomposition en extensions primitives, et SU(g/A) ≤ ω pour tout g avec d(g/A) = 1.

Preuve. On utilise le Théorème de Kim-Pillay 2.2. Il a déjà été montré que | ⌣^{∗} est une notion d’indépendance dans la Proposition 4.29. Puis, une fois que la simplicité de T est établie, 4.28 montre que tout type finitaire ne dévie pas au-dessus d’un ensemble fini, d’où la supersimplicité de T. Or, le Théorème d’Indépendance suit de la Proposition 5.4.

Les énoncés concernant le rang SU découlent des Inégalités de Lascar (voir [Wa00, Ch.5] pour une preuve dans le cas simple), car le rang SU d’une extension primitive est égal à 1 (c’est précisément le contenu du Lemme 3.22). Pour les extensions parasites, c’est clair. Puis, si g |̸ ⌣_{B}^{∗} B′ pour un singleton g avec d(g/B) = 1, forcément d(g/B′) = 0. On en déduit que SU(g/B′) < ω, car cl_{ω}(B′g)/ cl_{ω}(B′) est une extension parasite. □

En fait, la Proposition 5.4 montre :

Corollaire 5.6. Dans la situation du Théorème 5.5, le Théorème d’Indépendance est valide au-dessus de toute fusion K = cl_{ω}(K) ⊧ T_{1} ∪ T_{2}. □

Remarque 5.7. Si T_{1} et T_{2} sont fortement minimales et T_{0} ω-catégorique, alors l’hypothèse A est satisfaite par le Lemme 5.2. On peut alors appliquer le Théorème 5.5, ce qui montre que toute complétion T de T_{ω} est supersimple dans ce cas, avec | ⌣ = | ⌣^{∗}. Dans [Hi06, Section 2.6], nous obtenons des résultats divers de namalgamation. Nous montrons entre autres que T a la propriété de n-amalgamation de modèles pour tout n ∈ ℕ (cf. [Hi06, Théorème 2.6.8]).

Voilà un exemple d’un contexte de fusion avec T_{1} et T_{2} fortement minimales et T_{0} ω-catégorique où aucune complétion de T_{1} ∪ T_{2} n’est stable :

Exemple 5.8. Soit T_{0} la théorie d’une relation d’équivalence E, avec une infinité de classes à 4 éléments, sauf une classe exceptionnelle contenant un seul élément 0, T_{1} := EV_{𝔽_{5}}, l’expansion étant donnée par : Exy ssi x = αy pour un α ∈ 𝔽_{5}^{∗} = {1, λ, λ^{2}, λ^{3}} (pour λ = 2, par exemple), T_{2} := théorie d’une opération de G_{2} = ℤ/2×ℤ/2 = {1, c, d, cd} agissant trivialement sur 0 et librement sur le complément de {0}. On trouve T_{0} comme réduit via Exy ssi x = g · y pour un g ∈ G_{2}.

On montre qu’aucune complétion de T_{1} ∪ T_{2} n’est stable. Car supposons que M ⊧ T_{1} ∪ T_{2} soit stable. En particulier, c’est un groupe stable Γ pour l’addition dans l’espace vectoriel donné par T_{1}, avec composante connexe Γ^{0}. Soit x générique dans Γ^{0}. Comme la multiplication avec λ est un automorphisme définissable de Γ, l’élément λx est générique dans Γ^{0} aussi, c’est à dire tp(x) = tp(λx). En particulier, si λx = c·x (par exemple), alors λ(λx) = c·(λx) aussi. On arrive à une contradiction : x ≠ λ^{2}x = λ(λx) = c · (λx) = c · (c · x) = c^{2} · x = x.

Remarque 5.9. Pour exclure ce genre d’exemples, on peut définir : le contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}) (avec T_{i} fortement minimale) a un bon contrôle si pour tout K ∈ C̃_{0} et tout A ⊆ K contrôlant K, le L-type d’isomorphisme de K est complètement déterminé par qftp_{L}(A). On montre que si dans une des expansions T_{i} ⊇ T_{0} les multiplicités sont préservées, alors (T_{0}, T_{1}, T_{2}) a un bon contrôle. En particulier, c’est donc le cas si dcl_{0} = acl_{0}, par exemple si T_{0} est la théorie d’un espace vectoriel sur un corps fini.

Dans [HH06], il est montré que si on suppose un bon contrôle, alors T_{ω} est complète et ω-stable avec un unique type générique (de rang ω en général).

Pour conclure la section, nous allons montrer que tout type parasite est monobasé. Pour cela, le lemme suivant est bien utile, car il permet de comprendre facilement la déviation au sein d’un type parasite. On aurait pu énoncer ce lemme déjà depuis un moment.

Lemme 5.10. Soit L une extension parasite de K = cl_{ω}(K), et soit M = cl_{ω}(M) une extension arbitraire de K. Alors L | ⌣_{K}^{∗} M ssi L ∩ M = K ssi L | ⌣_{K}^{0} M.

Preuve. Il suffit de combiner le Lemme 3.14 avec 4.26, car L | ⌣_{K}^{d} M est automatique pour L/K parasite. □

Proposition 5.11. Soit T une complétion de T_{ω}, et supposons que T soit simple avec | ⌣ = | ⌣^{∗}. Alors, tout type parasite est monobasé.

Preuve. C’est une conséquence de la caractérisation de la non-déviation pour les extensions parasites donnée dans le Lemme 5.10. □

6. Paires magnifiques de fusions libres

Dans [BPV03], la notion d’une paire magnifique de modèles de T est introduite et étudiée, où T est une théorie simple complète. En fait, la définition a un sens dans toute théorie complète avec une notion d’indépendance | ⌣^{∗}. Dans cette section, en travaillant dans la classe des paires de fusions, nous montrons que tout modèle suffisamment saturé de la théorie des paires magnifiques de modèles de T_{ω} est une paire magnifique (en supposant les hypothèses de définissabilité 4.1). On obtient comme corollaire que toute complétion T de T_{ω} a la wnfcp si de plus T est simple avec | ⌣ = | ⌣^{∗}.

Le concept d’une paire magnifique (d’une théorie simple) est une généralisation commune des deux notions suivantes :

– les belles paires (de modèles d’une théorie stable) étudiées par Poizat dans [Po83],

– les paires génériques (de modèles d’une théorie simple de rang SU égal à 1) étudiées par Vassiliev dans [Va03].

Il est observé dans [BPV03] que pour une théorie stable T, une “paire magnifique” est (essentiellement) la même chose qu’une “belle paire”.

Supposons que T est une L-théorie simple et complète qui élimine les quanteurs. Soit L_{P} := L ∪ {P }, où P est un nouveau prédicat unaire. Une L_{P} -structure est donc de la forme (M, P (M)), pour une L-structure M et P (M) ⊆ M.

Définition 6.1. Soit κ ≥ |T |^{+}. Une L_{P} -structure (M, P (M)) est une paire κmagnifique si P (M) ≼_{L} M ⊧ T et si les propriétés suivantes sont satisfaites :

(i)_{κ} Pour tout sous-ensemble A ⊆ M de cardinalité < κ et tout L-type (finitaire) p ∈ S(A) il existe \overline{a} ∈ M réalisant p tel que \overline{a} | ⌣_{A} P (M).

(ii)_{κ} Pour tout A ⊆ M de cardinalité < κ et tout L-type (finitaire) p ∈ S(A) tel que p ne dévie pas au-dessus de P (A), il existe \overline{a} ∈ P (M) avec \overline{a} ⊧ p.

Fait 6.2 ([BPV03]). Soit T simple et complète. Alors :

(1) Des paires κ-magnifiques existent pour tout κ, plus généralement : toute paire se plonge dans une paire κ-magnifique (même librement, voir plus bas pour la définition d’un plongement libre).

(2) Deux paires κ-magnifiques (pour κ ≥ |T |^{+}) sont L_{∞,ω}-équivalentes. En particulier, elles ont la même L_{P} -théorie élémentaire que l’on note T^{𝔓}.

□

Si maintenant T est une théorie complète et | ⌣^{∗} une notion d’indépendance, la Définition 6.1 d’une paire κ-magnifique dans T (par rapport à | ⌣^{∗}) a un sens. En effet, le Fait 6.2 reste valable dans ce cadre (les arguments donnés dans [BPV03] restent valides sans changement).

Disons, par abus de langage, que les paires (κ-)magnifiques de modèles de T sont axiomatisables si un modèle suffisamment saturé de T^{𝔓} est une paire (κ- )magnifique. Dans [BPV03], la relation entre l’axiomatisabilité des paires magnifiques d’une théorie simple T et certaines propriétés de T est étudiée en détail, et plusieurs conditions équivalentes à l’axiomatisabilité de T^{𝔓} sont données. Dans le cas où les paires magnifiques sont axiomatisables, [BPV03] fait une étude systématique de la théorie T^{𝔓} (si les paires magnifiques ne sont pas axiomatisables, il faut sortir du cadre des classes élémentaires de structures).

Définition 6.3 ([BPV03]). Une théorie simple a la wnfcp (weak non finite cover property, une version faible de la propriété du non-recouvrement fini) si pour toutes formules φ(\overline{x}, \overline{z}) et ψ(\overline{x}, \overline{y}) on a :

(finitude) D(ψ(\overline{x}, c̄), φ) < ω pour tout c̄.

(définissabilité) Pour tout n ∈ ℕ il existe une formule χ_{n}(\overline{y}) telle que D(ψ(\overline{x}, \overline{b}), φ) = n si et seulement si ⊧ χ_{n}(\overline{b}).

Notons que si T a la wnfcp, alors T élimine ∃^{∞}.

Fait 6.4 ([BPV03]). Soit T simple et complète.

(1) La théorie T^{𝔓} est axiomatisable si et seulement si T a la wnfcp.

(2) Si T^{𝔓} est axiomatisable, c’est une théorie simple (supersimple si T est supersimple) et | ⌣^{T^{𝔓}} a une description concrète en terme de | ⌣^{T}.

En général, on doit considérer les paires |T |^{+}-magnifiques mais dans le cadre de la fusion libre, on peut faire mieux :

Définition 6.5. Soit T une théorie complète et | ⌣^{∗} une notion d’indépendance telle que tout type finitaire ne | ⌣^{∗}-dévie pas au-dessus d’un ensemble fini. Une L_{P} -structure (M, P (M)) est une paire ℵ_{ϵ}-magnifique si P (M) ≼_{L} M ⊧ T et si les deux propriétés suivantes sont satisfaites :

(i)_{ϵ} Pour tout sous-ensemble A ⊆ M tel que A = acl(\overline{b}) pour un uplet \overline{b} fini, et pour tout L-type (finitaire) p ∈ S(A) il existe \overline{a} ∈ M réalisant p tel que \overline{a} | ⌣_{A}^{∗} P (M).

(ii)_{ϵ} Pour tout A ⊆ M de la forme A = acl(\overline{b}) pour un uplet \overline{b} fini, et pour tout L-type (finitaire) p ∈ S(A) tel que p ne ( | ⌣^{∗}-)dévie pas au-dessus de P (A), il existe \overline{a} ∈ P (M) avec \overline{a} ⊧ p.

Nous allons utiliser des idées de [Be04] pour reformuler la magnificence en terme de richesse. Pour cela, nous revenons à la fusion libre dans un contexte de fusion (T_{0}, T_{1}, T_{2}). Soit (C̃_{0}^{𝔓}, ≤^{𝔓}) la classe des paires (A, P (A)) de fusions avec P (A) ≤ A, où (B, P (P)) ≤^{𝔓} (A, P (A)) ssi B ≤ A, P (B) ≤ P (A) et B | ⌣_{P (B)}^{∗} P (A). On pose

C_{0}^{𝔓} := {(A, P (A)) ∈ C̃_{0}^{𝔓} | A ∈ C_{0}}.

Suivant la terminologie de [Be04], on appelle ≤^{𝔓} une extension (un plongement) libre. Si (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A, P (A)), (C, P (C)) sont des paires de fusions, on peut choisir un amalgame libre D = A ⊗_{B} C et définir P (D) := ⟨P (A)P (C)⟩ au sein de D. On effectue un calcul standard de | ⌣^{∗}-indépendance pour vérifier que P (D) = P (A)⊗_{P (B)}P (C) et (A, P (A)), (C, P (C)) ≤^{𝔓} (D, P (D)), ce qui montre la deuxième partie du lemme suivant. Quant à la première, il suffit d’utiliser 4.4.

Lemme 6.6. (1) C̃_{0}^{𝔓} est une classe élémentaire.

(2) (C̃_{0}^{𝔓}, ≤^{𝔓}) (ainsi que (C_{0}^{𝔓}, ≤^{𝔓})) a la propriété d’amalgamation (AP). □

Définition 6.7. Un élément (M, P (M)) ∈ C̃_{0}^{𝔓} est appelé une paire riche de fusions si (M, P (M)) est riche pour la classe (C_{0}^{𝔓}, ≤^{𝔓}).

Avant d’arriver à l’égalité “paire riche=paire ℵ_{ϵ}-magnifique”, nous allons montrer qu’une extension finiment engendrée dans C̃_{0}^{𝔓} peut être obtenue comme suite d’extensions plus simples et faciles à décrire.

Définition 6.8. Soit (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A, P (A)) une extension libre dans C̃_{0}^{𝔓}.

– (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A, P (A)) est une extension de base, si A = ⟨BP (A)⟩. Une telle extension de base est finiment engendrée / parasite / primitive / générique, si P (A)/P (B) l’est.

– On dit que (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A, P (A)) ne change pas la base, si P (A) = P (B). Dans ce cas, l’extension est appelée finiment engendrée / parasite / primitive / générique, si A/B est une extension finiment engendrée / parasite / primitive / générique.

Soit (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A, P (A)) dans C̃_{0}^{𝔓}. Au sein de A, on trouve A_{β} := ⟨BP (A)⟩ = cl_{ω}(BP (A)). Donc, P (A_{β}) = P (A), et (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A_{β}, P (A_{β})) est une extension de base, alors que (A_{β}, P (A_{β})) ≤^{𝔓} (A, P (A)) ne change pas la base. En utilisant le Lemme de décomposition 3.29 dans la classe (C̃_{0}, ≤) et 3.30, on en déduit :

Lemme 6.9. Soit (B, P (B)) ≤^{𝔓} (A, P (A)) dans C̃_{0}^{𝔓} avec A/B finiment engendrée. Alors il existe des fusions A_{0} = B ≤ A_{1} ≤ … ≤ A_{n} = A telles que pour i = 1, …, n − 1, (A_{i}, P (A_{i})) ≤ (A_{i+1}, P (A_{i+1})) est d’un des types suivants : extension de base primitive, extension de base générique, extension primitive qui ne change pas la base, extension générique qui ne change pas la base. On peut même les arranger de sorte qu’il existe r ≤ n − 1 tel qu’il s’agisse des extensions de base pour i ≤ r et des extensions qui ne changent pas la base pour i > r. □

Lemme 6.10. Les paires riches de fusions sont exactement les paires ℵ_{ϵ}-magni-fiques de modèles de T_{ω}.

Preuve. L’argument est similaire à la preuve de [Be04, Prop. 2.3], et nous l’omettons. □

Remarque. En fait, on peut montrer un peu plus : Une paire de fusions (M, P (M)) dans C̃_{0}^{𝔓} satisfait à la condition (i)_{ϵ} ssi elle est riche pour les extensions qui ne changent pas la base, et elle satisfait à la condition (ii)_{ϵ} ssi elle est riche pour les extensions de base. □

Les composantes connexes de (C̃_{0}^{𝔓}, ≤^{𝔓}) sont précisément données par les composantes connexes de (C̃_{0}, ≤). Évidemment, deux paires riches de fusions (M, P (M)) et (N, P (N)) ont la même L_{P} -théorie ssi elles se trouvent dans la même composante connexe de (C̃_{0}^{𝔓}, ≤^{𝔓}). Dans ce cas, elles sont (L_{P})_{∞,ω}-équivalentes, car elles se correspondent par va-et-vient infini.

Voilà le lien avec les paires κ-magnifiques (toujours par rapport à | ⌣^{∗}) :

Lemme 6.11. Soit (M, P (M)) une paire de fusions ℵ_{ϵ}-magnifique, et κ-saturée en tant que L_{P} -structure. Alors, (M, P (M)) est une paire κ-magnifique.

Preuve. Clair. □

Soit T_{ω}^{𝔓} la théorie des paires ℵ_{ϵ}-magnifiques de modèles de T_{ω}. Nous voulons axiomatiser cette L_{P} -théorie. Soit T_{ω}^{𝔓′} la L_{P} -théorie suivante :

T_{ω}^{𝔓′}(1) : Si (M, P (M)) est un modèle de T_{ω}^{𝔓′}(1), alors P (M) ≼_{L} M ⊧ T_{ω}.

T_{ω}^{𝔓′}(2) : Soit Ψ = (ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}), ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0})) une famille de paires de contrôle de dimension e et τ(\overline{x}, \overline{z}, \overline{y}) une L-formule existentielle à quantification bornée telle que ⊧ τ(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}) implique d(\overline{a}/\overline{b}\overline{c}) < e. Alors, on met un axiome de la forme

∀\overline{z}\overline{z}_{0}∃\overline{x}∀\overline{y}\{[θ_{Ψ}(\overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ⋀_{i=0}^{m} y_{i} ∈ P]

→ [ψ_{1}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ψ_{2}(\overline{x}, \overline{z}, \overline{z}_{0}) ∧ ¬τ(\overline{x}, \overline{z}, \overline{y}) ∧ ⋀_{i=0}^{n−1} x_{i} ∉ P]\}

T_{ω}^{𝔓′}(3) : Soit Ψ comme dans le schéma (2), τ(\overline{x}, \overline{z}) existentielle à quantification bornée forçant d(\overline{x}/\overline{z}) < e. Puis, pour \overline{x} = (x_{0}, …, x_{n−1}) ⊆ x̃, \overline{z}_{0} ⊆ z̃_{0} et \overline{z} = (z_{0} …, z_{k−1}) ⊆ z̃, soit Ψ̃ = (ψ̃_{1}(x̃, z̃, z̃_{0}), ψ̃_{2}(x̃, z̃, z̃_{0})) une autre famille de paires de contrôle (de dimension e), telle que ⊧ ψ̃_{i} → ψ_{i} pour i = 1, 2, et ã ∈ ⟨\overline{a}b̃⟩ dès que ⊧ ψ̃_{1}(ã, b̃, b̃_{0}) ∧ ψ̃_{2}(ã, b̃, b̃_{0}). Pour une telle situation, on met un axiome de la forme

∀z̃z̃_{0}∃x̃{[θΨ̃(z̃, z̃_{0}) ∧ ⋀_{i=0}^{k−1} z_{i} ∈ P]

→ [ψ̃_{1}(x̃, z̃, z̃_{0}) ∧ ψ̃_{2}(x̃, z̃, z̃_{0}) ∧ ¬τ(\overline{x}, \overline{z}) ∧ ⋀_{i=0}^{n−1} x_{i} ∈ P]\}.

Théorème 6.12. Les théories T_{ω}^{𝔓} et T_{ω}^{𝔓′} coïncident. Plus précisément, sont équivalents pour (M, P (M)) une paire de fusions :

(a) (M, P (M)) est une paire riche de fusions.

(b) (M, P (M)) est une paire ℵ_{ϵ}-magnifique de modèles de T_{ω}.

(c) (M, P (M)) est un modèle ℵ_{ϵ}-saturé de T_{ω}^{𝔓′}.

Preuve. L’équivalence (a) ⟺ (b) est le Lemme 6.10.

On vérifie que le schéma d’axiomes T_{ω}^{𝔓′}(2) est une version approximative de (i)_{ϵ}, tandis que T_{ω}^{𝔓′}(3) est une version approximative de (ii)_{ϵ}. Donnons l’argument concernant T_{ω}^{𝔓′}(2) et la propriété (i)_{ϵ}. Soit d’abord (M, P (M)) une paire de modèles de T_{ω} satisfaisant (i)_{ϵ}. On montre que (M, P (M)) ⊧ T_{ω}^{𝔓′}(2). Pour cela, on considère une famille de paires de contrôle Ψ = (ψ_{1}, ψ_{2}), de dimension e, et τ(\overline{x}, \overline{z}, \overline{y}) comme dans le schéma d’axiomes T_{ω}^{𝔓′}(2), et on suppose que M ⊧ θ_{Ψ}(\overline{b}, \overline{b}_{0}) pour des uplets \overline{b}, \overline{b}_{0} ∈ M.

Par 4.12 on peut supposer que \overline{b} ≤ ⟨\overline{b}⟩ =: k et (k, P (k)) ≤^{𝔓} (M, P (M)), c’est à dire k ≤ M et k | ⌣_{P (k)}^{∗} P (M). Soit p := tp_{ω}(\overline{a}′/k), où \overline{a}′ est une solution L_{i}-

générique de ψ_{i}(\overline{x}, \overline{b}, \overline{b}_{0}) (i = 1, 2) au-dessus de k, telle que k ≤ k\overline{a}′ ≤ ⟨k\overline{a}′⟩ =: l′ et l′ est fortement k-plongée dans K^{∗} ≽_{L} M. On applique (i)_{ϵ} au type p ∈ S(k) pour trouver \overline{a} ∈ M réalisant p tel que \overline{a} | ⌣_{k}^{∗} P (M). Posons l := ⟨k\overline{a}⟩ = cl_{ω}(k\overline{a}). Comme k | ⌣_{P (k)}^{∗} P (M), on a l | ⌣_{P (k)}^{∗} P (M), et donc, par la définition de | ⌣^{∗}, P (l) =

l ∩ P (M) = P (k) ainsi que l | ⌣_{P (k)}^{d} P (M). Le premier point donne que l’uplet \overline{a} n’a pas de coordonnée dans P, et le deuxième point montre que e = d(\overline{a}/k) = d(\overline{a}/kc_{0}, …, c_{m−1}) pour tout uplet \overline{c} ∈ P (M) fini. L’axiome correspondant à Ψ et τ dans (2) est donc vrai dans (M, P (M)).

Réciproquement, soit (M, P (M)) une paire de modèles de T_{ω} satisfaisant T_{ω}^{𝔓′}(2), telle que (M, P (M)) soit ℵ_{ϵ}-saturé pour sa propre théorie. Soit p ∈ S(k) avec k ≤ M finiment engendrée. Soit \overline{a}′ ∈ K^{∗} une solution de p, et posons l′ := cl_{ω}(k\overline{a}′). Il faut trouver \overline{a} ∈ M tel que \overline{a} ⊧ p et \overline{a} | ⌣_{k}^{∗} P (M). Or, nous montrons plus : on peut trouver une k-copie l de l′ dans M, avec l ≤ M et l | ⌣_{P (k)}^{∗} P (M). Pour cela, il suffit que l ⊧ qftp_{ω}(l′/k), P (l) = l ∩ P (M) ⊆ P (k) (d’où P (l) = P (k)) et l | ⌣_{k}^{d} P (M)). Or, les axiomes (2) montrent que le type décrit est finiment réalisable dans (M, P (M)). Par ℵ_{ϵ}-saturation, on conclut.

L’argument concernant T_{ω}^{𝔓′}(3) et la propriété (ii)_{ϵ} est plus facile, et nous l’omettons.

Nous avons alors montré que toute paire riche de fusions est un modèle de T_{ω}^{𝔓′} et que tout modèle ℵ_{ϵ}-saturé de T_{ω}^{𝔓′} est une paire riche de fusions.

Finalement, il est facile de voir que si la paire (K, P (K)) est librement plongée dans (M, P (M)) ⊧ T_{ω}^{𝔓′}, alors K = acl_{L_{P}} (K) (on varie légèrement l’argument donné dans la preuve de 4.24). Avec cela, on montre l’ℵ_{ϵ}-saturation d’une paire riche de fusions, ce qui termine la preuve. □

Corollaire 6.13. Supposons que la complétion T de T_{ω} est simple, et que la nondéviation dans T est donnée par | ⌣^{∗}. (C’est par exemple le cas sous l’hypothèse A, pour des expansions T_{1} et T_{2} de T_{0}, avec T_{1} et T_{2} supersimples de rang SU 1 et T_{0} fortement minimale modulaire et ω-catégorique.) Alors, on a :

(1) La L-théorie T a la wnfcp.

(2) La L_{P} -théorie T^{𝔓} est supersimple, où T^{𝔓} dénote la théorie d’une paire riche de fusions dans la composante connexe de (C̃_{0}, ≤) associée à T.

Preuve. Comme | ⌣^{∗} = | ⌣ dans T par hypothèse, les paires κ-magnifiques par rapport à | ⌣^{∗} que nous avons étudiées sont les “vraies” paires κ-magnifiques, c’est à dire celles par rapport à la relation de non-déviation | ⌣. Le corollaire suit donc du Fait 6.4, car T^{𝔓} est axiomatisable par le Théorème 6.12. □

7. Variations sur la fusion

Dans cette section, nous mentionnons deux constructions qui sont similaires à la fusion libre. Si T_{1} est une théorie (pré-)géométrique et T_{0} ⊆ T_{1} un réduit fortement minimal et modulaire, nous considérons des structures bicolores par rapport à l’expansion T_{1} ⊇ T_{0} ; de même, nous construisons la courbe générique au-dessus de T_{1}.

Sous des hypothèses de définissabilité convenables, ces constructions admettent des axiomatisations explicites ; si de plus T_{1} est supersimple de rang SU égal à 1, on obtient des théories supersimples.

Les preuves sont similaires à celles que nous avons données dans la fusion libre, mais les arguments sont plus élémentaires en général. Nous ne donnons donc pas de preuves et nous contentons d’indiquer le type de résultats qu’on obtient. Le cas où T_{1} est supersimple de rang SU égal à 1 est traité en détail dans [Hi06, Ch.4].

7.1. Courbe générique. Soit T_{1} une L_{1}-théorie complète et C un nouveau symbole de relation binaire. Soit L := L_{1} ∪ {C}. On s’intéresse à des L-structures (M, C^{M}), où M ⊧ T_{1}. Soit T_{1} = ACF_{p} la théorie d’un corps algébriquement clos de caractéristique p ≥ 0, et soient K ⊧ ACF_{p}, d ≥ 1 et (a_{i,j}) une suite d’éléments algébriquement indépendants dans K, où 0 ≤ i, j et i + j ≤ d. La courbe C_{d} ⊆ K^{2} donnée par l’équation ∑_{i,j} a_{i,j}X^{i}Y^{j} = 0 est une courbe générique de degré d. Soit T_{d} la L-théorie de (K, C_{d}^{K}). Cette théorie s’interprète dans le type de l’uplet a_{i,j} et ne dépend donc pas du choix des a_{i,j}. Dans [CHKP02], il est montré :

(1) La suite (T_{d})_{d≥1} tend vers une limite T_{ω} dans l’espace des L-théories.

(2) Cette limite T_{ω} est ω-stable de rang de Morley ω.

(3) Si (K, C) ⊧ T_{ω} et (a′, b′) ∈ C, alors posant C′ := C \ {(a′, b′)}, on a (K, C′) ⊧ T_{ω}. De même, il existe (a′′, b′′) ∈ K^{2} \ C tel que pour C′′ := C ∪ {(a′′, b′′)} on a (K, C′′) ⊧ T_{ω}.

La construction de T_{ω} se fait par une amalgamation à la Fraïssé-Hrushovski, sans collapse. La complétude et l’ω-stabilité ainsi que (3) s’obtiennent alors facilement. La preuve de (1) est plus difficile. Les propriétés (1) et (3) ont de nombreuses conséquences de non-définissablité. Citons-en deux :

(I) Pour m ≥ 2, soit R_{m} un nouveau prédicat m-aire. Alors, il n’existe pas d’énoncé φ(R_{m}) dans le langage des corps augmenté par R_{m} tel que pour tout ensemble définissable D ⊆ K^{m} on ait : D est Zariski-clos si et seulement si K ⊧ φ(D).

(II) Soit R_{m} comme dans (I). Alors il n’existe pas d’énoncé φ(R_{m}) tel que pour tout ensemble Zariski-clos D ⊆ K^{m} on ait : D est irréductible si et seulement si K ⊧ φ(D).

Nous allons généraliser la construction de [CHKP02] au cadre suivant :

Contexte 7.1. T_{1} est une L_{1}-théorie prégéométrique (complète). Pour simplifier l’exposition, on suppose aussi que T_{1} élimine les quanteurs et que L_{1} = L(T_{1}) est dénombrable.

Soit L := L_{1} ∪ {C}, où C est un nouveau symbole de relation binaire. Comme avant, acl_{1} dénote la clôture algébrique au sens de T_{1}, et d_{1} la dimension au sens de la prégéométrie induite par acl_{1}.

Nous travaillons dans la classe C̃ des L-structures (M, C^{M}) avec M = acl_{1}(M) ⊧ T_{1}^{∀}. Pour A ⊆_{ω} M ∈ C̃ et B ⊆ M arbitraire on pose δ(A) := d_{1}(A) − |C^{A}| et δ(A/B) := d_{1}(A/B) − |C^{AB} \ C^{B}|. On définit C̃_{0} := {M ∈ C̃| δ(A) ≥ 0 ∀A ⊆_{ω} M}, et C_{0} est la classe des structures finiment engendrées (au sens de acl_{1}) dans C̃_{0}. Pour B ⊆ A ⊆ M, on définit B ≤ A (B est autosuffisant ou fort dans A) si et seulement si δ(\overline{a}/B) ≥ 0 pour tout uplet fini \overline{a} ∈ A. La dimension d est définie comme dans la fusion libre, et on a l’analogue du Lemme 3.6.

La classe C̃_{0} est élémentaire. Pour être en analogie complète avec la fusion libre, nous pourrions écrire ⟨·⟩ au lieu de acl_{1}(·), mais nous gardons la notation acl_{1}. Si K ∈ C̃_{0} et B ⊆ K, par conséquent, on dit que B contrôle K si acl_{1}(B) = K et B ≤ K. On a donc B ≤ acl_{1}(B) si et seulement si C^{acl_{1}(B)} = C^{B}. Pour K ⊆ L, M ⊆ N dans C̃, on dit que N est un amalgame libre de L et M au-dessus de K, si L | ⌣_{K}^{1} M et N est contrôlé par LM, c’est à dire N = acl_{1}(LM) et C^{N} = C^{L} ∪ C^{M}.

Les amalgames libres existent dans C̃_{0}. En particulier, la classe (C̃_{0}, ≤) a la propriété d’amalgamation. De plus, elle est connexe (comme acl_{1}(∅) avec aucun point dans C se plonge de manière autosuffisante dans toute structure de C̃_{0}). Soit T_{ω} la L-théorie des structures riches dans C̃_{0}. Avec des arguments similaires à la fusion libre, on peut montrer :

Proposition 7.2. (1) Si T_{1} est géométrique, alors la théorie (complète) T_{ω} admet une axiomatisation explicite, et ses modèles ℵ_{ϵ}-saturés sont précisément les structures riches dans C̃_{0}. En particulier, cela fournit une description des types dans T_{ω}. De plus, il y a une notion d’indépendance naturelle | ⌣^{∗} dans T_{ω}.

(2) Si T_{1} est supersimple de rang SU égal à 1, alors T_{ω} est supersimple de rang SU égal à ω et la relation de non-déviation dans T_{ω} est donnée par | ⌣^{∗}. □

Corollaire 7.3. On peut construire et axiomatiser la théorie de la courbe générique dans un corps réel clos, dans un corps p-adiquement clos et dans un corps pseudofini.

Soit T_{1} la théorie d’un corps pseudofini. Comme dans un corps algébriquement clos, le degré fournit une mesure pour décrire la “complexité” d’une courbe plane. On peut donc espérer pouvoir représenter, de manière naturelle, la théorie T_{ω} comme limite de théories T_{d} = Th(F, C_{d}) où F est pseudofini et C_{d} une courbe plane de degré d, avec un paramètre générique. Cependant, il n’y a pas de choix unique pour les paramètres génériques, et la limite de telles théories T_{d} (si elle existe) pourrait dépendre des choix de paramètres.

D’où les questions suivantes (une réponse positive, même à la première partie, paraît probable, mais nous n’avons pas exploré cette question en profondeur ; on ne peut d’ailleurs pas imaginer une réponse positive à la seconde partie qui ne passerait pas par la première) :

Questions. – Est-ce que la limite de telles théories T_{d} est égale à T_{ω}, et cela indépendamment du choix des paramètres génériques pour définir les courbes C_{d}?

– Est-ce qu’il existe un choix de paramètres pour lequel les théories T_{d} aient la limite T_{ω}?

7.2. Structures bicolores. Afin de construire un contre-exemple à la conjecture de Berline-Lascar (qui dit qu le rang U de Lascar d’un corps superstable est toujours de la forme ω^{α}), Poizat considère des corps algébriquement clos K avec un nouveau prédicat unaire P, désignant un sous-ensemble distinct P^{K} ⊆ K. Il effectue une amalgamation à la Hrushovski, à l’aide de la prédimension δ(A) := 2 deg. tr(A) − dim(P^{A}), où dim est une notion de dimension appropriée sur le prédicat, et il obtient des corps de rang de Morley (et de Lascar) ω · 2 ; le rang du prédicat est égal à ω.

Dans [Po99], on a P = N (l’ensemble des points noirs), et le prédicat désigne juste un sous-ensemble : on obtient les corps noirs. Si P = R désigne un sousgroupe du groupe additif du corps, on construit ainsi les corps rouges [Po01]. Enfin, également dans [Po01], Poizat considère le cas où P = V désigne un sous-groupe du groupe multiplicatif du corps, pour obtenir les corps verts.

Il y a un cadre naturel qui incorpore deux de ces constructions de corps bicolores : les corps noirs (en toute caractéristique) et les corps rouges en caractéristique positive. Nous proposons le cadre des structures bicolores. Au niveau de la construction, nous supposerons : T_{1} est complète et prégéométrique, et T_{0} ⊆ T_{1} est un réduit fortement minimal et modulaire. En ajoutant un nouveau prédicat unaire R (désignant les points rouges) à L_{1} = L(T_{1}), nous considérons la classe des modèles de T_{1}^{∀} dans L := L_{1} ∪ {R}, à l’aide de la prédimension δ(A) := 2 d_{1}(A) − d_{0}(R^{A}), où d_{i} désigne la dimension par rapport à T_{i}. Pour faciliter l’exposition, nous supposons de plus : les T_{i} éliminent les quanteurs dans L_{i}, les langages sont dénomobrables et acl_{1}(∅) est infini. On définit la classe des structures bicolores comme suit :

C̃_{0} := {(M, R^{M}) | M = acl_{1}(M) et (M, R^{M}) ⊧ T_{0}^{𝔓}}.

Là, T_{0}^{𝔓} désigne la théorie des belles paires de modèles de T_{0}, considérée dans L_{0}∪{R}. Notons que T_{0}^{𝔓} élimine les quanteurs dans ce langage, car T_{0} est modulaire.

On définit une notion d’autosuffisance ≤ (pour des sous-ensembles acl_{0}-clos de structures dans C̃_{0}) et de dimension d(·) précisément comme dans la fusion libre, et on obtient alors des opérateurs de clôture cl_{0}, cl_{ω} et cl_{d}, en remplaçant ⟨·⟩ par acl_{1}(·).

On développe la machinerie des amalgames de Hrushovski comme dans la fusion, à l’exception du fait que la fonction d(·) n’induit une prégéométrie que si l’on la restreint aux points rouges. L’existence d’amalgames libres donne la propriété d’amalgamation dans (C̃_{0}, ≤), et cette classe est connexe, aussi. On peut donc construire des structures bicolores riches dans (C̃_{0}, ≤) — riches par rapport à la classe C_{0} des structures finiment engendrées au sens de acl_{1}. Soit T_{ω} la théorie (complète) des structures bicolores riches.

Théorème 7.4. (1) Si T_{1} est géométrique et T_{0} ω-catégorique, alors T_{ω} admet une axiomatisation explicite, et ses modèles ℵ_{ϵ}-saturés sont précisément les structures bicolores riches. En particulier, cela fournit une description des types dans T_{ω}. De plus, il y a une notion d’indépendance naturelle | ⌣^{∗} dans T_{ω}.

(2) Si T_{1} est supersimple de rang SU égal à 1 et T_{0} ω-catégorique, alors T_{ω} est supersimple de rang SU au plus ω · 2 (avec SU(R) ≤ ω) et la relation de non-déviation dans T_{ω} est donnée par | ⌣^{∗}. □

Dans bien des cas, il est possible d’effectuer des caluls de rang exact :

Exemple 7.5. (1) Soit T_{1} la théorie d’un corps pseudofini et T_{0} la théorie d’un

ensemble infini sans structure. Alors SU(T_{ω}) = ω · 2 et SU(R) = ω.

(2) Soit T_{1} la théorie d’un corps pseudofini de caractéristique p > 0 et T_{0} = EV_{𝔽_{p}}. Alors, comme avant, SU(T_{ω}) = ω · 2 et SU(R) = ω.

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(Martin Hils) Institut für Mathematik, Humboldt-Universität zu Berlin, 10099 Berlin, Germany

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