Groupes simples connexes minimaux algébriques de type impair

Adrien Deloro

13 février 2007

1 Introduction

1.1 Conjecture d’Algébricité

Une intuition directrice en algèbre modèle-théorique, et dont la Conjecture d’Algébricité infra offre un exemple, est que les objets de complexité logique raisonnable sont déjà connus.

Dans le cas particulier des groupes on peut réduire au minimum le bagage modèle-théorique nécessaire à une formalisation de ce principe d’abord énoncé pour les théories ℵ_{1}-catégoriques. En fait les axiomes de Borovik-Poizat pour les groupes de rang de Morley fini (cf. [BN94, chapitre 4]) tendent à faire oublier le contenu modèle-théorique du rang de Morley.

Conjecture d’Algébricité (Cherlin-Zilber) Un groupe simple infini de rang de Morley fini est isomorphe à un groupe algébrique sur un corps algébriquement clos.

Pourtant l’existence de “mauvais corps” a été annoncée en 2006 (nous reviendrons sur cette notion après l’énoncé du Théorème 1.1 infra). Ceci incite à la prudence en matière de telles conjectures, et il ne serait pas trop surprenant qu’un contre-exemple à la Conjecture d’Algébricité soit un jour construit. Ainsi l’objet de l’étude des groupes de rang de Morley fini n’est pas tant de se prononcer sur cette conjecture, que d’offrir une sorte d’épure de la classification des groupes simples finis.

1.2 Involutions

A cette fin, la ligne d’attaque retenue pour la Conjecture de Cherlin-Zilber doit être compatible avec la démarche de classification des groupes simples finis. Le programme de Borovik distingue selon la structure du 2-sous-groupe de Sylow, noté classiquement S. En l’occurence, on définit quatre types, correspondant à la caractéristique attendue du corps sous-jacent (cf. Fait 2.12 infra) : type pair : S^{∘} = U, un groupe 2-unipotent non-trivial ; type impair : S^{∘} = T, un 2-tore non-trivial ; type mixte : S^{∘} = T ∗U, avec T un 2-tore non-trivial et U un groupe 2-unipotent

non-trivial ; type dégénéré : S^{∘} = 1, i.e. S fini.

Nous nous plaçons ici en type impair, ce qui signifie que la composante connexe du 2-sous-groupe de Sylow est un 2-tore, c’est-à-dire un produit direct de groupes de Prüfer ℤ_{2^{∞}}. Le nombre de facteurs est fini et appelé le 2-rang de Prüfer, ou rang de Prüfer quand il n’y a pas d’ambiguïté avec d’autres nombres premiers. Le présent article concerne certains groupes de rang de Morley fini de type impair et de rang de Prüfer égal à 1, si bien que S^{∘} ≃ ℤ_{2^{∞}}.

On pressent une opposition entre les involutions du groupe ambiant qui appartiennent à un 2-tore, et celles qui sont en dehors de la composante connexe de tout 2-sous-groupe de Sylow. Les premières sont évidemment conjuguées entre elles dans le cas où S^{∘} ≃ ℤ_{2^{∞}} d’après le Fait 2.12 ci-dessous, on les appelle ici toriques. Une involution torique est a priori susceptible d’appartenir à la couche non-connexe d’un 2-groupe de Sylow, en revanche il y a au moins un tel groupe qui la contient dans sa composante connexe. Remarquons également que si le groupe ambiant G est de type impair et qu’une involution w est torique, alors w ∈ C^{∘}(w). Réciproquement, si w ∈ C^{∘}(w) résoluble (et quel que soit le type), il existe un 2-sous-groupe de Sylow S de G tel que w ∈ S^{∘} d’après le Fait 2.20 infra.

Précisons enfin que toute involution est en fait torique dans tout groupe connexe de rang de Morley fini de type impair. C’est l’objet du Fait 2.57 pris dans [BC06], mais nous n’utiliserons pas ce résultat et distinguerons soigneusement nos involutions.

1.3 Etat des lieux

Revenons à la Conjecture d’Algébricité. Au moment d’écrire cette introduction, on sait qu’il n’y a pas de groupe simple de rang de Morley fini de type mixte, et aussi que la Conjecture de Cherlin-Zilber est vérifiée pour le type pair. On renvoie à [ABC06]. Plus récemment, il a été montré dans [BBC06] qu’il n’y a pas vraiment de groupe de rang Morley fini connexe de type dégénéré, dans le sens où S^{∘} = 1 implique pour un groupe connexe S = 1, i.e. l’absence d’involutions.

En ce qui concerne le type impair, on dispose d’une borne sur le rang de Prüfer d’un éventuel contre-exemple minimal à la Conjecture de Cherlin-Zilber, donnée dans [BCJ07]. L’enjeu du Théorème 1.1 infra est ainsi la vérification de la Conjecture d’Algébricité dans le cas “type impair, petit rang de Prüfer”, jonction éventuelle avec les bornes [BCJ07]. Ainsi, en présence d’involutions, la situation serait plutôt maîtrisée. Reste le cas de groupes “2^{⊥}”, i.e. sans involutions, et c’est une tout autre affaire.

Une autre notion nécessaire à la compréhension du théorème principal de cet article est celle de sous-groupe de Borel. Il s’agit par définition des sousgroupes définissables, connexes, résolubles, et maximaux pour ces propriétés. Un groupe de rang de Morley fini est simple connexe minimal s’il est simple, connexe, et infini, et si tous ses sous-groupes propres définissables et connexes sont résolubles. “Sous-groupe de Borel” s’y confond alors avec “sous-groupe définissable connexe propre maximal ”, c’est-à-dire que tous les sous-groupes propres connexes sont résolubles, par opposition au groupe ambiant supposé simple. Les groupes simples connexes minimaux sont un laboratoire important où expérimenter des techniques, même s’ils ne forment qu’un cas de la Conjecture d’Algébricité. Ils sont l’analogue des groupes simples minimaux finis de la classification de Thompson.

Nous prouvons ici le

Théorème 1.1 Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal de type impair et de rang de Prüfer 1, et i une involution torique de G. On suppose que C^{∘}(i) n’est pas un sous-groupe de Borel de G. Alors G est isomorphe à PSL_{2}(K), où K est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2.

Ce théorème a déjà été prouvé dans [CJ04, Theorem 1.8, 1, a], dans le cas ordinaire, c’est-à-dire sous l’hypothèse supplémentaire que le groupe ambiant n’interprète pas de mauvais corps. Il s’agit d’une structure ⟨K, 0, 1, +, ., T ⟩ de corps où le prédicat T définit un sous-groupe infini propre de K^{×}, le tout étant de rang de Morley fini. Récemment il a été annoncé que de tels objets existent, nous renvoyons à [BHMPW06]. Un tel sous-groupe T agit sur K_{+}. Ainsi les mauvais corps compliquent-ils considérablement les groupes connexes résolubles de rang de Morley fini. Mais cela n’invalide pas nécessairement la Conjecture d’Algébricité, qui ne porte que sur les groupes simples. Le Théorème 1.1 est une avancée importante en ce qu’il contribue à éliminer un peu plus la logique de l’étude des groupes ℵ_{1}-catégoriques. Il va de soi que les techniques de [CJ04], liées à l’ordinarité, sont à traduire, sinon à réinventer ici.

La preuve du Théorème 1.1 repose sur des calculs de rang avec les éléments fortement réels que permet l’hypothèse que C^{∘}(i) n’est pas un sous-groupe de Borel. Ces calculs ont été utilisés pour la première fois dans le contexte de rang de Morley fini par Nesin pour les groupes de type pair dans [DN94], et pour les groupes de type impair par Jaligot dans le travail non publié [Jal00].

Le Théorème 1.1 permet de dégager une autre propriété de PSL_{2}(K).

Corollaire 1.2 Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal de type impair, et w une involution torique de G. Alors :

- soit tout sous-groupe propre définissable, connexe, et w-invariant de G est inclus dans un sous-groupe de Borel w-invariant,

- soit G est isomorphe à P SL_{2}(K), où K un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2.

Les deux cas s’excluent l’un l’autre. En effet PSL_{2} offre bien un contreexemple à la première alternative, en prenant

w = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) et T = \{( \begin{matrix}t & 0 \\ 0 & t^{−1} \end{matrix} ) , t ∈ K^{×}\} .

Nous allons privilégier les sous-groupes de Borel qui contiennent C^{∘}(i) pour une involution torique i, nous y penserons comme aux sous-groupes de Borel standards. On sait conjuguer les involutions toriques en rang de Prüfer 1, mais en l’absence de résultat général de conjugaison des sous-groupes de Borel, rien ne dit que tous les sous-groupes de Borel sont standards. En revanche, dans notre groupe-cible PSL_{2}, les sous-groupes de Borel sont conjugués et contiennent bien le centralisateur connexe de leurs involutions. Notre définition de sous-groupe de Borel standard diffère de celle de [BCJ07], qui est la suivante : un sous-groupe de Borel qui contient la composante connexe d’un 2-sous-groupe de Sylow. En 2-rang de Prüfer 1, cela équivaut à posséder une involution d’après le Fait 2.20 infra, mais c’est a priori plus faible que contenir le centralisateur connexe de cette involution.

1.4 Plan de l’article

§1. Cette introduction.

§2. Rappels généraux et présentation de l’unipotence de Burdges.

§3. Outils moins classiques. C’est dans cette section, avec le Lemme 3.3, qu’est formulé un analogue au “lemme de Jaligot” (Fait 2.27 infra). On présente également le principe d’extension qui aboutit au Corollaire 1.2.

§4. Analyse préliminaire. On prépare les calculs de rang. L’étude de groupe pour le Théorème 1.1 commence, et se scinde en deux cas.

§5. Cas consistant. Si l’involution de l’énoncé “agit vraiment” sur un sousgroupe “suffisamment unipotent” du sous-groupe de Borel standard, on identifie par le calcul de rang mentionné ci-dessus à PSL_{2}. Cela est fait dans le Théorème 5.1

§6. Cas inconsistant. On montre dans le Théorème 6.1 l’inconsistance de l’hypothèse contraire à celle de §5, ce qui achève la preuve du Théorème 1.1. Cette section fait un usage important de résultats de Burdges sur les “intersections maximales”, terminologie sur laquelle nous reviendrons. La preuve s’achève par un argument de concentration contradictoire avec la simplicité (et non pas la minimale simplicité) du groupe, qui repose sur le Corollaire 2.4 plus bas. Le lecteur trouvera plus ample commentaire sur cette preuve au début de la Section 6.

1.5 Remarques sur le “lemme de Jaligot”

Ce qui empêche une traduction naïve du lemme de Jaligot (i.e. le Fait 2.27) en caractéristique nulle, est la possibilité pour le rang réduit de Burdges (appelé ici, suivant [FJ07], “degré d’unipotence”) d’augmenter. Cela correspond au fait que la caractéristique nulle recouvre plusieurs comportements, et qu’il y a plusieurs façons pour un groupe sans torsion d’être unipotent. La première chose à faire est de limiter ce comportement de “fuite du degré d’unipotence”. C’est ce que nous effectuerons en §3.2, généralisant ainsi le “lemme de Jaligot” (Fait 2.27), ou le résultat analogue dans le cas ordinaire [CJ04, Proposition 3.11]. A partir de là, une théorie de l’unipotence sans torsion peut se développer parallèlement à celle de la p-unipotence. Ainsi, sous des hypothèses assez naturelles, les deux théories sont-elles analogues.

La notation par paramètres d’unipotence a pour elle de marquer cette unité retrouvée. Quand bien même ce ne serait qu’un gadget, son utilisation permet souvent de n’écrire qu’une preuve au lieu de deux, c’est-à-dire qu’on ne distingue presque plus selon que le groupe additif du corps est un p-groupe abélien élémentaire ou un groupe abélien sans torsion.

Ainsi, grâce au Lemme 3.3, on traite indifféremment la caractéristique du corps sous-jacent. Il semblerait donc que la théorie de l’unipotence pour les corps de caractéristique nulle soit parfaitement équivalente à celle de la p-unipotence modulo quelques précautions et notations. Et pourtant le théorème de Wagner raccourcit considérablement l’étude de la configuration en caractéristique première dans §6. Cette plus grande rigidité de la caractéristique p n’a en fait pas d’analogue en caractéristique nulle.

Enfin, par souci de cohérence avec [FJ07], nous notons ∞ la caractéristique nulle.

2 Matériel requis

2.1 Nilpotence

Fait 2.1 (condition de normalisateur) Soient G un groupe nilpotent et H < G un sous-groupe strict. Alors H < N_{G}(H).

On note F (G) le sous-groupe de Fitting d’un groupe de rang de Morley fini G. Ce sous-groupe est définissable et nilpotent ([BN94, Theorem 7.3]).

Fait 2.2 ([BN94, Theorem 9.21]) Soit G un groupe connexe résoluble de rang de Morley fini. Alors G/F^{∘}(G) est divisible et abélien.

2.2 Arguments de généricité

Etant donnée une partie X d’un groupe G, on note X^{#} l’ensemble X \ {1}.

Fait 2.3 ([CJ04, Fact 2.36]) Soient G un groupe simple infini de rang de Morley fini, M < G un sous-groupe propre définissable, et x ∈ G^{#}. Alors rg(x^{G} ∩ M) < rg(x^{G}).

Etant donnée une partie X d’un groupe G, on note X^{G} l’ensemble ∪_{g∈G}X^{g}.

Corollaire 2.4 Soient G un groupe simple infini de rang de Morley fini, M < G un sous-groupe propre définissable, et {1} ≠ X ⊆ G un sous-ensemble définissable. Alors rg(X^{G} ∩ M) < rg(X^{G}).

Preuve

L’ensemble X^{G} est infini, car sinon le groupe G qui est connexe et le normalise doit le centraliser, et donc X ⊆ Z(G) = {1}, contre l’hypothèse.

Si X est fini, écrivons X = {x_{1}, …, x_{n}}. Alors X^{G} = ∪_{i=1}^{n}x_{i}^{G}, et X^{G} ∩ M = ∪_{i=1}^{n}x_{i}^{G} ∩M de même. Soit x_{i} ∈ X tel que rg(X^{G} ∩M) = rg(x_{i}^{G} ∩M). Si x_{i} = 1, alors rg(X^{G} ∩M) = 0 < rg(X^{G}), et le résultat est prouvé. Si x_{i} ≠ 1, on peut lui appliquer le Fait 2.3, et il vient rg(X^{G} ∩ M) = rg(x_{i}^{G} ∩ M) < rg(x_{i}^{G}) ≤ rg(X^{G}), donc le résultat est encore prouvé. Nous supposons dorénavant que X est infini.

Notons ∼ la relation définissable de conjugaison dans G. Soit pour chaque k ≤ rg(G) l’ensemble X_{k} = {x ∈ X, rg(x^{G} ∩M) = k}. Ces ensembles en nombre fini sont définissables par définissabilité du rang et partitionnent X. L’un au moins est donc de même rang que X. Soit k_{0} ≤ rg(G) tel que rg(X_{k_{0}}) = rg(X).

Soit pour chaque ℓ ≤ rg(G) l’ensemble Y_{ℓ} = {x ∈ X_{k_{0}}, rg(x^{G}) = ℓ}. Les mêmes raisons que plus haut impliquent qu’il existe un ℓ_{0} ≤ rg(G) tel que rg(Y_{ℓ_{0}}) = rg(X).

Notons que Y_{ℓ_{0}} est infini comme X, et en particulier Y_{ℓ_{0}}^{#} n’est pas vide. Soit alors un élément x_{0} de Y_{ℓ_{0}}^{#}. En appliquant le Fait 2.3 à x_{0}, il vient k_{0} < ℓ_{0}. Ainsi

rg(X^{G} ∩ M) = rg ⋃_{x∈X} (x^{G} ∩ M) ≤ rg (X/ ∼) + k_{0} < rg(X/ ∼) + ℓ_{0} ≤ rg X,

ce qui prouve le corollaire. □

Fait 2.5 Soit G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal de type impair. Soient w une involution torique et B un sous-groupe de Borel contenant C^{∘}(w). Alors B^{G} est générique dans G.

Preuve

C’est un corollaire très faible de [FJ07, Theorem 2.3] (voir aussi dans ce même article le Theorem 7.4). □

2.3 Identification

Le résultat d’identification que nous utiliserons dans §5 fait appel à la notion de groupe de Zassenhaus. Nous renvoyons à [BN94, §11.5] pour ce qui suit. Un groupe de Zassenhaus est un groupe 2-transitif tel que le stabilisateur de trois points distincts soit toujours trivial. Un groupe de Zassenhaus est scindé si le stabilisateur de deux points possède un complément normal dans le stabilisateur d’un point (i.e., s’il est complément semi-direct d’un sous-groupe normal dans le stabilisateur d’un point).

Voici le résultat général employé.

Fait 2.6 ([BN94, Theorem 11.89]) Soit G un groupe de Zassenhaus scindé infini de rang de Morley fini. Si le stabilisateur de deux points contient une involution, alors G est isomorphe à PSL_{2}(K), où K est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2.

2.4 Corps

Les corps sont généralement présents dans le groupe ambiant et dans les preuves avant qu’on ne puisse invoquer le Fait 2.6. Ils proviendront plutôt du “Théorème du corps de Zilber”, qui est un résultat beaucoup plus général.

On note classiquement K_{+} le groupe additif d’un corps et K^{×} son groupe multiplicatif. Etant donnés deux sous-groupes A et B d’un groupe de rang de Morley fini G, A est B-minimal si :

- A est définissable infini,

- B normalise A, et

- A est minimal pour ces propriétés (i.e., il ne possède pas de sous-groupe propre définissable infini normalisé par B).

Fait 2.7 (Théorème du corps de Zilber, [BN94, Theorem 9.1]) Soit G = A⋊H un groupe de rang de Morley fini, où A et H sont des sous-groupes abéliens infinis définissables tels que A soit H-minimal et C_{H}(A) = 1. Alors G interprète un corps algébriquement clos.

Plus précisément, A est isomorphe au groupe additif d’un corps algébriquement clos K sur lequel H agit par multiplication du corps :

A ≃ K_{+}, H ≃ T ≤ K^{×},

où T est un sous-groupe définissable de K^{×}.

Nous utiliserons également ces deux résultats complémentaires.

Fait 2.8 ([Poi87, Corollaire 3.3]) Soit K un corps de rang de Morley fini de caractéristique nulle. Alors K_{+} n’a pas de sous-groupe définissable non-trivial propre.

Fait 2.9 ([Wag01, Corollary 9]) Soit K un corps de rang Morley fini de caractéristique p > 0. Alors K^{×} n’a pas de section définissable sans torsion.

Ce dernier résultat fera une apparition remarquable dans la Section 6. Il sert à limiter les pathologies si un mauvais corps se présente dans notre structure. En effet le sous-groupe T comme dans le Fait 2.7 possèdera nécessairement de la torsion.

2.5 Involutions

L’ensemble des involutions d’un groupe G sera noté I(G).

Si σ est un automorphisme involutif et définissable d’un groupe de rang de Morley fini G, on note G^{−_{σ}} (ou simplement G^{−} quand le contexte est clair) l’ensemble définissable {g ∈ G, g^{σ} = g^{−1}}. En général il ne s’agit pas d’un groupe. Le cas le plus fréquent est celui de l’action d’une involution i de G par conjugaison, et l’on notera alors G^{−_{i}} l’ensemble inversé.

Fait 2.10 ([BN94, Exercice 14 p.73]) Soit G un groupe de rang de Morley fini sans involutions. Soit σ un automorphisme involutif et définissable de G. Alors G^{−_{σ}} est 2-divisible, et l’on a la décomposition univoque G = C_{G}(σ)·G^{−_{σ}}.

Parfois le groupe sur lequel une involution agit ne sera pas 2^{⊥}. Nous aurons alors besoin du résultat suivant.

Fait 2.11 ([BN94, Exercice 10 p.98]) Soient U un groupe de rang de Morley fini nilpotent et connexe, et φ un automorphisme définissable de U ne fixant qu’un nombre fini d’éléments. Alors U = [U, φ].

Fait 2.12 (Borovik-Poizat, [BN94, Lemma 10.8 et Theorem 10.11]) Les 2-sous-groupes de Sylow d’un groupe de rang de Morley fini sont conjugués. En outre, de tels sous-groupes sont nilpotents-par-fini, et l’on peut décomposer leur composante connexe sous la forme

S^{∘} = T ∗ U,

où T est un 2-tore, et U un 2-groupe définissable connexe nilpotent d’exposant borné.

Fait 2.13 ([CJ04, Lemma 2.34]) Soit G un groupe de rang de Morley fini de type impair et de rang de Prüfer 1. Soient S un 2-sous-groupe de Sylow de G et i l’unique involution de S^{∘}. Alors C(S^{∘}) ∩ i^{G} = {i}.

Fait 2.14 (Théorème Z^{∗}, [BBC06, Theorem 5]) Soient G un groupe de rang de Morley fini, S un 2-sous-groupe de Sylow de G, et i une involution de S. Alors l’un des deux cas suivant se produit :

(a) i est conjuguée dans G à une autre involution de S.

(b) C(i) est connexe.

Nous aurons également besoin de connaître les automorphismes involutifs du groupe de Prüfer ℤ_{2^{∞}}.

Fait 2.15 Le seul automorphisme d’ordre 2 d’un groupe de Prüfer ℤ_{2^{∞}} est l’inversion.

Preuve

Il est clair que Aut(ℤ_{2^{∞}}) est isomorphe au groupe des inversibles de l’anneau ℤ_{2}. Mais ℤ_{2}^{∗} ≃ ℤ/2ℤ × ℤ_{2}, et le terme de droite est sans torsion car de caractéristique nulle. En particulier, Aut(ℤ_{2^{∞}}) possède exactement un élément d’ordre fini. □

Corollaire 2.16 Soit G un groupe de rang de Morley fini de type impair et de rang de Prüfer 1. Soient S^{∘} un 2-tore maximal de G et i l’unique involution de S^{∘}. Si une involution w ∈ i^{G} \ {i} normalise S^{∘}, alors elle l’inverse. En particulier wi est S^{∘}-conjuguée à w, et G-conjuguée à i.

Preuve

Si w n’inverse pas le 2-tore S^{∘}, elle le centralise d’après le Fait 2.15, ce qui contredit le Fait 2.13. Ainsi w inverse S^{∘}.

Maintenant si α est une racine carrée de i dans S^{∘}, w^{α} = [α, w]w = α^{−2}w = i^{−1}w = iw = wi. □

2.6 Torsion

Soit p un nombre premier non nul.

Fait 2.17 ([BN94, Exercice 11 p.93]) Soient G un groupe de rang de Morley fini, et H ◁ G un sous-groupe définissable. On suppose qu’il existe x ∈ G tel que x̄ ∈ G/H soit un p-élément. Alors xH contient un p-élément.

Fait 2.18 (Rigidité des p-tores, [BN94, Theorem 6.16]) Soit P un p-tore d’un groupe de rang de Morley fini G. Alors N_{G}^{∘}(P) = C_{G}^{∘}(P).

Fait 2.19 ([BN94, Theorem 6.20]) Soit P un p-sous-groupe localement fini d’un groupe de rang de Morley fini G. Alors :

1. P^{∘} est nilpotent et P^{∘} = U ∗ T est produit central d’un p-groupe nilpotent d’exposant borné U et d’un p-tore T.

2. Z(P) ≠ 1 et P satisfait la condition de normalisateur.

3. Si P est infini d’exposant borné, alors Z(P) possède une infinité d’éléments d’ordre p et P est nilpotent.

Fait 2.20 ([FJ07, Theorem 1.8]) Soit H un groupe résoluble connexe de rang de Morley fini. Alors les p-sous-groupes de Sylow de H sont connexes.

2.7 Sous-groupes de Carter

Un sous-groupe de Carter d’un groupe de rang de Morley fini est un sousgroupe définissable, connexe, nilpotent, et d’indice fini dans son normalisateur.

Fait 2.21 ([FJ07, Theorem 3.1]) Tout groupe de rang de Morley fini possède des sous-groupes de Carter. En outre, tout sous-groupe abélien divisible de torsion est inclus dans un tel sous-groupe.

Fait 2.22 ([FJ07, Theorem 3.9]) Dans un groupe connexe résoluble de rang de Morley fini, les sous-groupes de Carter sont conjugués et autonormalisants.

Les Faits 2.20, 2.21 et 2.22 impliquent le

Corollaire 2.23 Soit H un groupe de rang de Morley fini de type impair, connexe et résoluble. Alors chaque sous-groupe de Carter de H contient un 2sous-groupe de Sylow.

Corollaire 2.24 Soit H un groupe de rang de Morley fini de type impair, résoluble, et connexe. On suppose que H contient un p-tore T. Alors T centralise un 2-tore maximal de H.

2.8 p̃-unipotence et p̃-sous-groupes de Sylow

Les longs rappels qui suivent introduisent la notion d’unipotence due à Burdges et certaines de ses applications.

2.8.1 Rappels en caractéristique première

Commençons par évoquer la théorie de la p-unipotence. Un p-sous-groupe d’un groupe de rang de Morley fini est p-unipotent, ou encore un U_{p}-groupe, s’il est définissable, connexe, nilpotent, et d’exposant borné. (D’après le Fait 2.2, la résolubilité suffit d’ailleurs dans cette définition pour assurer la nilpotence.)

Fait 2.25 ([CJ04, Corollary 2.16]) Soit H un groupe de rang de Morley fini connexe et résoluble. Alors il existe un unique U_{p}-sous-groupe définissable maximal de H. Ce sous-groupe est contenu dans F^{∘}(H).

Notation 2.26 On note U_{p}(H) ce sous-groupe.

Fait 2.27 ([Bur07, Lemma 2.1]) Soit G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal. Soient B_{1} et B_{2} deux sous-groupes de Borel distincts. Soit p un nombre premier. Si F (B_{1})∩F (B_{2}) ≠ 1, alors U_{p}(B_{1}) = 1 ou U_{p}(B_{2}) = 1.

En voici un corollaire utile.

Fait 2.28 ([Bur07, Corollary 2.2]) Soit G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal. Soient B_{1} et B_{2} deux sous-groupes de Borel distincts. Alors F (B_{1}) ∩ F (B_{2}) est sans torsion.

Beaucoup de nos raisonnements utiliseront le lemme suivant, valable en caractéristique première, et qui trouvera un analogue en caractéristique nulle dans le Lemme 3.3.

Lemme 2.29 Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal et B un sous-groupe de Borel de G. Soit A ≤ U_{p}(B) un sous-groupe infini (non nécessairement définissable). Alors B est l’unique sous-groupe de Borel de G contenant A.

Preuve

Remarquons que 1 ≠ d(A)^{∘} ≤ U_{p}(B) et que d(A)^{∘} est un U_{p}-sous-groupe de B. Soit B_{1} un sous-groupe de Borel de G contenant A. Alors B_{1} contient d(A)^{∘}, et d’après le Fait 2.25, il vient d(A)^{∘} ≤ U_{p}(B_{1}) ≤ F^{∘}(B_{1}). Le Fait 2.28 implique alors B_{1} = B. □

2.8.2 Unipotence en caractéristique nulle

Burdges a introduit dans [Bur04] une notion opérante d’unipotence en caractéristique nulle. Nous suivrons la terminologie et la notation de [FJ07] auquel les faits cités renvoient. Pour relier directement à [Bur04], il suffit de remplacer ∞ par 0 dans la notation de la caractéristique.

Un groupe de rang de Morley fini est indécomposable s’il est abélien et ne peut s’écrire comme somme (même non nécessairement directe) de deux sousgroupes définissables propres. Un groupe indécomposable est nécessairement connexe ([Bur04, Lemma 1.2]). Si A est indécomposable, alors il possède un unique sous-groupe définissable connexe propre et maximal, noté Φ(A) et appelé sous-groupe de Frattini connexe de A (ce n’est pas la composante connexe du sous-groupe de Frattini de A).

Pour G un groupe de rang de Morley fini et d un entier non nul, on définit

U_{(∞,d)}(G) = ⟨A ≤ G | \begin{matrix}A est un sous-groupe définissable indécomposable \\ tel que A/Φ(A) soit sans torsion et de rang d \end{matrix} ⟩ .

Définition 2.30 Soit G un groupe de rang de Morley fini. On note d_{∞}(G) et on appelle degré d’unipotence sans torsion de G le plus grand d ≥ 1, s’il existe, tel que U_{(∞,d)}(G) ≠ 1. On pose sinon d_{∞}(G) = 0.

Nous verrons plus bas, avec le Fait 2.36, que l’absence d’unipotence n’est pas un obstacle à l’étude d’un groupe.

Notation 2.31 Quand d_{∞}(G) > 0, on note U_{∞}(G) = U_{(∞,d_{∞}(G))}(G).

Cette notion a des propriétés similaires à l’unipotence en caractéristique première. Avant de les passer en revue nous unifions la notation.

2.8.3 Paramètres d’unipotence

P désigne l’ensemble des nombres premiers. Par analogie avec le d_{∞} de la Définition 2.30 ci-dessus, on introduit une notation-gadget.

Notation 2.32 Soit p un nombre premier. On pose d_{p}(H) = ∞ si H possède un U_{p}-sous-groupe non-trivial. On pose d_{p}(H) = 0 sinon.

Définition 2.33 Un paramètre d’unipotence est un couple

p̃ = (caractéristique p, degré d’unipotence d) ∈ ({∞} ∪ P) × (ℕ ∪ {∞})

qui satisfait p < ∞ ⇔ d = ∞.

Désormais la caractéristique p varie, sauf mention du contraire, dans P ∪ {∞}.

Si p̃ est de la forme (q, ∞), nous écrirons Up̃ à la place de U_{q}. Nous avons ainsi défini, pour G un groupe de rang de Morley fini résoluble, Up̃(G) dans les cas (q, ∞) (cf. §2.8.1) et (∞, d) avec d > 0 (cf. §2.8.2). Pour terminer d’uniformiser nous définissons suivant [FJ07]

U_{(∞,0)}(G) = ⟨sous-tores décents définissables de G⟩ .

Rappelons au passage qu’un tore décent est un groupe abélien divisible de rang de Morley fini qui coïncide avec la clôture définissable de sa torsion.

Définition 2.34 Soient H un groupe connexe et résoluble de rang de Morley fini et p̃ = (p, d) un paramètre d’unipotence.

- H admet le paramètre d’unipotence p̃ si Up̃(H) ≠ 1.

- Le paramètre d’unipotence p̃ est maximal dans H si Up̃(H) ≠ 1 et d_{p}(H) = d.

Remarque 2.35 Un paramètre d’unipotence dont la caractéristique est première est toujours un paramètre d’unipotence maximal (puisque d_{p} n’admet que les deux valeurs “oui” ou “non”). Il n’en va pas de même si la caractéristique est nulle, car on a dans ce cas une notion graduée d’unipotence (“plus” ou “moins”).

Bien noter que plusieurs paramètres d’unipotence maximaux sont disponibles pour un même groupe (considérer par exemple (\overline{𝔽_{2}}, +) × (\overline{𝔽_{3}}, +)). En revanche, une caractéristique fixée apparaît au plus une fois à l’état maximal.

On peut dire quelque chose des groupes sans unipotence. Rappelons d’abord qu’un bon tore est un groupe de rang de Morley fini abélien divisible et dont chaque sous-groupe définissable coïncide avec la clôture définissable de sa torsion.

Fait 2.36 ([FJ07, Theorem 2.11], voir aussi [Bur04, Theorem 2.19]) Soit H un groupe de rang de Morley fini connexe et résoluble. Si U_{(p,d)}(H) = 1 pour chaque paramètre d’unipotence (p, d) tel que 0 < d ≤ ∞, alors H est un bon tore.

2.8.4 Up̃-groupes

Les faits qui suivent sont triviaux en caractéristique première, et le travail de Burdges dans [Bur04] porte évidemment sur la caractéristique nulle. Nous invoquons dans la suite deux références : [FJ07] et [Bur07]. La première fournit la notation, et la seconde contient les formulations originelles, souvent différentes.

La définition suivante ne suppose pas la nilpotence et recoupe bien la définition en caractéristique première dans le cas résoluble, cas dont nous ne sortirons pas.

Définition 2.37 Soit p̃ un paramètre d’unipotence. Un groupe de rang de Morley fini G est un Up̃-groupe si G = Up̃(G).

Remarque 2.38 Un sous-groupe définissable et connexe d’un Up̃-groupe résoluble, où p̃ = (p, d) et d < ∞, n’est pas nécessairement un Up̃-groupe. La notion d’homogénéité (Définition 2.46 infra) a été introduite pour y remédier.

Fait 2.39 ([FJ07, Lemma 2.13], [Bur04, Lemma 2.12] quand 0 < d < ∞) Soit f : G → H un morphisme définissable entre groupes de rang de Morley fini. Alors

1. (push-forward) f(Up̃(G)) ≤ Up̃(H) est un Up̃-groupe.

2. (pull-back) On suppose que p̃ n’est pas de la forme (p, ∞) ou que G est résoluble. Si Up̃(H) ≤ f(G), alors f(Up̃(G)) = Up̃(H).

On peut voir le théorème de structure suivant comme une généralisation, d’une part de la décomposition due à Nesin des groupes nilpotents de rang de Morley fini ([BN94, Theorem 6.8]), d’autre part du fait qu’un groupe nilpotent d’exposant fini est produit direct de ses sous-groupes de Sylow.

Fait 2.40 ([FJ07, Theorem 2.7], [Bur04, Theorem 2.31]) Soit G un groupe nilpotent connexe de rang de Morley fini. Alors

G = [d(S) ∗ U_{(∞,1)}(G) ∗ ⋯ ∗ U_{(∞,d_{∞}(G))}(G)] ∗ [U_{2}(G) × ⋯ × U_{q_{max}}(G)],

où S est le sous-groupe de torsion divisible de G, d(S) sa clôture définissable, et q_{max} désigne le plus grand nombre premier q tel que U_{q}(G) soit non trivial.

La notion de Up̃-groupe est ainsi particulièrement utile dans le contexte nilpotent.

Définition 2.41 Un p̃-groupe, p̃ ≠ (∞, 0), est un Up̃-groupe de rang de Morley fini nilpotent. Un (∞, 0)-groupe est, toujours par définition, un tore décent.

La plupart de nos arguments vont reposer sur le fait suivant.

Fait 2.42 ([FJ07, Lemma 2.9], [Bur04, Lemma 2.26]) Soit G un p̃-groupe non-trivial de rang de Morley fini. Alors Up̃(Z(G)) ≠ 1.

Preuve

Ce fait n’apparaissant qu’implicitement dans [FJ07], prouvons-le brièvement. Si G est abélien, c’est évident. Sinon [Z_{2}(G), G] ≠ 1, et ce sous-groupe définissable et connexe est central dans G. C’est un Up̃-groupe d’après [FJ07, Lemma 2.9]. □

Fait 2.43 ([Bur04, Lemma 3.18]) Soient G et H deux groupes de rang de Morley fini, H agissant définissablement sur G. On suppose que G est un p̃- groupe définissable sans q-torsion (q est un nombre premier), et que H est un q-groupe d’exposant borné formé d’automorphismes définissables de G. Alors C_{G}(H) est encore un p̃-groupe.

Enfin nous introduisons une dernière notation.

Notation 2.44 Pour p̃ = (∞, d), on note F_{d}(H) = Up̃(F^{∘}(H)).

Fait 2.45 ([Bur04, Theorem 2.21]) Soient H un groupe de rang de Morley fini connexe et résoluble, et p̃ = (∞, d_{∞}(H)). Si d_{∞}(H) > 0, alors Up̃(H) ≤ F^{∘}(H). (Ce qu’on peut écrire Up̃(H) = F_{d_{∞}(H)}(H).)

Ainsi ce qui était vrai en caractéristique première, i.e. le fait de “tomber” dans le sous-groupe de Fitting, ne l’est en caractéristique nulle que pour le sous-groupe “le plus unipotent”, i.e. de degré maximal.

2.8.5 Homogénéité de Frécon

La notion suivante, introduite par Frécon, est d’une grande importance. Nous renvoyons à [FJ07, §2.8].

Définition 2.46 Un Up̃-groupe G de rang de Morley fini est p̃-homogène si chaque sous-groupe définissable connexe nilpotent de G est encore un Up̃-groupe.

Nous dirons qu’un groupe est homogène si pour un certain paramètre d’unipotence p̃, c’est un Up̃-groupe p̃-homogène. Il est clair que si un groupe G non-trivial est à la fois p̃-homogène et q̃-homogène, on a p̃ = q̃, et le paramètre d’unipotence, bien que sous-entendu, est uniquement déterminé. Ce n’est pas le cas pour le groupe trivial {1}, qui est néanmoins homogène.

Remarque 2.47 La p̃-homogénéité d’un groupe non-trivial de rang de Morley fini G signifie que p̃ est le seul paramètre d’unipotence q̃ pour lequel Uq̃(G) ≠ 1.

Si p̃ est de la forme (p, ∞), tout Up̃-groupe est p̃-homogène (et d’ailleurs la notion classique de U_{p}-groupe suppose la nilpotence, rappelons que ce n’est pas le cas de la notion d’unipotence sans torsion). En caractéristique nulle nous aurons besoin du résultat suivant dû à Frécon.

Fait 2.48 ([FJ07, Theorem 2.18], comparer avec [Bur04, Lemma 2.32]) Soit G un groupe connexe de rang de Morley fini (non nécessairement résoluble). On suppose que G agit définissablement sur un p̃-groupe définissable H. Alors [G, H] est un p̃-sous-groupe p̃-homogène de H.

2.8.6 p̃-sous-groupes de Sylow

Burdges définit les “Up̃-sous-groupes de Sylow” comme les Up̃-sous-groupes définissables nilpotents et maximaux ([Bur04, §4.4]). Par souci de cohérence avec [FJ07] et la Définition 2.41, nous les appelons ici p̃-sous-groupes de Sylow.

Nous formulons comme suit l’important analogue de la condition de normalisateur.

Fait 2.49 ([FJ07, Proposition 2.8], [Bur04, Lemma 2.28]) Soient G un p̃-groupe de rang de Morley fini et H < G un sous-groupe définissable. Si S_{1} est le p̃-sous-groupe de Sylow de H et S_{2} celui de N_{G}(H), alors S_{1} < S_{2}.

Fait 2.50 ([FJ07, Theorem 5.7], [Bur04, Theorem 4.16]) Les p̃-sous-groupes de Sylow d’un groupe connexe résoluble de rang de Morley fini sont conjugués.

Il en résulte un argument de Frattini portant sur les p̃-sous-groupes de Sylow.

Corollaire 2.51 ([Bur04, Corollary 4.17]) Soient H un groupe résoluble de rang de Morley fini, K ⊴ H un sous-groupe définissable connexe, et S un p̃- sous-groupe de Sylow de K. Alors H = N_{H}(S) · K.

Par ailleurs on sait préciser la structure des p̃-sous-groupes de Sylow d’un groupe de rang de Morley fini connexe résoluble comme suit.

Fait 2.52 ([FJ07, Corollary 5.11], [Bur04, Lemma 4.19]) Soit H un groupe de rang de Morley fini connexe et résoluble. Alors les p̃-sous-groupes de Sylow de H sont les sous-groupes de la forme Up̃(H′)·Up̃(Q), où Q est un sous-groupe de Carter de H.

2.9 Intersections de paires maximales

Une application de l’unipotence ce Burdges est l’étude de certaines “intersections maximales” de sous-groupes de Borel dans [Bur07] (cf. aussi [Bur04]).

Précisons la terminologie. La maximalité est au sens de l’inclusion des composantes connexes et non du rang. Par définition, deux sous-groupes de Borel B_{1} et B_{2} distincts forment une paire maximale si l’on ne peut pas trouver deux autres sous-groupes de Borel B_{3} et B_{4} tels que (B_{1} ∩ B_{2})^{∘} < (B_{3} ∩ B_{4})^{∘}.

Il n’est pas a priori évident que chaque sous-groupe de Borel appartient à au moins une paire maximale. Le fait suivant l’implique (entre autres choses) dans le cas où l’on dispose déjà d’une intersection non-abélienne.

Fait 2.53 ([Bur07, Theorem 4.3]) Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal, et B_{1}, B_{2} deux sous-groupes de Borel distincts. On suppose que H = (B_{1} ∩ B_{2})^{∘} n’est pas abélien. Alors les faits suivants sont équivalents :

1. B_{1} et B_{2} sont les seuls sous-groupes de Borel contenant H.

2. La paire (B_{1}, B_{2}) est maximale.

3. H est maximal parmi les groupes de la forme (B_{1} ∩ B_{3})^{∘}, avec B_{3} un sous-groupe de Borel distinct de B_{1}.

4. d_{∞}(B_{1}) ≠ d_{∞}(B_{2}).

Fait 2.54 ([Bur07, Theorem 4.1, 1.]) Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal, et B_{1}, B_{2} deux sous-groupes de Borel distincts. Soit H = (B_{1} ∩ B_{2})^{∘}. Alors H′ est homogène (éventuellement trivial).

Fait 2.55 ([Bur07, Theorem 4.5]) Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal et (B_{1}, B_{2}) une paire maximale avec d_{∞}(B_{1}) ≥ d_{∞}(B_{2}). On suppose que H = (B_{1} ∩ B_{2})^{∘} est non abélien et l’on note r′ = d_{∞}(H′). Alors :

1. d_{∞}(B_{1}) > d_{∞}(H) = d_{∞}(B_{2}) et N^{∘}(H) = H.

2. Tout sous-groupe définissable connexe nilpotent de H est abélien.

3. F_{r′}(H) = U_{(∞,r′)}(H) est l’unique (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de H. Il est inclus dans F (B_{2}) et la composante connexe de son normalisateur est incluse dans B_{2}.

4. F_{ℓ}(B_{2}) ≤ Z(H) pour chaque ℓ ≠ r′, et F_{r′}(B_{2}) est non abélien. (En particulier F_{ℓ}(B_{2}) est non abélien si et seulement si ℓ = r′.)

5. Les sous-groupes de Carter de H sont des sous-groupes de Carter de B_{1}, et la composante connexe de leur normalisateur est incluse dans B_{2}.

6. F_{r′}(B_{1}) = F (B_{1}) ∩ F (B_{2}) est (∞, r′)-homogène, et B_{1} est l’unique sousgroupe de Borel contenant C^{∘}(F_{r′}(B_{1})).

On remarquera que ce fait implique entre autres le

Corollaire 2.56 Soit G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal. Soit K un sous-groupe définissable, connexe, et nilpotent non abélien. Alors K est inclus dans un unique sous-groupe de Borel de G.

2.10 Matériel superflu

Le résultat qui suit n’était pas disponible au moment d’entreprendre ce travail. Il permettrait certaines simplifications non essentielles dans nos preuves, mais nous croyons que les techniques employées valent d’être exposées sans en faire usage.

Fait 2.57 ([BC06, Theorem 3]) Soit G un groupe de rang de Morley fini connexe et sans p-unipotence. Alors la p-torsion de G est torique.

Une conséquence immédiate dans le cas des groupes connexes de type impair est que toute involution appartient à la composante connexe de son centralisateur. En particulier, le Théorème 1.1 et le Corollaire 1.2 valent sans l’hypothèse de toricité de l’involution.

3 Lemmes et principes généraux

3.1 Automorphismes involutifs

Nous commençons par un résultat purement groupe-théorique et évident, mais très utile.

Lemme 3.1 Soient G un groupe, H ≤ G et K ≤ N(H) deux sous-groupes. On suppose que K est 2-divisible, et qu’il existe une involution i ∈ G telle que

- i centralise ou inverse H, et

- i inverse K. Alors [H, K] = 1.

Preuve

Considérons le cas où i centralise H (l’autre cas est similaire, extrait de [BCJ07, Lemma 7.7]). Soit (h, k) ∈ H × K. On a h^{k} = (h^{k})^{i} = (h^{i})^{(k^{i})} = h^{k^{−1}}, d’où [h, k^{2}] = 1, et la conclusion en découle car K est 2-divisible. □

Le lemme suivant relie involutions et p̃-sous-groupes de Sylow.

Lemme 3.2 Soient H un groupe résoluble connexe de rang de Morley fini de type impair et i une involution de H. Soit p̃ un paramètre d’unipotence. On suppose que i centralise Up̃(H′). Alors i centralise un p̃-sous-groupe de Sylow de H.

Preuve

Soit S un 2-sous-groupe de Sylow de H contenant i. D’après les Faits 2.20 et 2.21, S est inclus dans un sous-groupe de Carter Q de H. Alors i est centrale dans Q. En particulier l’involution i centralise Up̃(H′) · Up̃(Q), qui est un p̃- sous-groupe de Sylow de H d’après le Fait 2.52. □

3.2 Groupes simples connexes minimaux et unipotence

On prouve ici une version affaiblie mais encore puissante du Lemme 2.29 pour la caractéristique nulle. Remarquons que la conclusion du lemme cité peut se paraphraser en : “U_{p}(B) est l’unique U_{p}-sous-groupe maximal contenant A”.

Lemme 3.3 Soit G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal. Soit B un sous-groupe de Borel de G, de paramètre d’unipotence maximal p̃ = (∞, d_{∞}(B)) avec d_{∞}(B) > 0. Soit U un p̃-sous-groupe définissable de B contenant un sous-groupe A ≠ 1 tel que d_{∞}(C^{∘}(A)) ≤ d_{∞}(B).

Alors Up̃(B) = F_{d_{∞}(B)}(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant U. En particulier, B est l’unique sous-groupe de Borel de paramètre d’unipotence maximal p̃ contenant U.

Remarque 3.4 D’un point de vue formel, l’hypothèse faite sur A est toujours satisfaite en caractéristique première. L’énoncé suggéré est donc naturel. Noter aussi que A n’est pas nécessairement un Up̃-groupe lui-même, ni même définissable !

Preuve

Remarquons que Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≠ 1 implique d_{∞}(C^{∘}(A)) ≥ d_{∞}(B). On a donc égalité. D’autre part on garde à l’esprit que comme les Up̃-groupes sont par définition connexes, toute inclusion stricte sera d’indice infini.

Soit U_{1} un p̃-sous-groupe de Sylow de G distinct de Up̃(B), contenant U, et maximisant le rang de X = Up̃(U_{1} ∩ Up̃(B)) ≥ U.

On a X < U_{1}, car sinon U_{1} = X ≤ Up̃(B) et U_{1} = Up̃(B) par maximalité de U_{1}, contre la définition de U_{1}.

Nous montrons maintenant que X < Up̃(B). Sinon X = Up̃(B), et donc Up̃(B) ≤ U_{1}. Si cette dernière inclusion est stricte, la condition de normalisateur 2.49 dans U_{1} implique Up̃(N_{U_{1}}^{∘}(Up̃(B))) > Up̃(B). Mais comme N^{∘}(Up̃(B)) = B, on a Up̃(N_{U_{1}}^{∘}(Up̃(B))) ≤ B, et donc Up̃(N_{U_{1}}^{∘}(Up̃(B))) ≤ Up̃(B), ce qui est une contradiction. On a ainsi Up̃(B) = U_{1}, contre la définition de U_{1}. Nous avons bien prouvé que X < Up̃(B).

Soit N = N^{∘}(X). Comme X ≤ N, on a d_{∞}(N) ≥ d_{∞}(X) = d_{∞}(B). Nous montrons l’égalité d_{∞}(N) = d_{∞}(B). Sinon d_{∞}(N) > d_{∞}(B), et alors X et U_{∞}(N) sont de degrés d’unipotence distincts. Comme ils se normalisent l’un l’autre, leur produit est nilpotent. La décomposition centrale du Fait 2.40 implique alors [X, U_{∞}(N)] = 1. En particulier U_{∞}(N) ≤ C^{∘}(X) ≤ C^{∘}(A) dont le degré d’unipotence n’excède pas d_{∞}(B) par hypothèse, une contradiction. Ainsi d_{∞}(B) = d_{∞}(N).

Up̃(N) ≤ F^{∘}(N) est donc un p̃-groupe d’après le Fait 2.45. Nous montrons qu’il n’est pas inclus dans Up̃(B). Comme X < U_{1}, la condition de normalisateur 2.49 dans U_{1} implique X < Up̃(N_{U_{1}}(X)) ≤ Up̃(U_{1} ∩ Up̃(N)). En particulier, la définition de X implique que Up̃(N) n’est pas inclus dans Up̃(B).

Soit U_{2} un p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(N). La condition de normalisateur 2.49 appliquée à X < Up̃(B) impose maintenant X < Up̃(N_{Up̃(B)}(X)) ≤ Up̃(Up̃(N) ∩ Up̃(B)) ≤ Up̃(U_{2} ∩ Up̃(B)), une contradiction à la maximalité de X qui définit U_{1}. Notre première affirmation est prouvée.

Il reste à prouver la deuxième affirmation. Si B_{1} est un sous-groupe de Borel de paramètre d’unipotence maximal p̃ et qui contient U, alors d’après le Fait 2.45, U ≤ Up̃(B_{1}) qui est un p̃-sous-groupe de Sylow de G (Faits 2.49, 2.45, et N^{∘}(Up̃(B_{1})) = B_{1}). Il vient alors Up̃(B_{1}) ≤ Up̃(B), et la maximalité implique l’égalité. Enfin B = N^{∘}(Up̃(B)) = N^{∘}(Up̃(B_{1})) = B_{1}. □

Remarque 3.5 Dans la preuve ci-dessus, on considère le sous-groupe Up̃(Up̃(N)∩ Up̃(B)) faute d’homogénéité a priori de Up̃(B) (cf. Définition 2.46).

Corollaire 3.6 Sous les hypothèses du Lemme 3.3, on a N(U) ≤ N(B).

Preuve N(U) ≤ N(Up̃(B)) ≤ N(N^{∘}(Up̃(B))) = N(B). □

Remarque 3.7 Le Lemme 3.3 et son Corollaire 3.6 seront souvent employés avec A ⊴ B, et plus particulièrement avec A = U = Up̃(Z(F^{∘}(B))).

En effet si A ⊴ B (et bien sûr toujours avec l’hypothèse que 1 < A ≤ Up̃(B)), on a C^{∘}(A) ≤ B, et donc d_{∞}(C^{∘}(A)) ≤ d_{∞}(B). Nous sommes alors bien sous les hypothèses du Lemme 3.3.

3.3 Groupes simples connexes minimaux et intersections de paires maximales

Revenons aux intersections de paires maximales (cf. §2.9). Commençons par un résultat d’homogénéité.

Lemme 3.8 Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal, et B ≠ B^{g} deux conjugués distincts d’un sous-groupe de Borel B. On suppose que F (B) ∩ F (B^{g}) n’est pas homogène. Alors F^{∘}(B) est abélien.

Preuve

D’après le Fait 2.28 F (B) ∩ F (B^{g}) est sans torsion. En particulier il est connexe, ainsi que tous ses sous-groupes définissables. Notamment F (B)∩F (B^{g}) = F^{∘}(B) ∩ F^{∘}(B^{g}) = (F (B) ∩ F (B^{g}))^{∘} ≠ 1 (rappelons que le groupe trivial est homogène).

On a U_{p}(B) = 1 pour chaque nombre premier p. En effet si cela est faux pour un p, le Fait 2.27 implique alors que F (B) ∩ F (B^{g}) = 1, une contradiction.

D’après le Fait 2.40 et avec la Notation 2.44, F^{∘}(B) est alors le produit central des F_{d}(B) avec d ≥ 1, et du sous-groupe abélien d(S), clôture définissable du sous-groupe de torsion divisible de F^{∘}(B).

L’hypothèse que F (B) ∩ F (B^{g}) n’est pas homogène intervient maintenant. Il existe deux paramètres d’unipotence distincts p̃ = (∞, d_{1}) et q̃ = (∞, d_{2}) apparaissant dans F^{∘}(B) ∩ F^{∘}(B^{g}). Soit alors U_{1} (resp. U_{2}) un (∞, d_{1})-sous-groupe de Sylow (resp. (∞, d_{2})-sous-groupe de Sylow) non trivial de F^{∘}(B) ∩ F^{∘}(B^{g}).

Soit L un sous-groupe de Borel contenant N^{∘}(U_{1}). Alors, toujours d’après la décomposition centrale du Fait 2.40, F_{ℓ}(B) ≤ L pour chaque ℓ ≠ d_{1}. Si L ≠ B, alors le Corollaire 2.56 implique que les F_{ℓ}(B) sont abéliens pour ℓ ≠ d_{1}. Si L = B, alors L ≠ B^{g}, et l’on trouve de même que les F_{ℓ}(B^{g}) sont abéliens. Ainsi tous les sous-groupes de la forme F_{ℓ}(B) avec ℓ ≠ d_{1} sont abéliens.

On recommence l’argument précédent avec un sous-groupe de Borel contenant N^{∘}(U_{2}), et cela prouve que tous les sous-groupes de la forme F_{ℓ}(B) avec ℓ ≠ d_{2} sont abéliens. Ainsi tous les sous-groupes F_{ℓ}(B) avec ℓ ≥ 1 sont abéliens. C’est aussi le cas de d(S). Comme les produits dans la décomposition du Fait 2.40 sont centraux, le groupe F^{∘}(B) est abélien. □

Lemme 3.9 Soit G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal. Soient B_{1} et B_{2} deux sous-groupes de Borel distincts. On suppose que (B_{1}, B_{2}) est une paire maximale, et que H = (B_{1} ∩ B_{2})^{∘} n’est pas abélien. Soient r′ = d_{∞}(H′) et Q un sous-groupe de Carter de H. Alors Q_{r′} := U_{(∞,r′)}(Q) n’est pas trivial, il est central dans H, et des trois cas suivants un et un seul se présente.

- N_{G}^{∘}(Q_{r′}) = H.

- N_{B_{1}}^{∘}(Q_{r′}) > H, en outre N_{B_{2}}^{∘}(Q_{r′}) = H, et B_{1} est l’unique sous-groupe de Borel contenant N_{G}^{∘}(Q_{r′}).

- N_{B_{2}}^{∘}(Q_{r′}) > H, en outre N_{B_{1}}^{∘}(Q_{r′}) = H, et B_{2} est l’unique sous-groupe de Borel contenant N_{G}^{∘}(Q_{r′}).

Preuve

La non trivialité de Q_{r′} est dans [Bur07, Lemma 3.23], où il est aussi prouvé que Q_{r′} = U_{(∞,r′)}(Z(H)). On a donc H ≤ N^{∘}(Q_{r′}). La trichotomie résulte alors du fait que B_{1} et B_{2} sont les seuls sous-groupes de Borel contenant H d’après le Fait 2.53. La maximalité de H fait tout le reste. □

Bien remarquer que cet énoncé est symétrique, en ce qu’il ne suppose pas “de quel côté penche l’unipotence” (avec une inégalité comme d_{∞}(B_{1}) > d_{∞}(B_{2})). C’est ce qui le distingue par exemple du Fait 2.55 (5), qui suppose d_{∞}(B_{1}) > d_{∞}(B_{2}).

Le lemme suivant est une élaboration importante sur le Fait 2.55 qui n’est pas explicite dans [Bur07].

Lemme 3.10 Mêmes hypothèses et notations que dans le Lemme 3.9. On suppose que d_{∞}(B_{1}) > d_{∞}(B_{2}). Alors tout (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de G contenant U_{(∞,r′)}(H) est inclus dans B_{2}.

Preuve

Soit V un (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de G contenant U_{(∞,r′)}(H). On peut supposer U_{(∞,r′)}(H) < V, si bien que U_{(∞,r′)}(H) < U_{(∞,r′)}(N_{V}^{∘} (U_{(∞,r′)}(H))) d’après le Fait 2.49.

Si U_{(∞,r′)}(N_{V}^{∘} (U_{(∞,r′)}(H))) est abélien, alors il centralise U_{(∞,r′)}(H). D’après le Fait 2.55 (6), il vient alors U_{(∞,r′)}(N_{V}^{∘} (U_{(∞,r′)}(H))) ≤ B_{1}. Mais d’autre part N^{∘}(U_{(∞,r′)}(H)) ≤ B_{2} d’après le Fait 2.55 (3). On en déduit que U_{(∞,r′)}(N_{V}^{∘} (U_{(∞,r′)}(H))) ≤ H. Ainsi U_{(∞,r′)}(N_{V}^{∘} (U_{(∞,r′)}(H))) ≤ U_{(∞,r′)}(H), une contradiction.

Donc le groupe U_{(∞,r′)}(N_{V}^{∘} (U_{(∞,r′)}(H))) n’est pas abélien, et il est inclus dans un unique sous-groupe de Borel L d’après le Corollaire 2.56. Nous avons déjà dit que N^{∘}(U_{(∞,r′)}(H)) ≤ B_{2} d’après le Fait 2.55 (3). En particulier L = B_{2}, et donc V ≤ B_{2}. □

Le lemme suivant est remarqué à la fin de [Bur07, §3.3].

Lemme 3.11 Mêmes hypothèses et notations que dans le Lemme 3.9. On suppose que d_{∞}(B_{1}) > d_{∞}(B_{2}). Si Q est un sous-groupe de Carter de B_{1} et de B_{2}, alors U_{(∞,r′)}(B_{2}) = F_{r′}(B_{2}) est l’unique (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de B_{2}.

Preuve

D’après les Faits 2.2 et 2.55 (3), le (∞, r′)-groupe U_{(∞,r′)}(B′_{2}) · U_{(∞,r′)}(Q) est inclus dans F_{r′}(B_{2}). Mais d’après le Fait 2.52, U_{(∞,r′)}(Q) · U_{(∞,r′)}(B′_{2}) est un (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de B_{2}. On a donc l’égalité, et F_{r′}(B_{2}) est un (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de B_{2}.

Maintenant la conjugaison de tels sous-groupes, Fait 2.50, et F_{r′}(B_{2}) ⊴ B_{2} impliquent que F_{r′}(B_{2}) est l’unique (∞, r′)-sous-groupe de Sylow de B_{2}. En particulier U_{(∞,r′)}(B_{2}) = F_{r′}(B_{2}). □

3.4 w-invariance : en bas

Dans cette sous-section nous établissons des résultats de normalisation de sous-groupes remarquables. La question typique est la suivante : si une involution w normalise un groupe H, va-t-elle normaliser des sous-groupes “intéressants” de celui-ci ? De façon équivalente, une conjuguée de w va-t-elle normaliser un sous-groupe remarquable donné ? “Intéressant” ou “remarquable” ici signifie de l’un des types suivants : 2-sous-groupe de Sylow, sous-groupe de Carter, p̃-sous-groupe de Sylow.

3.4.1 2-sous-groupes de Sylow

Fait 3.12 Soit G un groupe de rang de Morley fini. Soient w une involution de G agissant sur un sous-groupe définissable H, et S un 2-sous-groupe de Sylow de H. Alors une H-conjuguée de w normalise S.

Preuve

On inclut S dans un 2-sous-groupe de Sylow Ŝ de Ĥ = H · ⟨w⟩. Alors S = Ŝ ∩ H ⊴ Ŝ. Maintenant d’après la conjugaison des 2-sous-groupes de Sylow dans Ĥ donnée par le Fait 2.12, il existe une conjuguée w_{1} de w dans Ŝ. Cette involution normalise Ŝ, de plus c’est une Ĥ = H · ⟨w⟩-conjuguée de w, donc une H-conjuguée de w. □

3.4.2 Sous-groupes de Carter

Le Fait 3.12 possède un analogue pour les sous-groupes de Carter.

Lemme 3.13 Soit G un groupe de rang de Morley fini de type dégénéré. Soient w une involution agissant sur un sous-groupe définissable, connexe et résoluble H, et Q un sous-groupe de Carter de H. Alors une H-conjuguée de w normalise Q.

Preuve

On remarque que H est 2^{⊥} d’après le Fait 2.20. En particulier, les 2-sous-groupes de Sylow de Ĥ = H ⋊ ⟨w⟩ sont cycliques d’ordre 2. Les involutions de Ĥ sont donc toutes conjuguées. Il suffit ainsi de montrer que NĤ(Q) contient une involution.

Dans la projection modulo H, l’image de NĤ(Q) est NĤ(Q)/N_{H}(Q) ↪ ⟨w⟩. Or l’argument de Frattini implique que ce quotient ne peut pas être trivial. En particulier, [NĤ(Q) : N_{H}(Q)] = 2. Maintenant d’après le Fait 2.17, NĤ(Q) possède un 2-élément x. Si x n’est pas une involution, alors x^{2} est un 2-élément non-trivial de H, une contradiction. Donc x est bien une involution, et le résultat est prouvé. □

Le corollaire suivant sera la version utilisée.

Corollaire 3.14 Soit G un groupe de rang de Morley fini de type impair ou dégénéré. Soient w une involution agissant sur un sous-groupe définissable, connexe et résoluble H, et Q un sous-groupe de Carter de H. Alors une Hconjuguée de w normalise Q.

Preuve

Soit S un 2-sous-groupe de Sylow de H. D’après le Fait 3.12, on peut supposer à conjugaison près que w normalise S. D’après le Fait 2.21, il existe un sous-groupe de Carter Q de H contenant S. Ainsi S ≤ Q ≤ C_{H}^{∘}(S), et w normalise C_{H}^{∘}(S).

On peut donc, quitte à remplacer H par C_{H}^{∘}(S), supposer que S ≤ Z(H), et la clôture définissable d(S) est encore dans Z(H). Nous passons alors au quotient. Le groupe Q · d(S)/d(S) est un sous-groupe de Carter de H/d(S). Ce dernier n’a pas d’involution, et d’après le Lemme 3.13 on peut supposer que w normalise Q modulo d(S). Ainsi w normalise Q · d(S). Mais d(S) ≤ Z(H) ≤ N(Q) = Q d’après le Fait 2.22, et donc w normalise Q. □

3.4.3 p̃-sous-groupes de Sylow

Voici maintenant l’énoncé correspondant pour les p̃-sous-groupes de Sylow.

Corollaire 3.15 Soit G un groupe de rang de Morley fini de type impair ou dégénéré. Soient w une involution agissant sur un sous-groupe définissable, connexe et résoluble H, et U un p̃-sous-groupe de Sylow de H. Alors une Hconjuguée de w normalise U.

Preuve

D’après le Fait 2.52 qui décrit la structure des p̃-sous-groupes de Sylow d’un groupe connexe résoluble, il existe un sous-groupe de Carter Q de H tel que U = Up̃(H′) · Up̃(Q). Le Corollaire 3.14 implique qu’il existe une H-conjuguée de w, disons w_{1}, qui normalise Q, et donc Up̃(Q). D’autre part w_{1} normalise H, donc elle normalise Up̃(H′). L’involution w_{1} normalise alors U. □

3.5 w-invariance : en haut

Nous établissons maintenant un résultat complémentaire à ceux de la soussection précédente, à savoir une propriété d’extension. On s’interroge sur l’existence, pour un sous-groupe invariant par une involution w, d’un sous-groupe de Borel w-invariant le contenant.

Soient dans toute cette sous-section un groupe de rang de Morley fini G simple connexe minimal, et w une involution de G. Pour un sous-groupe 1 < H < G (non-trivial propre) définissable, connexe, et w-invariant, on s’intéresse à la propriété

(∗) : H est inclus dans un sous-groupe de Borel w-invariant.

Nous limitons fortement la structure des contre-exemples, et allons finalement tous les déterminer.

3.5.1 Généralités dans le cadre simple minimal

Lemme 3.16 Un contre-exemple maximal à (∗) est maximal parmi les sousgroupes propres définissables connexes w-invariants.

Preuve

Soit T un contre-exemple maximal à (∗). Soit H ≥ T un sous-groupe propre définissable, connexe, w-invariant et maximal pour ces propriétés. Si H est inclus dans un sous-groupe de Borel w-invariant, alors T n’est pas un contre-exemple à (∗), une contradiction. Donc H lui-même est un contre-exemple à (∗), et la maximalité de T implique H = T. □

Corollaire 3.17 Soit T un contre-exemple maximal à (∗). Si 1 ≠ K ⊴ T est un sous-groupe définissable, normal dans T, et w-invariant, alors T = N^{∘}(K).

Lemme 3.18 Un contre-exemple à (∗) est abélien.

Preuve

Soit T un contre-exemple non-abélien à (∗). On peut supposer que T est un contre-exemple maximal à (∗) (il reste non-abélien). Notamment T = N^{∘}(T′) d’après le Corollaire 3.17.

Soit B ≥ T un sous-groupe de Borel quelconque. B n’est pas abélien, donc pas un bon tore. En particulier d’après le Fait 2.36, il existe un paramètre d’unipotence “non trivial” pour B, c’est-à-dire un p̃ ≠ (∞, 0) tel que Up̃(B) ≠ 1. Nous supposons que ce paramètre d’unipotence est maximal pour B, de sorte que Up̃(B) ≤ F^{∘}(B) d’après le Fait 2.45.

On a T′ ≤ F^{∘}(B), donc Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ C^{∘}(T′) ≤ N^{∘}(T′) = T. Ainsi T admet le même paramètre d’unipotence maximal p̃ que B et 1 ≠ Up̃(T) ≤ Up̃(B). Si l’inclusion est stricte, la condition de normalisateur donne une contradiction au Corollaire 3.17. Ainsi Up̃(T) = Up̃(B) et B = N^{∘}(Up̃(T)) ≤ T. Donc T est lui-même un sous-groupe de Borel w-invariant, une contradiction. □

Remarque 3.19 [BCJ07, Lemma 6.7] offre une autre preuve.

Corollaire 3.20 Soit T un contre-exemple maximal à (∗). Si 1 ≠ K ≤ T est un sous-groupe définissable w-invariant, alors T = N^{∘}(K).

Corollaire 3.21 Un contre-exemple maximal à (∗) est abélien et d’indice fini dans son normalisateur. Si K est un contre-exemple à (∗) (non nécessairement maximal), alors N^{∘}(K) est un contre-exemple maximal à (∗).

3.5.2 Le cas w ∈ C^{∘}(w)

Lemme 3.22 Si w ∈ C^{∘}(w), alors un contre-exemple à (∗) est inversé par w.

Preuve

Soit T un contre-exemple à (∗), que l’on peut supposer maximal. Soit K = (T ∩ C^{∘}(w))^{∘}. Ce groupe est w-invariant.

Si K ≠ 1, alors d’après le Corollaire 3.17, T = N^{∘}(K). Dans ce cas, N_{C^{∘}(w)}^{∘}(K) = K, et K est un sous-groupe de Carter de C^{∘}(w). Mais alors K est autonormalisant dans C^{∘}(w) selon le Fait 2.22. Ainsi Z(C^{∘}(w)) ≤ N_{C^{∘}(w)}(K) = K. En particulier, comme w ∈ Z(C^{∘}(w)), il vient w ∈ K ≤ T. Un sous-groupe de Borel contenant T est alors w-invariant, une contradiction. Ainsi K = 1. En particulier C_{T} (w) est fini.

D’après le Fait 2.11, T = [T, w] = {[t, w], t ∈ T } car T est abélien. Maintenant tout élément de T de la forme [t, w] est inversé par w, et donc w inverse T. □

Corollaire 3.23 On suppose w ∈ C^{∘}(w). Soit T un contre-exemple maximal à (∗). Si 1 ≠ K ≤ T est un sous-groupe définissable, alors T = N^{∘}(K).

3.5.3 Involutions toriques en type impair

Une involution torique est comme on l’a dit une involution qui appartient à un 2-tore. D’après le Fait 2.57, l’hypothèse supplémentaire de toricité de l’involution que nous ferons dans la suite est toujours vérifiée, même si ce fait ne sera jamais invoqué.

Lemme 3.24 On suppose G de type impair et w torique. Alors un contreexemple maximal à (∗) contient la composante connexe d’un 2-sous-groupe de Sylow de G.

Preuve

Soit T un contre-exemple maximal à (∗). Pour g ∉ N(T), on forme K_{g} = T ∩ T^{g}. Si K_{g} ≠ 1, alors le Corollaire 3.23 implique N^{∘}(K_{g}) = T, et N^{∘}(K_{g}) = T^{g} de même, une contradiction. Ainsi les conjugués de T sont deux-à-deux disjoints. Comme N^{∘}(T) = T, il vient que T^{G} est générique dans G d’après un simple calcul de rang.

Fixons maintenant un sous-groupe de Borel B_{w} contenant C^{∘}(w). Le Fait 2.5 donne la généricité de B_{w}^{G}. Il existe donc g ∈ G tel que T ∩ B_{w}^{g} ≠ 1. Nous montrons que cette intersection est infinie. Soit x ∈ (T ∩ B_{w}^{g})^{#}. D’une part T ≤ C^{∘}(x), d’autre part C^{∘}(x) est un sous-groupe propre définissable, connexe et w-invariant de G. Par maximalité de T, il vient T = C^{∘}(x). Maintenant comme B_{w}^{g} est résoluble, C_{B_{w}^{g}}^{∘}(x) est infini, et ce dernier sous-groupe est égal à (T ∩ B_{w}^{g})^{∘}. On en déduit que K = (T ∩ B_{w}^{g})^{∘} est non-trivial.

D’après le Corollaire 3.23, il vient T = N^{∘}(K). En particulier N_{B_{w}^{g}}^{∘}(K) = K, et K est donc un sous-groupe de Carter de B_{w}^{g}. D’après le Corollaire 2.23, K contient un 2-sous-groupe de Sylow de B_{w}^{g}. Donc T aussi contient un 2-sous-groupe de Sylow de B_{w}^{g}. Maintenant l’hypothèse sur w implique que B_{w} a même rang de Prüfer que G, et T contient donc bien un 2-tore maximal de G, c’est-à-dire la composante connexe d’un 2-sous-groupe de Sylow de G. □

En résumé

Proposition 3.25 On suppose G de type impair et w torique. Alors un contreexemple à (∗) est abélien et inversé par w, en outre un contre-exemple maximal à (∗) est d’indice fini dans son normalisateur et contient la composante connexe d’un 2-sous-groupe de Sylow de G.

Enfin, puisqu’il est l’objet du présent article, nous mentionnons PSL_{2}(K).

3.5.4 Propriété (∗) et PSL_{2}

Théorème 3.26 Soit G un groupe simple connexe minimal de type impair. On suppose qu’une involution torique w de G possède un contre-exemple à (∗). Alors G est de rang de Prüfer 1, et le centralisateur de w n’est pas un sous-groupe de Borel de G.

Preuve

On part d’un contre-exemple maximal à (∗), disons T. D’après la Proposition 3.25, T contient la composante connexe S_{1}^{∘} d’un 2-sous-groupe de Sylow S_{1} de G.

Soit B un sous-groupe de Borel contenant T. Soit A un sous-groupe Bminimal de B. Si A est central dans B, alors A ≤ C^{∘}(T) = T, et dans ce cas d’après le Corollaire 3.23 il vient T = N^{∘}(A) = B, une contradiction.

Ainsi A n’est pas central dans B, et B/C_{B}(A) est infini. Il est connu que A ≤ Z(F^{∘}(B)), et que le groupe A ⋊ B/C_{B}(A) satisfait les hypothèses du théorème du corps de Zilber (Fait 2.7). Soit K le corps impliqué.

Nous prouvons C_{T} (A) = 1. Sinon, soit t ∈ C_{T} (A)^{#}. Notant d(t) la clôture définissable de t, il vient d’après le Corollaire 3.23 que A ≤ N^{∘}(d(t)) = T, et B = N^{∘}(A) = T, une contradiction.

Ainsi C_{T} (A) = 1, et T ↪ B/C_{B}(A), lequel se plonge dans K^{×}. Ceci prouve que le rang de Prüfer de G est au plus 1, et comme il n’est pas nul par hypothèse, c’est exactement 1.

Soit j l’unique involution, torique, de S_{1}^{∘}. La conjugaison des involutions toriques dans un groupe de rang de Prüfer 1 est conséquence immédiate du Fait 2.12. Ainsi w et j sont conjuguées dans G. Maintenant comme T = C^{∘}(j) d’après le Corollaire 3.23, et que T n’est pas un sous-groupe de Borel, C^{∘}(w) n’est pas non plus un sous-groupe de Borel. □

Ceci jumelé avec le Théorème 1.1 impliquera l’unicité de la situation.

Lemme 3.27 Les Théorèmes 1.1 et 3.26 impliquent le Corollaire 1.2.

Preuve

Soient G et w comme dans l’énoncé du Corollaire 1.2. On suppose qu’il existe un sous-groupe propre définissable, connexe, et w-invariant H de G qui n’est inclus dans aucun sous-groupe de Borel w-invariant. On peut supposer que H est maximal pour ces propriétés. En particulier H > 1, car sinon C^{∘}(w) = 1 par maximalité, une contradiction.

Le Théorème 3.26 implique alors que G est de rang de Prüfer 1, et que C^{∘}(w) n’est pas un sous-groupe de Borel de G. D’après le Théorème 1.1, G est isomorphe à PSL_{2}(K), où K est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2. □

4 Analyse préliminaire

Nous commençons à présent la preuve de notre théorème principal, dont nous rappelons l’énoncé. Théorème 1.1 Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal de type impair et de rang de Prüfer 1, et i une involution torique de G. On suppose que C^{∘}(i) n’est pas un sous-groupe de Borel de G. Alors G est isomorphe à PSL_{2}(K), où K est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2.

L’étude de la configuration du Théorème 1.1 commence maintenant, et pour celle-ci nous fixons des notations.

Notation 4.1 G est un groupe simple connexe minimal de type impair et de

2-rang de Prüfer 1. S est un 2-sous-groupe de Sylow de G et i est l’unique involution de S^{∘}. On suppose que C^{∘}(i) n’est pas un sous-groupe de Borel de G. B est un sous-groupe de Borel de G contenant strictement C^{∘}(i).

4.1 Involutions de B

Lemme 4.2 F^{∘}(B) est sans involution.

Preuve

Soit sinon j une involution de F^{∘}(B). D’après le Fait 2.20, j est dans un 2tore T de F^{∘}(B) que l’on peut supposer être son 2-tore maximal. En particulier C_{B}^{∘}(j) ≥ C_{B}^{∘}(T) ≥ B d’après le Fait 2.18. Ainsi i = j est centrale dans B, contre l’hypothèse que C^{∘}(i) n’est pas un sous-groupe de Borel. □

Lemme 4.3 C_{B}(i) est connexe, B s’écrit sous la forme B = C_{G}^{∘}(i)·(F^{∘}(B))^{−_{i}}, et cette décomposition est univoque.

Preuve

Nous passons modulo F^{∘}(B). D’après le Fait 2.2, le quotient B/F^{∘}(B) est abélien, donc l’action de i y est triviale.

En particulier pour tout b ∈ B, il existe un f ∈ F^{∘}(B) tel que b^{i} = bf. Conjuguant à nouveau par i, on trouve f^{i} = f^{−1}, i.e. f ∈ (F^{∘}(B))^{−_{i}}. D’après le Lemme 4.2 et le Fait 2.10, on peut écrire f = g^{2}, où g est encore dans (F^{∘}(B))^{−_{i}}. Il vient alors b = (bg)g^{−1}, avec (bg)^{i} = (bf)g^{−1} = bg ∈ C_{B}(i) et g^{−1} ∈ (F^{∘}(B))^{−_{i}}.

Nous avons prouvé B = C_{B}(i) · (F^{∘}(B))^{−_{i}}. Mais B étant connexe, on a B = C_{B}^{∘}(i) · (F^{∘}(B))^{−_{i}} = C_{G}^{∘}(i) · (F^{∘}(B))^{−_{i}}.

Montrons enfin l’unicité de la décomposition : si c_{1}f_{1} = c_{2}f_{2} avec des notations naturelles, il vient f_{2}f_{1}^{−1} ∈ C(i), donc f_{1}^{2} = f_{2}^{2}, ce qui dans F^{∘}(B) qui est sans 2-torsion implique f_{1} = f_{2}. Le lemme est prouvé. □

Corollaire 4.4 I(B) = i^{F^{∘}(B)}.

Preuve

En effet les involutions de B sont conjuguées dans B d’après les Faits 2.20 et 2.12 en rang de Prüfer 1, et le Lemme 4.3 implique alors I(B) = i^{F^{∘}(B)}. □

4.2 Involutions toriques et unipotence

L’involution i n’étant pas centrale dans B, B n’est pas abélien. En particulier, on sait d’après le Fait 2.36 que B admet un paramètre d’unipotence maximal distinct de (∞, 0), que nous fixons pour tout le reste de cet article.

Notation 4.5 Soit p̃ = (p, d) un paramètre d’unipotence maximal de B. (On vient de remarquer d > 0.)

Remarque 4.6 La caractéristique p est première ou ∞, mais l’hypothèse sur le type de G implique que ce n’est pas 2. Rappelons également que plusieurs paramètres maximaux pourraient a priori être disponibles, nous en fixons un pour tout l’article. Remarquons aussi qu’on maximise p̃ seulement à B fixé, et non pas en le faisant varier parmi tous les sous-groupes de Borel de G contenant C^{∘}(i). Enfin, p sera bien la caractéristique du corps intervenant dans la conclusion du Théorème 1.1.

Lemme 4.7 d_{p}(C^{∘}(i)) ≤ d.

Preuve C^{∘}(i) ≤ B. □

Le lemme et le corollaire qui suivent (Lemme 4.8 et Corollaire 4.9) concernent le seul cas où p = ∞. Si la caractéristique est première, l’hypothèse du Lemme 4.8 n’est jamais vérifiée, et la conclusion du Corollaire 4.9 l’est toujours.

Lemme 4.8 On suppose p = ∞. Soit j une involution conjuguée à i qui normalise un sous-groupe H < G définissable, connexe, et admettant le paramètre d’unipotence maximal (∞, ℓ), avec ℓ > d. Alors j inverse U_{∞}(H).

Preuve

Comme on l’a remarqué, nécessairement p = ∞ puisque ℓ > d. L’unipotence considérée ici est celle de caractéristique nulle.

U_{∞}(H) = U_{(∞,ℓ)}(H) est sans involution. Sinon, comme il est connexe, il contient tout un 2-tore T conjugué dans G à S^{∘}, car G est de rang de Prüfer 1. Le 2-tore T est central dans U_{∞}(H), car ce dernier est nilpotent. En particulier, U_{∞}(H) centralise son involution, qui est une G-conjuguée de i, contre le Lemme 4.7.

Le Fait 2.43 implique alors que C_{U_{∞}(H)}^{∘}(j) est un (∞, ℓ)-sous-groupe. S’il est non-trivial, c’est encore une contradiction au Lemme 4.7. Ainsi C_{U_{∞}(H)}^{∘}(j) = 1, et cela prouve que j inverse U_{∞}(H). □

Corollaire 4.9 On suppose p = ∞. Soient j et k deux conjuguées distinctes de i normalisant un sous-groupe 1 ≠ H < G définissable et connexe. Si [j, k] = 1, alors d_{∞}(H) ≤ d.

Preuve

Comme on l’a remarqué avant d’énoncer le Lemme 4.8, la conclusion est triviale si p n’est pas ∞, puisqu’alors d = ∞.

L’élément jk est une troisième involution normalisant H, et encore conjuguée à i d’après le Corollaire 2.16. Si d_{∞}(H) > d, alors d’après le Lemme 4.8, chacune de ces trois involutions inverse U_{∞}(H), ce qui force U_{∞}(H) = 1. Pourtant on a supposé d_{∞}(H) > d > 0, et donc U_{∞}(H) ≠ 1, une contradiction. □

4.3 Involutions toriques de N(B)

Théorème 4.10 Avec la Notation 4.1, i^{G} ∩ N(B) ⊆ B.

Cette sous-section est consacrée à la preuve du Théorème 4.10. Supposons le contraire et

fixons une involution k de i^{G} ∩ (N(B) \ B).

A conjugaison près on peut supposer que k normalise S^{∘} d’après le Fait 3.12. Notamment, k inverse S^{∘} d’après le Corollaire 2.16.

Lemme 4.11 C_{F^{∘}(B)}^{∘}(k) ≠ 1.

Preuve

Sinon, k inverse F^{∘}(B) d’après le Fait 2.10. Comme d’autre part k inverse S^{∘}, il vient [S^{∘}, F^{∘}(B)] = 1 avec le Lemme 3.1. Alors F^{∘}(B) · S^{∘} est un sousgroupe nilpotent et normal de B d’après le Fait 2.2, et donc inclus dans F^{∘}(B). En particulier i ∈ S^{∘} ≤ F^{∘}(B), une contradiction au Lemme 4.2. □

Notation 4.12 Soit B_{k} un conjugué de B contenant C^{∘}(k). (Nécessairement B_{k} ≠ B, car sinon k ∈ B).

Remarque 4.13 Par conjugaison, le paramètre d’unipotence p̃ = (p, d) est maximal pour B_{k}.

Lemme 4.14 Soit X un sous-groupe définissable connexe de B (resp. B_{k}) invariant par i et k, et admettant p̃ comme paramètre d’unipotence. Alors B (resp. B_{k}) est le seul sous-groupe de Borel de paramètre d’unipotence maximal p̃ contenant X.

Preuve

Nous faisons la preuve pour B, celle pour B_{k} étant similaire. On peut supposer que X = Up̃(X) ≠ 1, et donc que X est un Up̃-groupe. Soit B_{1} un sous-groupe de Borel de paramètre d’unipotence maximal p̃ et contenant X.

Comme X est de degré d’unipotence maximal dans B_{1}, on a X ≤ Up̃(B_{1}), et ainsi Up̃(Z(F^{∘}(B_{1}))) ≤ C^{∘}(X). Mais ce dernier sous-groupe est invariant par i et par k, donc le Corollaire 4.9 s’applique. Ainsi le degré d’unipotence de C^{∘}(X) est ≤ d, et donc Up̃(Z(F^{∘}(B_{1}))) ≤ Up̃(C^{∘}(X)). De même Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ Up̃(C^{∘}(X)).

Si p ≠ ∞, le Lemme 2.29 avec A = Up̃(Z(F^{∘}(B))) implique que B est l’unique sous-groupe de Borel contenant C^{∘}(X). Le même argument vaut pour B_{1}, et donc B_{1} = B.

Si p = ∞, le Lemme 3.3 avec U = A = Up̃(Z(F^{∘}(B))) implique que Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant A, et donc que c’est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(C^{∘}(X)). Le même argument vaut pour B_{1}, et donc B_{1} = B. □

Corollaire 4.15 L’involution k inverse Up̃(B).

Preuve

Up̃(B) ≤ F^{∘}(B) d’après le Fait 2.25 en caractéristique p ou le Fait 2.45 en caractéristique ∞. Comme F^{∘}(B) est 2^{⊥} d’après le Lemme 4.2, Up̃(B) est sans involution.

Supposons que k n’inverse pas Up̃(B). Alors X = C_{Up̃(B)}^{∘}(k) ≠ 1 d’après le Fait 2.10. Or X est un Up̃-groupe, ce qui est évident si p ≠ ∞, et provient du Fait 2.43 sinon. Par construction, X ≤ B ∩ B_{k}.

Le Lemme 4.14, avec X dans B et dans B_{k}, donne B = B_{k}, une contradiction à la Notation 4.12. □

Corollaire 4.16 Up̃(B) est abélien, inversé par k et ik, et centralisé par i.

Preuve

En effet, tout ce que nous venons de voir pour k vaut encore pour ik d’après le Corollaire 2.16, et donc ik inverse Up̃(B) d’après le Corollaire 4.15. En particulier le produit i = ikk centralise Up̃(B). □

Corollaire 4.17 B est l’unique sous-groupe de Borel de paramètre maximal p̃ contenant C^{∘}(i). En particulier la configuration est symétrique dans le sens suivant. L’involution i normalise B_{k} mais n’est pas dans B_{k}, les involutions i et ki inversent Up̃(B_{k}), et k le centralise.

Preuve

Le Lemme 3.3 impose l’unicité de B parmi les sous-groupes de Borel de paramètre maximal p̃ contenant Up̃(B), et nous venons de prouver que Up̃(B) ≤ C^{∘}(i). Ceci démontre le premier point.

B_{k} est alors l’unique conjugué de B contenant C^{∘}(k). Comme i normalise C^{∘}(k), i normalise également B_{k}, et c’est aussi vrai de ik. Si i ∈ B_{k}, alors elle y est conjuguée à k d’après la conjugaison et la connexité des 2-sous-groupes de Sylow de B_{k} dont le rang de Prüfer est 1. Il vient alors C^{∘}(i) ≤ B_{k}, et donc B_{k} = B, une contradiction. Donc i ∉ B_{k}. Le Corollaire 4.16 s’applique alors, mutatis mutandis, à l’action de ⟨i, k⟩ sur B_{k}, ce qui achève la démonstration. □

Notation 4.18 Soit H = (B ∩ B_{k})^{∘}.

Remarque 4.19 H est k-invariant. Par symétrie, il est également i-invariant. D’autre part H ≠ 1 d’après le Lemme 4.11.

Lemme 4.20 H est sans involution, abélien et centralisé par k.

Preuve

Nous montrons que H est sans involution. Sinon d’après le Fait 2.20, H qui est connexe contient un 2-tore T, que l’on peut supposer k-invariant grâce au Fait 3.12. Le groupe T ⋊ ⟨k⟩ est alors un 2-sous-groupe de B_{k}, donc d’après le Fait 2.20, et l’hypothèse que le rang de Prüfer du groupe ambiant est 1, il vient k ∈ T ≤ B, une contradiction.

Nous montrons que H est abélien. Sinon, H′ ≠ 1. Soit K = C^{∘}(H′). Alors K est ⟨i, k⟩-invariant. D’après le Corollaire 4.9 si p = ∞ ou de façon évidente sinon, d_{p}(K) ≤ d. Mais d’autre part, K contient tant Up̃(Z^{∘}(F (B))) = Up̃(B) que Up̃(B_{k}). Avec le Fait 2.25 ou le Fait 2.45 suivant la valeur de p, il vient que Up̃(B) et Up̃(B_{k}) sont inclus dans F^{∘}(K). Si p ≠ ∞, le Lemme 2.29 implique B = B_{k}, une contradiction à la Notation 4.12. Si p = ∞, d’après le Lemme 3.3, Up̃(B) est un p̃-sous-groupe de Sylow de G. Il vient alors Up̃(B_{k}) ≤ Up̃(B), d’où l’égalité par conjugaison des p̃-sous-groupes de Sylow de K. Puis passant aux normalisateurs, B = B_{k}, encore une contradiction à la Notation 4.12.

Nous montrons que k centralise H. Sinon H^{−_{k}}, un groupe abélien connexe d’après l’abélianité de H et le Fait 2.10, est non-trivial. Soit K = C^{∘}(H^{−_{k}}). D’une part k inverse Up̃(B). Le groupe H^{−_{k}} le normalise, donc d’après le Lemme 3.1, on a Up̃(B) ≤ K. D’autre part k centralise Up̃(B_{k}). Le groupe H^{−_{k}} le normalise, donc toujours d’après le Lemme 3.1, on a Up̃(B_{k}) ≤ K. Or H^{−_{k}}, et donc K, est ⟨i, k⟩-invariant. En particulier, avec le Corollaire 4.9, d_{p}(K) ≤ d, et K admet p̃ comme paramètre d’unipotence maximal. Il contient pourtant Up̃(B) et Up̃(B_{k}), et l’on obtient une contradiction comme au point précédent. □

Lemme 4.21 C_{B}^{∘}(H) = H.

Preuve

Une inclusion est simplement l’abélianité de H. Nous prouvons à présent que C_{B}^{∘}(H) ≤ H. Soit Y = C_{F^{∘}(B_{k})}^{∘}(i) ≤ H. Alors Y ≠ 1 d’après le Lemme 4.11 et la symétrie de la configuration, décrite par le Corollaire 4.17. En outre i et k normalisent Y. Donc K = C^{∘}(Y) est également ⟨i, k⟩-invariant. D’après le Corollaire 4.9, d_{p}(K) ≤ d.

Up̃(B_{k}) est abélien, donc d’après le Fait 2.40, il centralise Y. Ainsi Up̃(B_{k}) ≤ K, et donc d_{p}(K) = d. Si p ≠ ∞, alors le Lemme 2.29 donne K ≤ B_{k}. Si p = ∞, d’après le Lemme 3.3, Up̃(B_{k}) est un p̃-sous-groupe de Sylow de G, et donc Up̃(K) ≥ Up̃(B_{k}) est une égalité. On a encore K ≤ N^{∘}(Up̃(B_{k})) = B_{k}.

Enfin C_{B}^{∘}(H) ≤ C_{B}^{∘}(Y) ≤ (B∩B_{k})^{∘} = H, ce qui prouve la seconde inclusion. □

Notation 4.22 Soit N = N_{B}^{∘}(H).

Lemme 4.23 N est sans involution.

Preuve

Sinon il contient un 2-tore T que l’on peut supposer k-invariant d’après le Fait 3.12. En particulier, k inverse T d’après le Corollaire 2.16. Comme k centralise H, le Lemme 3.1 implique [T, H] = 1, et donc T ≤ C_{B}^{∘}(H) = H, qui est pourtant sans involution d’après le Lemme 4.20. □

Lemme 4.24 N = H.

Preuve

Ecrivons en effet N = C_{N}(k) · N^{−_{k}} avec le Fait 2.10. La décomposition étant univoque, chacun de ces ensembles est de degré 1. En particulier C_{N}(k) = C_{N}^{∘}(k) ≤ H.

N^{−_{k}} est un ensemble 2-divisible de degré 1 qui normalise H. En particulier, pour chaque n ∈ N^{−_{k}}, la clôture définissable d(n) est un groupe 2-divisible encore inversé par k. Le Lemme 3.1 implique alors [d(n), H] = 1, et cela est vrai pour tout n ∈ N^{−_{k}}. Ainsi [N^{−_{k}}, H] = 1, et donc N^{−_{k}} ⊆ C(H).

En conclusion, N ≤ C(H) et N ≤ C_{B}^{∘}(H) = H d’après le Lemme 4.21. □

Nous dérivons maintenant la contradiction finale de cette sous-section. H est abélien et d’indice fini dans N_{B}^{∘}(H), donc c’est un sous-groupe de Carter de B. En particulier, H contient un 2-tore d’après le Corollaire 2.23, une contradiction avec le Lemme 4.20 qui achève la preuve du Théorème 4.10. □

4.4 Produits d’involutions toriques et ensembles T [w]

Commençons par remarquer que i^{G}\N(B) (cet ensemble coïncide avec i^{G}\B d’après le Théorème 4.10) est générique dans i^{G} d’après le Fait 2.3. Nous nous concentrerons donc sur les conjuguées de i qui ne normalisent pas B et étudierons la façon dont elles se répartissent dans les cosets de B.

Notation 4.25 Soit pour w ∈ i^{G} \ N(B) l’ensemble définissable

T [w] = {b ∈ B, b^{w} = b^{−1}}.

Remarque 4.26 On a les équivalences : T [w] est un groupe ⇔ T [w] = d(T [w]) est un groupe définissable ⇔ les éléments de T [w] commutent deux-à-deux.

On remarque avec le Lemme 4.3 et l’égalité C^{∘}(i) = C_{B}^{∘}(i) que

rg(B) − rg(C^{∘}(i)) = rg ((F^{∘}(B))^{−_{i}}) .

Notation 4.27 Soit l’ensemble définissable

I_{0} = {w ∈ i^{G} \ N(B), rg(T [w]) ≥ rg ((F^{∘}(B))^{−_{i}})}.

Lemme 4.28 I_{0} est générique dans i^{G}.

Preuve

Considérons i^{G}\N(B) muni de la relation d’équivalence définissable ∼ définie par

w_{1} ∼ w_{2} ⇔ w_{1}w_{2} ∈ B,

et la projection canonique

p : i^{G} \ N(B) → (i^{G} \ N(B))/ ∼ .

Pour k variant de 0 à rg(G), les ensembles

X_{k} = {w ∈ i^{G} \ N(B), rg (p^{−1}(p(w))) = k}

sont définissables par définissabilité du rang. De plus ils sont deux-à-deux disjoints, et recouvrent i^{G} \N(B). Or l’ensemble i^{G} \N(B) est de degré 1. Il existe donc un unique entier k_{0} tel que X_{k_{0}} soit générique dans i^{G} \ N(B). Ce k_{0} doit vérifier

rg (i^{G} \ N(B)) = rg (X_{k_{0}}) = k_{0} + rg (p(X_{k_{0}})) .

Comme p(X_{k_{0}}) s’injecte dans G/B, on a rg(p(X_{k_{0}})) ≤ rg(G/B), et donc

k_{0} ≥ rg (i^{G} \ N(B)) − rg (G/B) = rg (i^{G}) − rg (G/B) = rg (B) − rg (C^{∘}(i)) ,

c’est-à-dire k_{0} ≥ rg ((F^{∘}(B))^{−_{i}}) .

Or pour tout w_{1} ∈ i^{G} \ N(B), la fibre au-dessus de p(w_{1}) est p^{−1} (p(w_{1})) = {w_{2} ∈ i^{G} \ N(B), w_{1}w_{2} ∈ B} ⊆ w_{1}T [w_{1}]. Ainsi, pour w_{1} ∈ X_{k_{0}}, rg(T [w_{1}]) ≥ k_{0} ≥ rg ((F^{∘}(B))^{−_{i}}), et donc w_{1} ∈ I_{0}. D’où X_{k_{0}} ⊆ I_{0}. L’ensemble I_{0} est donc bien générique dans i^{G} \ N(B), et dans i^{G}. □

5 Cas I : Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≰ C^{∘}(i)

Dans cette partie nous prouvons le Théorème 1.1 sous l’hypothèse supplémentaire que “i inverse de l’unipotence” dans B. Dans PSL_{2}, une involution inverse le sous-groupe unipotent d’un sous-groupe de Borel contenant la composante connexe de son centralisateur ce qui est notre notion de sous-groupe de Borel “standard”. L’hypothèse que nous introduisons est une approximation très faible et néanmoins suffisante de ce fait, et sera établie seulement par la suite (§6 ci-dessous). Ainsi nous montrons dans cette section le

Théorème 5.1 Soient G un groupe simple connexe minimal de type impair et de rang de Prüfer 1, et i une involution de G. On suppose qu’il existe un sousgroupe de Borel B de G contenant C^{∘}(i) et tel que Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≰ C^{∘}(i), où p̃ = (p, d) est un paramètre d’unipotence maximal de B.

Alors G est isomorphe à PSL_{2}(K), où K est un corps algébriquement clos de caractéristique p.

Nous travaillons donc dans tout cette section sous l’hypothèse

(I) : Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≰ C^{∘}(i).

Remarquons que l’inclusion C^{∘}(i) < B est nécessairement stricte sous cette hypothèse. Les notations et résultats préliminaires de §4 valent donc encore dans cette section, c’est-à-dire que B est un sous-groupe de Borel de G contenant strictement C^{∘}(i) selon la Notation 4.1, et que p̃ = (p, d) en est un paramètre d’unipotence maximal comme dans la Notation 4.5. Parmi les résultats préliminaires de §4, rappelons que d’après le Théorème 4.10,

i^{G} ∩ N(B) ⊆ B.

5.1 Un sous-groupe B-minimal

Comme dans §4, I_{0} désigne l’ensemble des involutions w de i^{G} \ N(B) qui satisfont

rg(T [w]) ≥ rg(B) − rg(C_{B}^{∘}(i)) = rg ((F^{∘}(B)^{−_{i}}) .

Rappelons que cet ensemble est générique dans i^{G} d’après le Lemme 4.28.

Notation 5.2 Soit U = (Up̃(Z(F^{∘}(B))))^{−_{i}}.

Lemme 5.3 U est un Up̃-sous-groupe p̃-homogène de Up̃(B), non-trivial, et normal dans B.

Preuve

U est bien un groupe car Up̃(Z(F^{∘}(B))) est abélien. La non-trivialité de U est l’hypothèse (I) de la présente section. Le fait que U soit normal dans B est évident, puisque B = (F^{∘}(B))^{−_{i}} · C^{∘}(i) d’après le Lemme 4.3.

D’après le Fait 2.10 et le Lemme 4.2, Up̃(Z(F^{∘}(B))) est produit direct de C_{Up̃(Z(F^{∘}(B)))}(i) et de U. Ce dernier est donc définissablement isomorphe à un quotient de Up̃(Z(F^{∘}(B))), et donc d’après le “push-forward” du Fait 2.39, U est un p̃-groupe. Selon le Fait 2.48, [U, B] est p̃-homogène au sens de la Définition 2.46. Or U = [U, i] ≤ [U, B] ≤ U, et donc U = [U, B] est p̃-homogène. □

Notation 5.4 Soit A un sous-groupe B-minimal de U.

Lemme 5.5 A est un p̃-groupe.

Preuve U est un p̃-groupe p̃-homogène. □

Remarque 5.6 Le groupe U et sa p̃-homogénéité ne servent qu’à obtenir A. Sans homogénéité, on ne pourrait pas en général affirmer l’existence d’un p̃- sous-groupe B-minimal.

Lemme 5.7 Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant A.

Preuve

Si p ≠ ∞, c’est le Lemme 2.29 appliqué avec A. Dans le cas p = ∞, c’est le Lemme 3.3, où A joue les deux rôles. □

Remarque 5.8 Puisque I(B) = i^{F^{∘}(B)} et A ≤ Z(F^{∘}(B)), chaque involution de B inverse A.

Lemme 5.9 Soit N un sous-groupe propre définissable connexe et contenant A. Si w ∈ i^{G} normalise N, alors w ∈ B.

Preuve

Grâce au Théorème 4.10, il suffit de prouver que w ∈ N(B). Supposons w ∉ N(B). Alors w ∉ N(A), car sinon w normalise N^{∘}(A) = B, une contradiction à la définition de w. Ainsi A^{w} ≠ A, et ces deux groupes sont inclus dans N. En particulier d_{p}(N) ≥ d.

Nous montrons que p = ∞ et d_{p}(N) > d. Si p ≠ ∞, l’inclusion de A et de A^{w} dans N donne immédiatement une contradiction au Lemme 2.29. Ainsi p = ∞. Supposons d_{∞}(N) ≤ d. Comme A ≤ N, on a d_{∞}(N) = d, et A ≤ Up̃(N). D’après le Lemme 5.7, Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant A, et donc c’est aussi l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(N). Mais les mêmes arguments impliquent aussi que Up̃(B^{w}) est l’unique p̃- sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(N). Il vient donc Up̃(B) = Up̃(B^{w}), et en prenant les normalisateurs connexes, on obtient B = B^{w}, une contradiction. Ainsi d_{p}(N) > d.

Comme A est un p̃-sous-groupe définissable, on peut l’inclure dans un p̃-sous-groupe de Sylow V de N. D’après le Corollaire 3.15, il existe une involution w_{1}, conjuguée à w sous N, qui normalise V. Selon le Lemme 3.3 où A joue les deux rôles, Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant A. En particulier Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de G contenant V. Comme ce dernier est w_{1}-invariant, Up̃(B) aussi est w_{1}-invariant. Donc w_{1} ∈ N(Up̃(B)) ≤ N(B), et le Théorème 4.10 implique que w_{1} ∈ B.

D’après la Remarque 5.8, w_{1} inverse A. Mais d’après le Lemme 4.8, elle inverse également U_{∞}(N), dont le degré d’unipotence est > d. Maintenant le Lemme 3.1 implique [A, U_{∞}(N)] = 1, donc U_{∞}(N) ≤ C^{∘}(A) ≤ N^{∘}(A) = B, une contradiction car B admet le paramètre d’unipotence maximal p̃ alors que d_{∞}(N) > d. □

5.2 Le corps

Les groupes A et B/C_{B}(A) sont définissables abéliens infinis. C’est clair pour A. Maintenant d’une part A ≤ Z(F^{∘}(B)) donc F^{∘}(B) ≤ C^{∘}(A), et ainsi B/C_{B}(A) est abélien d’après le Fait 2.2, d’autre part A qui est inversé par i n’est pas central dans B, donc B/C_{B}(A) n’est pas trivial. Comme ce dernier groupe est connexe, il est bien infini. De plus A est B/C_{B}(A)-minimal car B-minimal, et l’action de B/C_{B}(A) sur A est définissable et sans noyau.

On applique le théorème du corps de Zilber, Fait 2.7, à A ⋊ B/C_{B}(A). Alors il existe un corps algébriquement clos K tel que

A ≃ K_{+}  et  B/C_{B}(A) ↪ K^{×},

où l’action de B/C_{B}(A) sur A correspond à la multiplication du corps.

Si p ≠ ∞, alors A est d’exposant p, et clairement K est de caractéristique p. Si p = ∞, alors A possède au moins une section définissable sans torsion, et donc K est, dans ce cas aussi, de caractéristique p.

Lemme 5.10 Pour w dans i^{G} \ N(B), T [w] ∩ C_{B}(A) = 1.

Preuve

Si T [w] ∩ C_{B}(A) contient un élément t ≠ 1, alors le Lemme 5.9 appliqué au groupe N = C^{∘}(t) donne w ∈ B. □

Lemme 5.11 Pour w dans i^{G}\N(B), T [w] est un groupe définissable et abélien.

Preuve

Si X = F^{∘}(B) ∩ (F^{∘}(B))^{w} ≠ 1, on peut appliquer le Lemme 5.9 au groupe N = N^{∘}(X), obtenant une contradiction. Donc (B∩B^{w})′ ≤ F^{∘}(B)∩(F^{∘}(B))^{w} = 1, et B ∩ B^{w} est abélien. En particulier les éléments de T [w] commutent deuxà-deux, et l’on peut appliquer la Remarque 4.26. □

Les involutions w varieront désormais dans I_{0}. Rappelons que cet ensemble est non-vide d’après le Lemme 4.28. Le lemme suivant donne une image très précise des sous-groupes étudiés, qui ressemblent de plus en plus à ceux de PSL_{2}.

Lemme 5.12 Pour w dans I_{0}, (F^{∘}(B))^{−_{i}} = A ≃ K_{+} et T [w] ≃ K^{×}, les deux isomorphismes étant définissables.

Preuve

Les Lemmes 5.10 et 5.11 prouvent que T [w] s’injecte dans B/C_{B}(A) qui luimême se plonge dans K^{×}, tout ceci définissablement. Comme A ⊆ (F^{∘}(B))^{−_{i}} et w ∈ I_{0}, on a

rg(K_{+}) = rg(A) ≤ rg ((F^{∘}(B))^{−_{i}}) ≤ rg(T [w]) ≤ rg(K^{×}),

et comme rg(K_{+}) = rg(K^{×}), ces inégalités sont toutes des égalités.

En particulier, A est générique dans (F^{∘}(B))^{−_{i}}. Or B = C^{∘}(i) · (F^{∘}(B))^{−_{i}} où la décomposition est univoque d’après le Lemme 4.3. Le groupe A⋊C^{∘}(i) est alors générique dans B. Comme B est connexe, B = A ⋊ C^{∘}(i). Nous montrons que A = (F^{∘}(B))^{−_{i}}. Soit f ∈ (F^{∘}(B))^{−_{i}}. Il existe a ∈ A et c ∈ C^{∘}(i) tels que f = ac. Alors f^{2} = ff^{−i} = (ac)(c^{−i}a^{−i}) = acc^{−1}a = a^{2} ∈ A, et comme F^{∘}(B) est sans 2-torsion d’après le Lemme 4.2, f ∈ A. Ainsi (F^{∘}(B))^{−_{i}} = A.

Enfin, par connexité de K^{×}, l’égalité de rangs vue plus haut implique aussi que T [w] s’injecte surjectivement dans K^{×}. □

Corollaire 5.13 Pour w dans I_{0}, T [w] contient un unique 2-tore maximal de B.

Lemme 5.14 Si w ∈ i^{G} \ N(B) inverse S^{∘}, alors w inverse C^{∘}(i).

Preuve

Nous prouvons que C^{∘}(i) est abélien. Sinon, nous posons C′ = (C^{∘}(i))′ ≠ 1 et N = N^{∘}(C′). Alors C′ est inclus dans F^{∘}(B) et w le normalise, donc le Lemme 5.9 s’applique à N, une contradiction qui prouve bien C′ = 1.

Soit maintenant X = C^{∘}(i, w). Si X ≠ 1, alors N = N^{∘}(X) contient S^{∘} par commutativité de C^{∘}(i). Mais comme C^{∘}(w) aussi est abélien, C^{∘}(w) ≤ N, et w ∈ C^{∘}(w) ≤ N. Ainsi S^{∘} · ⟨w⟩ est inclus dans un 2-sous-groupe de Sylow S_{1} de N. D’après le Fait 2.20, S_{1} est connexe, et comme le rang de Prüfer est 1, il vient S_{1} = S^{∘} et w ∈ S^{∘}, une contradiction.

Ainsi C^{∘}(i, w) = 1, donc dans son action sur C^{∘}(i), l’involution w n’a qu’un nombre fini de points fixes. D’après le Fait 2.11, C^{∘}(i) = [C^{∘}(i), w] = {[c, w], c ∈ C^{∘}(i)} car C^{∘}(i) est abélien. Maintenant tout élément de C^{∘}(i) de la forme [c, w] est inversé par w, et donc w inverse C^{∘}(i). □

Notation 5.15 Pour w dans I_{0}, on note j_{w} l’unique involution de T [w], donnée par le Corollaire 5.13.

Corollaire 5.16 Pour w dans I_{0}, T [w] = C^{∘}(j_{w}) est un conjugué de C^{∘}(i).

Preuve

D’après le Corollaire 5.13, T [w] contient un unique 2-tore maximal de B noté T. L’unique involution de T est notée j_{w} conformément à la Notation 5.15. Comme T [w] est connexe et abélien, T [w] ≤ C^{∘}(j_{w}).

Par conjugaison des 2-sous-groupes de Sylow, S^{∘} = T^{b} pour un b ∈ B, et C^{∘}(i) = C^{∘}(j_{w})^{b}. L’involution w^{b} est dans i^{G} \ N(B) et inverse T^{b} = S^{∘}, donc d’après le Lemme 5.14, w^{b} inverse C^{∘}(i) = C^{∘}(j_{w})^{b}. Donc w inverse C^{∘}(j_{w}), et C^{∘}(j_{w}) ≤ T [w]. □

Corollaire 5.17 B = A ⋊ C^{∘}(i) ≃ K_{+} ⋊ K^{×}.

Preuve

On a B = (F^{∘}(B))^{−_{i}} · C^{∘}(i) de façon bijective d’après le Lemme 4.3. Alors selon le Lemme 5.12, B = A · C^{∘}(i) = A ⋊ C^{∘}(i). Maintenant, à conjugaison près on peut supposer que C^{∘}(i) = T [w], qui agit sur A comme K^{×} sur K_{+}. □

Lemme 5.18 Pour g ∉ N(B), on a A^{g} ∩ N(B) = 1.

Preuve

Rappelons que A ≃ K_{+}. Nous distinguons deux cas, selon que la caractéristique de K est finie ou ∞.

On suppose p = ∞. Si g ∉ N(B) contredit l’affirmation, on a d’après le Fait 2.8 que A^{g} ≤ N(B), donc A^{g} ≤ N^{∘}(B) = B. Mais comme A^{g} est un p̃-groupe d’après le Lemme 5.5, il vient A^{g} ≤ Up̃(B). Or si l’on applique le Lemme 3.3 avec A^{g} dans les deux rôles, on trouve Up̃(B) ≤ Up̃(B^{g}), d’où Up̃(B) = Up̃(B^{g}), ce qui force g ∈ N(B), une contradiction.

On suppose maintenant p premier. Soit x ∈ (A^{g} ∩ N(B))^{#}, pour un g ∉ N(B). Alors x est d’ordre p. L’élément x normalise B, donc agit sur A qui est infini d’exposant p. Le groupe A · ⟨x⟩ est un p-groupe infini d’exposant fini. Comme x est d’ordre p et que A est localement fini, A · ⟨x⟩ est localement fini. D’après le Fait 2.19 (3), son centre est infini. En particulier C_{A}^{∘}(x) ≠ 1. D’autre part, le Lemme 2.29 implique que B^{g} est l’unique sous-groupe de Borel contenant A^{g}. Comme A^{g} ≤ C^{∘}(x), il vient C^{∘}(x) ≤ B^{g}. Ainsi A∩B^{g} est infini, une contradiction au Lemme 2.29. □

Lemme 5.19 rg(G) = rg(B) + rg(A).

Preuve

Le Lemme 5.18 prouve une inégalité, en considérant un produit A · B^{g}, pour un g ∉ N(B). Nous prouvons l’autre inégalité. Soit l’application définissable qui à w ∈ I_{0} associe l’involution j_{w} comme dans la Notation 5.15. On rappelle que w centralise j_{w}. La fibre au-dessus de j_{w} est donc formée d’involutions w_{1} qui appartiennent à C(j_{w}). D’après le Corollaire 5.16, un majorant du rang de la fibre est ainsi rg(C(j_{w})) = rg(T [w]) = rg(K^{×}) = rg(K_{+}) = rg(A) grâce au Lemme 5.12. Maintenant, comme l’ensemble d’arrivée est inclus dans I(B) = i^{B}, on a rg(I_{0}) ≤ rg(A) + rg(i^{B}), ce qui se réécrit rg(G) ≤ rg(A) + rg(B). □

5.3 Preuve du Théorème 5.1

Dans cette sous-section nous achevons la preuve du Théorème 5.1.

Soit w dans I_{0}, qui n’est pas vide d’après le Lemme 4.28. Après conjugaison dans B, on peut supposer que j_{w} = i. On prouve sans peine les points suivants.

Lemme 5.20 N(B) = B.

Preuve

L’application μ de A × N(B) → G qui à (a, n) associe awn est injective. En effet si awn = a′wn′ avec des notations naturelles, il vient (a^{′−1}a)^{w} = n′n^{−1} ∈ A^{w} ∩ N(B), qui d’après le Lemme 5.18 est trivial. L’image de μ est alors générique d’après le Lemme 5.19, et N(B) est donc de degré 1 par connexité de G. □

Lemme 5.21 G = B ⊔ AwB.

Preuve

Soit g ∉ B. On construit la même application que dans la preuve du Lemme 5.20, en remplaçant w par g. Alors AgB est encore un sous-ensemble générique de G, donc il rencontre AwB. Ainsi g ∈ AwB. □

Lemme 5.22 B ∩ B^{w} = C^{∘}(i) = T [w].

Preuve

L’inclusion C^{∘}(i) ≤ B ∩ B^{w} est claire, puisqu’on a supposé i = j_{w} ∈ C(w). D’autre part, les Lemmes 5.18 et 5.20 impliquent que A∩B^{w} = 1. Alors d’après le Corollaire 5.17, B ∩ B^{w} ≤ C^{∘}(i), prouvant la première égalité. La deuxième est dans le Corollaire 5.16. □

Preuve du Théorème 5.1 On considère désormais l’action de G sur l’espace G/B des cosets à gauche de B par multiplication à gauche.

Cette action est doublement transitive. Il n’y a en effet que deux formes de cosets, à savoir B d’une part, et ceux du type awB pour a ∈ A, d’après le Lemme 5.21. En outre il est clair que B = G_{B} agit transitivement sur les cosets de la forme awB.

G est un groupe de Zassenhaus (cf. §2.3). En effet soit un élément g ∈ G stabilisant à la fois B, wB, et un troisième coset awB avec a ∈ A^{#}. Alors g ∈ B ∩ B^{w} = C^{∘}(i) d’après le Lemme 5.22, mais aussi g ∈ B ∩ B^{wa^{−1}} = (B ∩ B^{w})^{a^{−1}} = C^{∘}(i)^{a^{−1}}. Or C^{∘}(i) ∩ (C^{∘}(i))^{a^{−1}} = 1 d’après le Corollaire 5.17, car nous avons pris a ∈ A^{#}. Ainsi g = 1.

Ce groupe de Zassenhaus est scindé. En effet A est un complément normal de T [w] = G_{B,wB} dans B = G_{B}.

Le stabilisateur de deux éléments contient une involution. Il suffit par double transitivité de le vérifier pour B et wB. Mais on a prouvé que G_{B,wB} = T [w], lequel contient i.

Le résultat d’identification (Fait 2.6) permet alors de conclure que

G ≃ PSL_{2}(L),

où L est un corps algébriquement clos de caractéristique différente de 2.

Dans G ≃ PSL_{2}(L), tous les sous-groupes de Borel sont isomorphes à L_{+} ⋊ L^{×}. C’est donc le cas du sous-groupe B. On en déduit que L et K sont (définissablement) isomorphes en tant que corps. Or nous avons remarqué au début de §5.2 que car(K) = p. Ceci achève la preuve du Théorème 5.1. □

6 Cas II : ¬ Cas I

Pour montrer le Théorème 1.1 il reste à prouver que l’hypothèse (I) du Théorème 5.1 est toujours vérifiée. C’est ce que nous faisons ici avec le théorème suivant.

Théorème 6.1 Soient G un groupe de rang de Morley fini simple connexe minimal de type impair et de rang de Prüfer 1, et i une involution torique de G. On suppose que C^{∘}(i) n’est pas un sous-groupe de Borel de G. Soit B un sousgroupe de Borel contenant C^{∘}(i). Si B admet p̃ pour paramètre d’unipotence maximal, alors Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≰ C^{∘}(i).

Rappelons que si C^{∘}(i) < B, alors B n’est pas abélien. En particulier ce n’est pas un bon tore, et d’après le Fait 2.36 il admet un paramètre p̃ = (p, d) avec d > 0, que nous supposons maximal comme dans la Notation 4.5.

D’autre part le Théorème 6.1 employé avec le Théorème 5.1 implique bien le résultat 1.1. Nous nous attachons donc désormais, et jusqu’à la fin de cet article, à prouver le Théorème 6.1.

On suppose en vue d’une contradiction que la conclusion du Théorème 6.1, ou de manière équivalente l’hypothèse (I) de la section précédente, est fausse, c’est-à-dire que l’on fait l’hypothèse

(II) : Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ C^{∘}(i).

La contradiction achevant cette longue section reposera sur un argument de “concentration” incompatible avec la simplicité du groupe ambiant. L’honnêteté exige de dire que si l’énoncé du Théorème 6.1 était prévu, cet argument qui le prouve est apparu en deus ex machina, et a permis presque miraculeusement de résoudre une configuration fort contournée. Jusqu’à §6.5 on utilise les techniques attendues (essentiellement l’unipotence de Burdges, sous toutes ses applications) de manière conforme à l’intuition, ensuite les phénomènes se compliquent.

Plus précisément, les ensembles T [w] seront peu-à-peu dessinés. En §6.1, on explicitera leur comportement vis-à-vis des involutions. Dans §6.2 et §6.3, on établira que ce sont des groupes abéliens. Après un détour par la théorie des intersections maximales en §6.4, on montrera en §6.5 qu’il s’agit de groupes tous de même rang qu’un sous-groupe K tel que B = K ⋊ C^{∘}(i). La Sous-section 6.6 est consacrée à prouver que ce sont des sous-groupes tous conjugués à K. On déduira enfin que les conjugués de K se trouvent génériquement dans B, ce qui est une contradiction à la simplicité de G. Quelques mots sont ajoutés en §6.5 pour justifier un argument improbable, en tout cas inhabituel.

De manière remarquable, la preuve s’interrompra dès §6.2 si 0 < p < ∞ grâce au théorème de Wagner. Il n’y a pas de conclusion modèle-théorique aussi soudaine en caractéristique ∞, et l’étude se poursuit donc. Par ailleurs il faut noter que notre preuve pourrait fonctionner à l’identique si 0 < p < ∞.

6.1 Retour sur l’involution de B

Nous suivons les notations et résultats de §4, avec désormais l’hypothèse supplémentaire (II).

Remarque 6.2 Le Corollaire 4.4 et l’hypothèse (II) impliquent que chaque involution de B centralise Up̃(Z(F^{∘}(B))).

Lemme 6.3 C(i) ≤ N(B) (noter l’absence de “^{∘}”).

Preuve

Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ Up̃(C^{∘}(i)) selon l’hypothèse (II). Si p < ∞, alors d’après le Lemme 2.29, B est l’unique sous-groupe de Borel contenant C^{∘}(i). En particulier C(i) ≤ N(B). D’autre part si p = ∞, alors d’après le Corollaire 3.6 appliqué avec A = Up̃(Z(F^{∘}(B))) et U = Up̃(C^{∘}(i)), il vient N(Up̃(C^{∘}(i))) ≤ N(B). Or il est clair que C(i) ≤ N(Up̃(C^{∘}(i))), ce qui achève dans ce cas aussi la preuve. □

On peut alors restreindre la structure du 2-sous-groupe de Sylow S, défini dans la Notation 4.1, comme suit.

Corollaire 6.4 S ∩ i^{G} = {i}.

Preuve

Immédiat d’après le Lemme 6.3, le Théorème 4.10, et le fait que les 2-sous-groupes de Sylow de B ne possèdent qu’une involution. □

Corollaire 6.5 1. C(i) est connexe et inclus dans B.

2. S ≃ ℤ_{2^{∞}} est connexe.

3. Toutes les involutions de G sont conjuguées.

4. N(B) = B.

Preuve

Le premier point vient du Corollaire 6.4 et du “Théorème Z^{∗}”, Fait 2.14. Alors S ≤ C(i) = C^{∘}(i) résoluble, et S est donc connexe grâce au Fait 2.20. Il est maintenant évident que les involutions de G sont toutes conjuguées d’après le Fait 2.12. Le dernier point découle du premier par un argument de Frattini dans N(B). □

Le Corollaire 6.5 n’est pas nécessaire à notre preuve du Théorème 6.1. Nous travaillerons essentiellement avec les involutions toriques, c’est-à-dire les conjuguées de i. A chaque fois que nous montrerons qu’un sous-groupe est sans involution, ce sera un sous-groupe connexe, ce qui nous ramène bien aux conjuguée de i.

En conclusion, le Corollaire 6.5 donne une idée nette des involutions, mais en faisant intervenir un outil sans rapport avec l’idée directrice. Pour en faire l’économie, comme c’était le cas dans les premières versions de ce travail, il suffirait de choisir systématiquement les involutions de i^{G} dès le corollaire suivant.

Corollaire 6.6 Si x ∈ G^{#} est centralisé par une involution j et inversé par une autre involution k, alors x est une involution.

Preuve

L’involution k normalise C(x) qui contient j. D’après le Fait 3.12, k et une C(x)-conjuguée j′ de j sont dans un même 2-sous-groupe de Sylow de G. Le Corollaire 6.5 impose alors j′ = k, et donc x = x^{j} = x^{j′} = x^{k} = x^{−1}. □

Lemme 6.7 Pour tout g ∈ G \ N(B), B ∩ B^{g} est sans involution.

Preuve

Si j ∈ I(B ∩B^{g}), alors Up̃(Z(F^{∘}(B))) et son conjugué par g sont inclus dans Up̃(C^{∘}(j)) d’après la Remarque 6.2. Si p < ∞, on a immédiatement g ∈ N(B) grâce au Lemme 2.29. Maintenant si p = ∞, le Lemme 3.3 avec A = U = Up̃(Z(F^{∘}(B))) implique que Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(C^{∘}(j)). Le même argument impose Up̃(B) = Up̃(B)^{g}, et donc g ∈ N(B). □

Le Lemme 6.7, avec l’égalité N(B) = B du Corollaire 6.5, est la propriété pour B d’être fortement inclus dans G. Dans [BCJ07] il est montré qu’un groupe simple connexe minimal de rang de Morley fini et de type impair possédant un sous-groupe fortement inclus est de 2-rang de Prüfer 1. Pour nous cette conclusion est une hypothèse.

6.2 Etude de T [w]

L’ensemble I_{0} de la Notation 4.27 est non-vide d’après le Lemme 4.28. Nous fixons une involution w ∈ I_{0}. Le Corollaire 6.6 a une conséquence importante sur l’ensemble T [w] de la Notation 4.25.

Corollaire 6.8 T [w] ∩ (C(i))^{G} = 1.

Preuve

T [w] est inversé par w et inclus dans B ∩B^{w} qui est sans involution. D’après le Corollaire 6.6, T [w] est alors disjoint des C(i^{g}) pour tout g ∈ G. □

Lemme 6.9 Pour tout t ∈ T [w]^{#}, la clôture définissable d(t) est sans torsion.

Preuve Soit sinon t d’ordre premier q dans T [w]. D’après le Corollaire 6.8, q > 2. B est sans q-unipotence. En effet si U_{q}(B) ≠ 1, le sous-groupe U_{q}(B) · ⟨t⟩

est un q-groupe nilpotent-par-fini infini. Selon le Fait 2.19, C_{U_{q}(B)}^{∘}(t) est nontrivial, or il est contenu dans U_{q}(C^{∘}(t)). De même, 1 ≠ C_{U_{q}(B^{w})}^{∘}(t) ≤ U_{q}(C^{∘}(t)). Avec le Lemme 2.29, il vient alors U_{q}(C^{∘}(t)) ≤ B ∩ B^{w}, et donc B = B^{w}, une contradiction. B est bien sans q-unipotence.

L’élément t est inclus dans un q-sous-groupe de Sylow de B, disons Q. Le Fait 2.19, en l’absence de q-unipotence, implique alors que Q est un q-tore, qui centralise un 2-tore de B selon le Corollaire 2.24. En particulier l’élément t centralise une involution torique, une contradiction au Corollaire 6.8. □

Lemme 6.10 p = ∞.

Preuve

Supposons p ≠ ∞. Soit A un sous-groupe B-minimal de U_{p}(Z(F^{∘}(B))). Sous notre hypothèse, A est un p-groupe abélien élémentaire.

Nous considérons alors l’action de B/C_{B}(A) sur A. Le quotient est infini. En effet sinon, A est central dans B, et A ≤ C^{∘}(T [w]). Ce dernier sous-groupe est w-invariant, donc A et A^{w} sont inclus dans un même sous-groupe définissable strict de G. Grâce au Lemme 2.29, on a la contradiction habituelle B = B^{w}. Ainsi le quotient B/C_{B}(A) est-il infini.

Comme en §5.2, le “théorème du corps”, Fait 2.7, s’applique. La vérification des hypothèses est immédiate comme en §5.2. Il existe donc un corps algébriquement clos K tel que

A ≃ K_{+}  et  B/C_{B}(A) ↪ K^{×},

où les morphismes sont définissables. La caractéristique de K est le nombre premier p.

D’autre part, d’après le Fait 2.27, B ∩ B^{w} est abélien. En particulier T [w] = d(T [w]) est un groupe abélien définissable d’après la Remarque 4.26.

Nous prouvons que T [w] se plonge définissablement dans K^{×}. Pour cela nous montrons T [w] ∩ C_{B}(A) = 1. Soit en effet t ∈ C_{T [w]}(A). Si t ≠ 1, alors A, A^{w} ≤ C^{∘}(t), et l’on arrive grâce au Lemme 2.29 à B = B^{w}, une contradiction. Ainsi T [w] ∩ C(A) = 1, et donc T [w] ↪ B/C_{B}(A) ↪ K^{×}, où les injections sont définissables.

Pourtant si t ∈ T [w]^{#}, le théorème de Wagner, Fait 2.9, impose que la clôture définissable d(t) ≤ T [w] ne peut pas être sans torsion, une contradiction avec le Lemme 6.9. □

Le Lemme 6.10 précise de manière un peu inattendue la caractéristique, et introduit une rupture remarquable de la symétrie entre les configurations p < ∞ et p = ∞. Le lecteur soucieux de préserver ce parallélisme, ou désirant faire l’économie d’un résultat de théorie des modèles, peut cependant poursuivre comme si de rien n’était cet article, en envisageant l’éventualité p < ∞ jusqu’à après la Proposition 6.25. La théorie des intersections maximales de Burdges impliquerait alors que B est sans q-unipotence pour chaque nombre premier q, et en particulier que p = ∞. Il suffit pour arriver jusque là sans le Lemme 6.10 de faire les ajustements nécessaires au cas p < ∞, c’est-à-dire essentiellement utiliser le Lemme 2.29 partout où apparaît le Lemme 3.3 ou le Corollaire 3.6.

En caractéristique ∞, la preuve continue sans pouvoir recourir à un résultat aussi modèle-théorique. Le paramètre d’unipotence p̃ défini dans la Notation 4.5 est de la forme (∞, d), avec d > 0.

Fermant cette parenthèse, on revient au Lemme 6.9, et l’on en déduit avec le Fait 2.17 que la clôture définissable d(T [w]) est telle que

T [w] ⊆ d(T [w])^{∘} et d(T [w]) est un groupe connexe.

On va maintenant “éloigner autant que possible” T [w] de F^{∘}(B). Commençons par un argument où l’hypothèse w ∈ I_{0}, à savoir rg(T [w]) ≥ rg((F^{∘}(B))^{−_{i}}), est cruciale.

Lemme 6.11 Soit w ∈ I_{0}. Alors aucune involution de B n’inverse T [w].

Preuve

Soit j une involution de B inversant T [w]. Si t ∈ T [w]^{#}, alors j inverse la clôture définissable d(t). Avec le Fait 2.2 et les Lemmes 4.3 et 6.9, il vient d(t) ⊆ (F^{∘}(B))^{−_{j}}. Ceci prouve que l’ensemble T [w] est inclus dans (F^{∘}(B))^{−_{j}}. En particulier, d(T [w]) est inclus dans F^{∘}(B), et donc il est nilpotent. C’est ainsi un sous-groupe définissable connexe nilpotent inclus dans les deux sous-groupe de Borel distincts B et B^{w}. En particulier, d’après le Corollaire 2.56, d(T [w]) est abélien. Alors grâce à la Remarque 4.26, T [w] = d(T [w]) est un groupe abélien définissable.

D’autre part, d’après la définition de I_{0} auquel w appartient, T [w] est un sous-groupe définissable générique de l’ensemble définissable (F^{∘}(B))^{−_{j}}. Comme ce dernier est de degré 1, T [w] est nécessairement l’unique sous-groupe définissable générique de (F^{∘}(B))^{−_{j}}. En particulier, C^{∘}(j) le normalise.

Mais alors le groupe T [w] ⋊ C^{∘}(j) est générique dans B, et donc B = T [w] ⋊ C^{∘}(j). En particulier B = N^{∘}(T [w]) et w normalise B, une contradiction. □

Corollaire 6.12 Soit w ∈ I_{0}. Alors T [w] ⊈ F^{∘}(B).

Preuve

Supposons que T [w] ⊆ F^{∘}(B). Alors X = C^{∘}(T [w]) contient Up̃(Z(F^{∘}(B))), qui est inclus dans un p̃-sous-groupe de Sylow V de X. D’après le Corollaire 3.15, une involution w_{1} conjuguée sous X à w normalise V. Maintenant le Lemme 3.3 avec A = U = Up̃(Z(F^{∘}(B))) implique que Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de G contenant V. Ce dernier étant w_{1}-invariant, il vient Up̃(B) = Up̃(B)^{w_{1}}. Passant aux normalisateurs connexes et grâce au Théorème 4.10, on a w_{1} ∈ B. Or w_{1}, tout comme w, inverse T [w]. Ceci contredit le lemme 6.11. □

On renforce ce dernier résultat.

Lemme 6.13 Soit w ∈ I_{0}. Alors il existe t dans T [w]^{#} dont la clôture définissable d(t) ne centralise pas Up̃(Z(F^{∘}(B))).

Preuve

Supposons au contraire que d(t) centralise Up̃(Z(F^{∘}(B))) pour tout t ∈ T [w]^{#}. Alors Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ C^{∘}(d(t)). Soit V un p̃-sous-groupe de Sylow de C^{∘}(d(t)) contenant Up̃(Z(F^{∘}(B))). Comme C^{∘}(d(t)) est w-invariant, d’après le Corollaire 3.15 il existe une involution w_{1} conjuguée sous C^{∘}(d(t)) à w et qui normalise V. Nous argumentons alors comme dans la preuve du Corollaire 6.12. Le Lemme 3.3 avec A = U = Up̃(Z(F^{∘}(B))) implique que Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de G contenant V. Ce dernier étant w_{1}-invariant, il vient Up̃(B) = Up̃(B)^{w_{1}}. Passant aux normalisateurs connexes et grâce au Théorème 4.10, on a w_{1} ∈ B.

Tout comme w, l’involution w_{1} de B inverse d(t). Donc d(t) ≤ F^{∘}(B) grâce au Fait 2.2 et au Lemme 6.9. Cela étant vrai pour tout t ∈ T [w]^{#}, nous avons montré T [w] ⊆ F^{∘}(B), une contradiction avec le Corollaire 6.12. □

Corollaire 6.14 Soit w ∈ I_{0}. Alors il existe un entier s ≥ 1 et un (∞, s)- sous-groupe abélien de d(T [w]) qui est inclus dans T [w] et qui ne centralise pas Up̃(Z(F^{∘}(B))).

Preuve

La clôture définissable d(t) du Lemme 6.13 est un groupe définissable abélien non-trivial et sans torsion d’après le Lemme 6.9. D’après le Fait 2.17 et par choix de t, il en va de même du quotient \overline{d(t)} dans la projection modulo C_{d(t)}(Up̃(Z(F^{∘}(B)))). Selon le Fait 2.36, \overline{d(t)} admet un paramètre d’unipotence qui est nécessairement de la forme (∞, s) avec s ≥ 1. Maintenant le Fait 2.39 (2) implique qu’il existe un (∞, s)-sous-groupe définissable de d(t) qui n’est pas nul dans la projection, c’est-à-dire qui ne centralise pas Up̃(Z(F^{∘}(B))). Ce sous-groupe convient. □

Notation 6.15 Soient, comme dans le Corollaire 6.14, s un entier ≥ 1 et T_{s} un (∞, s)-groupe abélien inclus dans T [w]. (Ainsi a-t-on T_{s} ≰ C^{∘}(Up̃(Z(F (B))))).

Faisons aussitôt trois remarques à garder à l’esprit.

Remarque 6.16 1. T_{s} ≰ F^{∘}(B), par définition.

2. 1 ≤ s < d_{∞}(B), car sinon T_{s} ≤ F^{∘}(B) avec le Fait 2.45.

3. Aucune involution de B n’inverse T_{s} (procéder comme au début de la preuve du Lemme 6.11).

6.3 Commutativité de B ∩ B^{w}

Un grand pas vers la compréhension de T [w] se fait dans la proposition suivante.

Proposition 6.17 Soit w ∈ I_{0}. Alors B ∩ B^{w} est abélien.

Avant la preuve de cette importante proposition, en voici un corollaire très instructif sur T [w], qui était jusqu’ici bien mystérieux.

Corollaire 6.18 Soit w ∈ I_{0}. Alors T [w] est un groupe abélien définissable et connexe.

Preuve

Une fois établi dans la Proposition 6.17 que B ∩ B^{w} est abélien, il suffit d’appliquer la Remarque 4.26 et le point mentionné au-dessus du Lemme 6.11. □

Nous prouvons désormais la Proposition 6.17. Soit w ∈ I_{0} et supposons (B ∩ B^{w})′ ≠ 1. Soient X = F^{∘}(B) ∩ F^{∘}(B^{w}) ≠ 1 et N = N^{∘}(X).

Lemme 6.19 d_{∞}(N) > d (cf. Notation 4.5).

Preuve

Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ N. Si l’on a l’égalité d_{∞}(N) = d, alors Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ Up̃(N) ≤ F^{∘}(N) d’après le Fait 2.45. Pourtant d’après le Lemme 3.3, où Up̃(Z(F^{∘}(B))) joue les deux rôles, Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(Z(F^{∘}(B))). En particulier Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(N). Comme ce dernier est w-invariant, Up̃(B) et B le sont aussi, et le Théorème 4.10 implique w ∈ B, une contradiction. □

Corollaire 6.20 Z(F^{∘}(B)) ≤ C(i).

Preuve

Sinon le groupe Y = (Z(F^{∘}(B)))^{−_{i}} ≠ 1 est normal dans B et inversé par chaque involution de B d’après le Lemme 4.3.

Soit maintenant V un p̃-sous-groupe de Sylow de N contenant Up̃(Z(F^{∘}(B))). Comme w normalise N, d’après le Corollaire 3.15, il existe une involution w_{1} conjuguée à w sous N et qui normalise V. Mais le Lemme 3.3 où Up̃(Z(F^{∘}(B))) joue les deux rôles, implique que Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G qui contient Up̃(Z(F^{∘}(B))), et en particulier l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G qui contient V. Comme ce dernier est w_{1}-invariant, il vient w_{1} ∈ N(Up̃(B)) = N(B), et le Théorème 4.10 implique w_{1} ∈ B.

D’après les Lemmes 4.8 et 6.19, l’involution w_{1} inverse U_{∞}(N). Mais elle inverse aussi Y ≤ N. Avec le Lemme 3.1, il vient U_{∞}(N) ≤ C^{∘}(Y) ≤ B, une contradiction au Lemme 6.19. □

Lemme 6.21 X est p̃-homogène.

Preuve

D’après le Corollaire 6.20 et le Lemme 4.3, F^{∘}(B) n’est pas abélien. Selon le Fait 2.28, F (B) ∩ F (B^{w}) est sans torsion. En particulier X = F (B) ∩ F (B^{w}) = (F (B) ∩ F (B^{w}))^{∘} est sans torsion. Il est q̃-homogène pour un certain paramètre d’unipotence q̃ selon le Lemme 3.8.

Une conséquence du Lemme 6.19 est que N ≰ B. En particulier, (N ∩ B)^{∘} = N_{B}^{∘}(X) est inclus dans deux sous-groupes de Borel distincts. D’après le Fait 2.54, son dérivé Y = (N_{B}^{∘}(X))′ est homogène. Y n’est pas trivial car Y ≥ (B ∩ B^{w})′ ≠ 1. Soit r̃ = (∞, ℓ) l’unique paramètre d’unipotence de Y.

Maintenant K = [T_{s}, Up̃(Z(F^{∘}(B)))] est un p̃-groupe p̃-homogène d’après le Fait 2.48, et non-trivial par choix de T_{s}, Notation 6.15. Comme T_{s} ≤ B ∩ B^{w} ≤ B ∩ N et Up̃(Z(F^{∘}(B))) ≤ C_{B}(X) ≤ B ∩ N, on a K ≤ (N_{B}^{∘}(X))′ = Y. En particulier p̃ = r̃ et Y est p̃-homogène.

Comme X est sans torsion, (B ∩ B^{w})′ supposé non-trivial est un groupe connexe. Il est inclus dans X et dans Y qui sont chacun homogène, et donc il vient q̃ = r̃ = p̃. Ainsi X est p̃-homogène. □

Preuve de la Proposition 6.17

D’après le Lemme 6.21 et la décomposition centrale du Fait 2.40, F_{s}(B) ≤ C^{∘}(X) ≤ N. Comme N ≰ B d’après le Lemme 6.19, le Corollaire 2.56 implique que F_{s}(B) est abélien, et donc central dans F^{∘}(B) toujours d’après le Fait 2.40. Le Corollaire 6.20 implique alors que i centralise F_{s}(B), lequel contient U_{(∞,s)}(B′).

Selon le Lemme 3.2, i centralise alors un (∞, s)-sous-groupe de Sylow de B. Comme ces sous-groupes sont conjugués dans B et que T_{s} est inclus dans l’un d’eux, il vient qu’une B-conjuguée de i centralise T_{s}, ce qui contredit le Corollaire 6.8. □

Le Corollaire 6.18 est maintenant lui aussi démontré.

6.4 Une intersection non abélienne de paire maximale

Nous allons à présent utiliser la théorie des intersections de paires maximales de sous-groupes de Borel dans les groupes simples connexes minimaux. L’introduction d’une telle paire maximale dans ce type de configuration a été pour la première fois effectuée dans [BCJ07] sous l’impulsion de Gregory Cherlin.

La première étape consiste à nous ramener au cas des intersections nonabéliennes, ce que nous faisons ici, pour utiliser l’artillerie des §2.9 et 3.3. Ceci nous permettra de progresser dans l’étude de B, ce que nous ferons en §6.5.

Depuis le Lemme 6.10, nous savons que p = ∞. Rappelons de la Proposition 6.17 et du Corollaire 6.18 que si w ∈ I_{0}, alors B ∩ B^{w} est abélien, et T [w] en est un sous-groupe définissable connexe. Fixons comme dans la Notation 6.15 un (∞, s)-sous-groupe T_{s} de T [w] qui ne centralise pas Up̃(Z(F^{∘}(B))). Ces rappels énoncés, nous reprenons.

Lemme 6.22 Il existe un sous-groupe de Borel distinct de B et contenant C^{∘}(T_{s}).

Preuve

C^{∘}(T_{s}) est inclus dans un sous-groupe de Borel. Si c’est B, on conjugue par w, et B^{w} ≠ B convient. □

Notation 6.23 Soit B_{1} ≠ B un sous-groupe de Borel contenant C_{B}^{∘}(T_{s}), et maximisant H = (B ∩ B_{1})^{∘} parmi de telles intersections.

Ecrivons pour fixer les idées que

T_{s} ≤ T [w] ≤ (B ∩ B^{w})^{∘} ≤ C_{B}^{∘}(T_{s}) ≤ H.

Nous montrerons que la paire (B, B_{1}) est maximale, à l’aide du Fait 2.53. Pour ce faire, nous allons prouver la non-abélianité de H, ce qui est notre première grande étape, dans la Proposition 6.25 infra.

Lemme 6.24 Soit B_{1} comme dans la Notation 6.23. Alors F^{∘}(B_{1}) est sans involution.

Preuve

Si F^{∘}(B_{1}) possède une involution k, alors k est torique dans F^{∘}(B_{1}) et centrale dans B_{1}. En particulier le centralisateur de k ∈ i^{G} est un sous-groupe de Borel, une contradiction. □

Proposition 6.25 H n’est pas abélien.

Preuve

Supposons H abélien. Il vient H = C_{B}^{∘}(T_{s}). Comme H est inclus dans C^{∘}(T_{s}), il est 2^{⊥}. Selon le Fait 2.23, H n’est pas un sous-groupe de Carter de B, et H < N_{B}^{∘}(H). Si B_{2} est un sous-groupe de Borel distinct de B et contenant N^{∘}(H), alors C_{B}^{∘}(T_{s}) = H < N_{B}^{∘}(H) ≤ (B ∩ B_{2})^{∘}, une contradiction à la maximalité de H. Ainsi B est l’unique sous-groupe de Borel contenant N^{∘}(H). En particulier N_{C^{∘}(T_{s})}^{∘}(H) ≤ C_{B}^{∘}(T_{s}) = H, et H est un sous-groupe de Carter de C^{∘}(T_{s}), lequel est w-invariant.

D’après le Corollaire 3.14, il existe une involution w_{1} conjuguée à w sous C^{∘}(T_{s}) et qui normalise H. Puisque B est le seul sous-groupe de Borel contenant N^{∘}(H), il vient w_{1} ∈ N(B), et donc w_{1} ∈ B d’après le Théorème 4.10. L’involution w_{1}, tout comme w, inverse T_{s}, une contradiction à la Remarque 6.16 (3). □

La paire de sous-groupes de Borel (B, B_{1}) est maximale. En effet soit B_{2} un sous-groupe de Borel distinct de B, et tel que (B ∩ B_{2}) ≥ H. Alors B_{2} ≥ H ≥ C_{B}^{∘}(T_{s}), donc B_{2} est comme dans la Notation 6.23. D’après la maximalité de H au sens de la Notation 6.23, on a (B ∩ B_{2})^{∘} = H. Ainsi H est maximal au sens du Fait 2.53 (3), ce qui implique que la paire (B, B_{1}) est maximale au sens de §2.9.

Nous voici donc sous les hypothèses typiques des §2.9 et 3.3. Sans perdre de vue que notre but principal est l’étude du sous-groupe de Borel B, commençons par déterminer d_{∞}(H′), degré d’unipotence du dérivé de l’intersection H.

Lemme 6.26 d_{∞}(H′) = s.

Preuve

Sinon, d’après le Fait 2.54, U_{(∞,s)}(H′) = 1. En particulier, le Fait 2.52 impose que les (∞, s)-sous-groupes de Sylow de H sont de la forme U_{(∞,s)}(Q), pour Q un sous-groupe de Carter de H. Ainsi T_{s} est inclus dans un sous-groupe de Carter Q de H.

Par ailleurs Q n’est pas sous-groupe de Carter de B. En effet s’il l’est, il contient un 2-sous-groupe de Sylow S_{1} de B d’après le Corollaire 2.23. Ce 2sous-groupe de Sylow est connexe d’après le Fait 2.20, et torique en l’absence de 2-unipotence. Mais comme Q est nilpotent, le 2-tore S_{1} est central dans Q. En particulier T_{s} commute à S_{1}, une contradiction au Corollaire 6.8. Donc Q n’est pas un sous-groupe de Carter de B. En particulier, N_{B}^{∘}(Q) > Q.

Comme dans le Lemme 3.9, on note r′ = d_{∞}(H) et Q_{r′} = U_{(∞,r′)}(Q). Ce sous-groupe est non-trivial et central dans H d’après le Lemme 3.9. Si N_{B}^{∘}(Q_{r′}) = H, alors comme N^{∘}(Q) ≤ N^{∘}(Q_{r′}), il vient N_{B}^{∘}(Q) ≤ H. Or N_{H}^{∘}(Q) = Q, donc Q est un sous-groupe de Carter de B, une contradiction. Ainsi N_{B}^{∘}(Q_{r′}) > H. L’examen de la trichotomie du Lemme 3.9 ne laisse alors subsister que le cas où B est l’unique sous-groupe de Borel contenant N^{∘}(Q_{r′}). En particulier N(Q) ≤ N(B).

Il vient N_{C(T_{s})}^{∘}(Q) ≤ C_{B}^{∘}(T_{s}) ≤ H par choix de H, donc Q est un sousgroupe de Carter de C^{∘}(T_{s}). D’après le Corollaire 3.14, il existe une involution w_{1} conjuguée à w sous C^{∘}(T_{s}) et qui normalise Q. Alors w_{1} ∈ N(Q) ≤ N(B), donc w_{1} ∈ B d’après le Théorème 4.10. L’involution w_{1}, conjuguée à w par C^{∘}(T_{s}), inverse T_{s}, une contradiction à la Remarque 6.16 (3). □

La théorie générale de §2.9 nous apprend l’“asymétrie” de la configuration, à savoir l’inégalité d_{∞}(B) ≠ d_{∞}(B_{1}). Nous précisons par le lemme suivant.

Lemme 6.27 d > d_{∞}(B_{1}) (cf. Notation 4.5).

Preuve

Supposons au contraire d_{∞}(B_{1}) > d_{∞}(B). Alors pour chaque ℓ ≠ d_{∞}(H′), on a F_{ℓ}(B) ≤ Z(H) d’après le Fait 2.55 (4). Mais grâce au Lemme 6.26 et à la Remarque 6.16 (2), il vient d_{∞}(H′) = s < d_{∞}(B) = d. Ainsi Up̃(B) = F_{d}(B) ≤ Z(H) ≤ C(T_{s}), contre la Notation 6.15. □

Terminons l’étude de la configuration décrite dans le Fait 2.55 par celle des sous-groupes de Carter. Soit Q un sous-groupe de Carter de H. D’après le Fait 2.55 (5) et au vu du Lemme 6.27, Q est un sous-groupe de Carter de B. Mais un sous-groupe de Carter de B en contient un 2-sous-groupe de Sylow d’après le Corollaire 2.23. A B-conjugaison près, on peut donc supposer que S^{∘} ≤ Q ≤ H.

Notation 6.28 Soit Q un sous-groupe de Carter de H contenant S^{∘}.

Lemme 6.29 Q est un sous-groupe de Carter de G.

Preuve

{i} = I(Q) est caractéristique dans Q, donc N_{G}^{∘}(Q) ≤ C^{∘}(i) ≤ B. Ainsi N_{G}^{∘}(Q) ≤ N_{B}^{∘}(Q) = Q. □

6.5 Conséquences dans B

Nous tirons maintenant parti de l’étude menée en §6.4 de la paire maximale d’intersection non-abélienne (B, B_{1}) pour préciser finement la structure de B. Commençons par donner un résumé des informations les plus pertinentes que nous venons d’obtenir.

B_{1} est un sous-groupe de Borel distinct de B et contenant C_{B}^{∘}(T_{s}). H = (B ∩ B_{1})^{∘} est l’intersection d’une paire maximale. H n’est pas abélien d’après la Proposition 6.25. d_{∞}(H′) = s d’après le Lemme 6.26. d_{∞}(B) > d_{∞}(B_{1}) d’après le Lemme 6.27. i ∈ S^{∘} ≤ H d’après la Notation 6.28.

Lemme 6.30 B est l’unique sous-groupe de Borel contenant C^{∘}(F_{s}(B)).

Preuve C’est le Fait 2.55 (6). □

Notation 6.31 On note V = F_{s}(H) = U_{(∞,s)}(H). (cf. Fait 2.55 (3).)

Lemme 6.32 V est un (∞, s)-sous-groupe de Sylow abélien de B. Il est sans involution. En outre T [w] ≤ V ≤ F^{∘}(B_{1}) et N^{∘}(V) ≤ B_{1}.

Preuve

Le Fait 2.55 (3) implique N^{∘}(V) ≤ B_{1}. En particulier, si W est un (∞, s)- sous-groupe de Sylow de B contenant V, alors N_{W}^{∘} (V) ≤ H, et U_{(∞,s)}(N_{W}^{∘} (V)) = V. Au vu de la condition de normalisateur 2.49, cela impose que V = W , et V est donc un (∞, s)-sous-groupe de Sylow de B.

Le groupe V est définissable, connexe, nilpotent, et inclus dans les deux sous-groupes de Borel distincts B et B_{1}. Le Corollaire 2.56 implique alors qu’il est abélien. V ≤ F^{∘}(B_{1}) d’après le Fait 2.55 (3). Cela implique au vu du Lemme 6.24 que V est sans involution.

Nous montrons à présent que T [w] est un (∞, s)-sous-groupe de H. Pour cela, nous montrons même que T [w] est (∞, s)-homogène. Ceci achèvera la preuve, puisqu’il en découlera T [w] ≤ V par définition de V. Supposons que U_{(∞,ℓ)}(T [w]) ≠ 1 pour un ℓ ≠ s. Alors les Faits 2.54 et 2.52 font que U_{(∞,ℓ)}(T [w]) est inclus dans un sous-groupe de Carter de H. Or chaque sous-groupe de Carter de H, comme Q défini dans la Notation 6.28, contient dans son centre un 2-sous-groupe de Sylow de B. Un élément non trivial de T [w] commute donc avec une involution torique, ce qui contredit le Corollaire 6.8. Ainsi U_{(∞,ℓ)}(T [w]) = 1 pour chaque ℓ ≠ s. Comme en outre T [w] est sans torsion d’après le Lemme 6.9 et le Corollaire 6.18, on en déduit que T [w] est un (∞, s)-groupe (∞, s)-homogène. Ceci termine la preuve du lemme. □

Notation 6.33 Soit K = V^{−_{i}}.

Bien noter qu’a priori, cette définition dépend de w, de B_{1}, et de i dans H. Le groupe K permet enfin de scinder B.

Lemme 6.34 K = (F^{∘}(B))^{−_{i}} ne dépend que de B, et B = K⋊C^{∘}(i). En outre, rg(K) = rg(T [w]) et K est un (∞, s)-groupe. Enfin, B est l’unique sous-groupe de Borel de G contenant C^{∘}(K).

Preuve

L’inclusion K ⊆ (F^{∘}(B))^{−_{i}} est claire avec le Fait 2.2, puisque K ≤ V qui est sans involution d’après le Lemme 6.32.

Maintenant V étant 2^{⊥}, on a V = C_{V} (i)×K. Or C_{V} (i)∩T [w] = 1 d’après le Corollaire 6.8. D’autre part C_{V} (i) et T [w] sont des sous-groupes définissables de V. Il vient rg(T [w]) ≤ rg(V) − rg(C_{V} (i)) = rg(K) ≤ rg((F^{∘}(B))^{−_{i}}) ≤ rg(T [w]), la dernière inégalité provenant de l’hypothèse w ∈ I_{0}. Ainsi rg(K) = rg(T [w]) = rg((F^{∘}(B))^{−_{i}}).

A présent nous employons le même argument que pour prouver le Lemme 6.11. Le groupe K est l’unique sous-groupe définissable générique de l’ensemble (F^{∘}(B))^{−_{i}} qui est de degré 1. En particulier, K est normalisé par C^{∘}(i), et donc K ⋊ C^{∘}(i) est un sous-groupe générique de B qui est connexe. On a ainsi B = K ⋊ C^{∘}(i). Comme F^{∘}(B) est 2^{⊥}, on raisonne comme dans le Lemme 5.12 pour prouver que K = (F^{∘}(B))^{−_{i}}. Mais cela prouve aussi que K ne dépend que de B.

Pour conclure, K = [V, i] ≤ H′ est un (∞, s)-sous-groupe de V au vu du Fait 2.54. En outre K ≤ H′ ≤ F (B) ∩ F (B_{1}) = F_{s}(B) d’après le Fait 2.55 (6). En particulier, C^{∘}(F_{s}(B)) ≤ C^{∘}(K). Le Lemme 6.30 implique alors que B est l’unique sous-groupe de Borel contenant C^{∘}(K). Tous les points sont prouvés. □

Remarque 6.35 K et T [w] partagent ainsi certaines propriétés. On va montrer dans le Lemme 6.39 ci-dessous qu’ils sont en fait conjugués dans G.

Corollaire 6.36 B_{1} est sans q-unipotence pour chaque nombre premier q.

Preuve

K ≤ V ≤ F^{∘}(B_{1}) d’après le Lemme 6.32. Si U_{q}(B_{1}) ≠ 1, alors U_{q}(B_{1}) ≤ C^{∘}(K) ≤ B d’après le Lemme 6.34. En particulier, U_{q}(B_{1}) ≤ B ∩ B_{1}, et le Lemme 2.29 impose B = B_{1}, une contradiction.

Lemme 6.37 V = C_{F_{s}(B_{1})}^{∘}(T [w]).

Preuve

Puisque T [w] ≤ V ≤ F_{s}(B_{1}) et que V est abélien, l’inclusion V ≤ C_{F_{s}(B_{1})}^{∘}(T [w]) est claire.

Supposons-la stricte. Soit alors z ∈ C_{F_{s}(B_{1})}^{∘}(T [w]) \ V. Comme i ∈ B_{1} normalise F_{s}(B_{1}) et que F_{s}(B_{1}) est 2^{⊥} d’après le Lemme 6.24, le Fait 2.10 donne une décomposition univoque F_{s}(B_{1}) = C_{F_{s}(B_{1})}(i)·(F_{s}(B_{1}))^{−_{i}}, chaque ensemble dans ce produit étant de degré 1 par connexité de F_{s}(B_{1}). Ainsi C_{F_{s}(B_{1})}(i) = C_{F_{s}(B_{1})}^{∘}(i) ≤ C^{∘}(i) < B, donc C_{F_{s}(B_{1})}(i) ≤ (B ∩ B_{1})^{∘} = H. Mais d’après le Fait 2.43, C_{F_{s}(B_{1})}(i) est un (∞, s)-groupe, donc C_{F_{s}(B_{1})}(i) ≤ U_{(∞,s)}(H) = V selon la Notation 6.31. Ainsi peut-on même supposer que z ∈ (F_{s}(B_{1}))^{−_{i}}, de sorte que z^{i} = z^{−1}.

Alors pour t ∈ (T [w])^{#}, on a [z, t] = 1, donc [z^{i}, t] = 1, et [z, t^{i}] = 1. En particulier, z commute à [t, i] ∈ [T [w], i] ≤ [V, i] ≤ K. Or [t, i] ≠ 1 d’après le Corollaire 6.8. Mais B est l’unique sous-groupe de Borel contenant C^{∘}(K) d’après le Lemme 6.34, et donc à plus forte raison l’unique sous-groupe de Borel contenant C^{∘}([t, i]). Comme ce dernier est normalisé par z, il vient z ∈ N(B).

Soit n l’ordre de N(B)/B, de sorte que z^{n} ∈ B. D’après le Corollaire 6.36, la torsion de F^{∘}(B_{1}) est torique, et donc centrale dans B_{1}. En particulier elle est centralisée par i ∈ H ≤ B_{1}. Comme F^{∘}(B_{1}) est 2^{⊥} d’après le Lemme 6.24, le seul élément d’ordre fini de F^{∘}(B_{1}) inversé par i est 1. La clôture définissable d(z), inversée par i et incluse dans F^{∘}(B_{1}), est donc sans torsion. En particulier z^{n} ∈ B ⇒ z ∈ B d’après le Fait 2.17. La décomposition donnée dans le Lemme 6.34 implique une écriture z = kc pour un k ∈ K et un c ∈ C^{∘}(i). Il vient k^{−1}z = c = c^{i} = (k^{−1}z)^{i} = k^{−i}z^{i} = kz^{−1}, d’où z^{2} = k^{2} ∈ K. Ainsi l’image de z dans d(z)/(d(z) ∩ K) est d’ordre ≤ 2. Comme d(z) est sans torsion, le Fait 2.17 implique z ∈ K. Or avec la Notation 6.31 et le Lemme 6.34, K ≤ U_{(∞,s)}(H) = V, donc z ∈ V, une contradiction. □

Proposition 6.38 V est un (∞, s)-sous-groupe de Sylow de C^{∘}(T [w]).

Preuve

Rappelons que d_{∞}(H′) = s d’après le Lemme 6.26. Soit U un (∞, s)-sous-groupe de C^{∘}(T [w]) contenant V = U_{(∞,d_{∞}(H′))}(H). D’après le Lemme 3.10, on a U ≤ B_{1}.

Selon le Lemme 6.29, un sous-groupe de Carter de H est un sous-groupe de Carter de G. On peut alors appliquer le Lemme 3.11, et F_{s}(B_{1}) est donc l’unique (∞, s)-sous-groupe de Sylow de B_{1}. En particulier U ≤ F_{s}(B_{1}).

Ainsi il vient V ≤ U ≤ C_{F_{s}(B_{1})}^{∘}(T [w]) = V avec le Lemme 6.37, et V est donc un (∞, s)-sous-groupe de Sylow de C^{∘}(T [w]). □

6.6 Retour à T [w] et contradiction finale

Dans cette sous-section nous conjuguons les sous-groupes T [w] au sousgroupe K, ce qui permet de prouver que les G-conjugués de K se concentrent génériquement dans B.

Le premier point est pour le moins inattendu car l’analyse précédente a montré que si les sous-groupes T[w] peuvent être vus habituellement comme des sous-groupes “semisimples”, le sous-groupe K de B en est moralement un sous-groupe “unipotent”. Ce qui permet la conjugaison est outre la présence d’involutions, la rigidité particulière imposée par la presence d’une paire maximale ; plus particulièrement le Lemme 6.37 menant à la Proposition 6.38.

Le second point, à savoir la concentration générique, est alors un simple calcul de rang réminiscent du fait que, dans PSL_{2}, l’ensemble des éléments semisimples d’un sous-groupe de Borel fixé a même rang que l’ensemble des éléments unipotents du groupe entier.

Lemme 6.39 Soit w dans I_{0}. Alors il existe g ∈ G tel que T [w] = K^{g}.

Preuve

D’après la Proposition 6.38, V est un (∞, s)-sous-groupe de Sylow de C^{∘}(T [w]). D’après le Corollaire 3.15, il existe une involution w_{1} conjuguée à w par C^{∘}(T [w]) et qui normalise V. Mais alors w_{1} inverse T [w]. D’autre part w_{1} ∉ N(B). En effet, sinon w_{1} est d’après le Théorème 4.10 une involution de B inversant T [w], une contradiction à la Remarque 6.16 (3). On a rg(T [w_{1}]) ≥ rg(T [w]) ≥ rg(F^{∘}(B))^{−_{i}} puisque w ∈ I_{0}. Ainsi w_{1} ∈ I_{0}.

Toute l’analyse précédente pour w vaut encore pour w_{1}. En particulier T [w_{1}] est un groupe abélien, définissable et connexe d’après le Corollaire 6.18. Son rang est exactement celui de K d’après le Lemme 6.34. L’inclusion T [w] ⊆ T [w_{1}] se transforme ainsi en égalité de groupes.

Maintenant i et w_{1} normalisent V. Comme elles sont toutes deux toriques, le Corollaire 6.4 impose que i et w_{1} sont conjuguées dans N(V). Ainsi existe-t-il g ∈ N(V) tel que w_{1} = i^{g}. En particulier

T [w] = T [w_{1}] ≤ V^{−_{w_{1}}} = (V^{−_{i}})^{g} = K^{g}

par définition de K, et l’égalité de rangs dans le Lemme 6.34 implique l’égalité de ces sous-groupes. □

Lemme 6.40 Soit g ∈ G. Alors K ∩ K^{g} ≠ 1 si et seulement si g ∈ N(B). De plus i^{G} ∩ N(K^{g}) = (iK)^{g}, toutes ces involutions étant K^{g}-conjuguées.

Preuve

Si g ∈ N(B) = N(K) d’après le Lemme 6.34, on a K = K^{g}, donc un sens est trivial. Soit pour la réciproque g ∈ G tel que K∩K^{g} ≠ 1. L’involution i normalise K∩K^{g} et N = N^{∘}(K∩K^{g}). On sait depuis le Lemme 6.10 que p = ∞. Il est clair que Up̃(Z(F^{∘}(B))) et Up̃(Z(F^{∘}(B^{g}))) sont inclus dans N, de sorte que d_{∞}(N) ≥ d_{∞}(B). Nous disons que d_{∞}(N) = d_{∞}(B). En effet si d_{∞}(N) > d_{∞}(B), alors i inverse U_{∞}(N) d’après le Lemme 4.8. Il vient [K ∩ K^{g}, U_{∞}(N)] = 1 grâce au Lemme 3.1. En particulier U_{∞}(N) ≤ C^{∘}(K ∩ K^{g}) ≤ B avec le Lemme 6.34, une contradiction. Ainsi d_{∞}(N) = d_{∞}(B), et Up̃(N) est un p̃-groupe. Alors le Lemme 3.3 appliqué avec U = A = Up̃(Z(F^{∘}(B))) donne que Up̃(B) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(N). Mais le même argument donne aussi que Up̃(B^{g}) est l’unique p̃-sous-groupe de Sylow de G contenant Up̃(N). Il vient Up̃(B) = Up̃(B^{g}) et g ∈ N(B).

Enfin I(N(K^{g})) = I(N(K))^{g} = I(N(B))^{g}. Or d’après le Théorème 4.10, les involutions toriques de N(B) sont dans B. Ainsi i^{G} ∩ N(K^{g}) = I(B^{g}) = (iK)^{g} avec le Lemme 4.3. □

Après cette analyse poussée des sous-groupes en présence, nous concluons par deux simples calculs de rang qui produisent la contradiction finale. Commençons par une conséquence du Lemme 6.40 précisant le Lemme 6.39.

Corollaire 6.41 Soient w_{1} et w_{2} dans I_{0}. Alors T [w_{1}] ∩ T [w_{2}] ≠ 1 si et seulement si T [w_{1}] = T [w_{2}] si et seulement si w_{1} et w_{2} sont conjuguées par T [w_{1}].

Preuve

D’après le Lemme 6.39, T [w_{1}] = K^{g_{1}} et T [w_{2}] = K^{g_{2}} pour des éléments g_{1} et g_{2} de G. Si T [w_{1}] ∩ T [w_{2}] ≠ 1, on a d’après le Lemme 6.40 g_{2}g_{1}^{−1} ∈ N(K), d’où T [w_{1}] = K^{g_{1}} = K^{g_{2}} = T [w_{2}]. Le Lemme 6.40 implique alors aussi que w_{1} et w_{2} sont conjuguées par K^{g_{1}} = T [w_{1}]. Enfin si w_{1} = w_{2}^{t} pour un t ∈ T [w_{1}]^{#}, alors t^{w_{2}} = w_{2}tw_{2} = w_{1}^{t^{−1}}tw_{1}^{t^{−1}} = tw_{1}t^{−1}ttw_{1}t^{−1} = tw_{1}tw_{1}t^{−1} = tt^{−1}t^{−1} = t^{−1}. Ainsi t est inversé par w_{1} et par w_{2}, et donc T [w_{1}] ∩ T [w_{2}] ≠ 1. □

Corollaire 6.42 rg (⋃_{w∈I_{0}} T [w]) = rg (G) − rg (C(i)) .

Preuve Selon le Corollaire 6.41,

⋃_{w∈I_{0}} T [w] = ∐_{w∈I_{0} modulo T [w_{1}]=T [w_{2}]} T [w],

l’union disjointe étant indexée par un ensemble de rang rg(I_{0}) − rg(T [w]) = rg(i^{G}) − rg(K) et chaque terme étant de rang rg(K) d’après le Lemme 6.34 ou le Lemme 6.39. Le rang calculé est donc rg(i^{G}) = rg(G) − rg(C(i)). □

D’autre part le Lemme 6.40 permet aussi de calculer rg(K^{G}).

Corollaire 6.43 rg (K^{G}) = rg (G) − rg (C(i)) .

Preuve

D’après le Lemme 6.34, rg(N(K)) = rg(B). Ainsi avec le Lemme 6.40, il vient rg (K^{G}) = rg (G) − rg (B) + rg (K) = rg (G) − rg (B/K), et la factorisation du Lemme 6.34 permet de conclure. □

Le Lemme 6.39 et les Corollaires 6.42 et 6.43 prouvent comme suit que les conjugués de K se retrouvent majoritairement dans B.

Corollaire 6.44 ⋃_{w∈I_{0}} T [w] est un sous-ensemble générique de K^{G}. En particulier B ∩ (K^{G}) est générique dans K^{G}.

Preuve du Théorème 6.1

Les Corollaires 2.4 et 6.44 contredisent la simplicité de G, et cette contradiction achève la preuve du Théorème 6.1. □

Pour ne pas finir sur une note aussi aride, nous recollons brièvement les morceaux. Les Théorèmes 6.1 et 5.1 produisent ensemble le Théorème 1.1.

Mais une fois le Théorème 1.1 prouvé, le Corollaire 1.2 général sur la winvariance est aussi prouvé grâce au Lemme 3.27.

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