PROPRIÉTS RÉSIDUELLES DANS LES GROUPES SUPERSIMPLES

FRANK WAGNER

Résumé. Si C est une pseudo-varioété, alors un groupe supersimple résiduellement C est nilpotent-par-poly-C.

Dans un article récent [1], Abderezak Ould Houcine montre qu’un goupe superstable résiduellement C pour une pseudo-variété C permet une série normale G = G_{0} \underline{▷}G_{1} \underline{▷}⋯\underline{▷}G_{n} telle que G_{i}/G_{i+1} ∈ C pour i < n, et G_{n} est résoluble ; si G est ω-stable, on peut choisir G_{n} nilpotent. Nous étendons son résultat aux groupes supersimples, et montrons en même temps qu’on peut toujours prendre G_{n} nilpotent.

Rappelons qu’une classe de groupe est une pseudo-variété si elle st close par sous-groupes, quotients et produits finis ; un groupe est résiduellement C si pour tout 1 ≠ g ∈ G il y a un sous-groupe normal g ∉ N \underline{◁} G avec G/N ∈ C.

Proposition 1. Soit SU(G) = ω^{α}·n+β avec β < ω^{α}, et k > 0 minimal telle qu’il y ait un sous-groupe normal N \underline{◁}G avec SU(N) = ω^{α}·k. Alors pour toute formule φ(x, y) il y a une formule ϑ(y) telle que pour tout a le sous-groupe normal engendré par φ(x, a) ait indice fini dans N si et seulement si ⊧ ϑ(a) ; dans ce cas, le groupe engendré est définissable uniformément en a, et d’indice borné dans N.

Proof: Nous pouvons supposer que ϑ(a) implique X_{a} := φ(G, a) ⊆ N, et que φ(x, a) est normal, quitte à remplacer φ(x, y) par exists z ∈ G φ(x^{z}, y). Par [2, Theorem 5.4.5 et Remark 5.4.7] il existe m < ω tel que (X_{a}^{±1}) contienne un sous-groupe normal N_{0} avec SU(X_{a}/N_{0}) < ω^{α}; la preuve montre également qu’on puisse prendre m < 2^{k} (en fait on voit aisement que m ≤ k). Par [2, Theorem 5.5.4] N_{0} est l’intersection de sous-groupes de G; par compacité il existe un sous-groupe définissable N ≤ N_{1} ⊆ (X_{a}^{±1})^{m}, et par [2, Proposition 4.2.7] on peut choisir un tel N_{1} normal dans G et définissable sur a.

Si N_{1} est d’indice fini dans N, alors un nombre fini de translatés de N_{1}, et donc de (X_{a}^{±1})^{m} recouvrent N. Par contre, si N_{1} est d’indice infini dans N, alors un générique de N ne peut pas être contenu dans ⟨X_{a}⟩, puisque SU(X_{a}/N_{1}) < ω^{α} et SU(N) = ω^{α} · k, et il est impossible qu’un nombre fini de translatés de (X_{a}^{±1})^{m} recouvre N. Donc (X_{a}^{±1})^{m} est générique dans N si et seulement si un nombe fini de translatés recouvre N. Mais cet ensemble est également gnérique si et seulement s’il a même rangs locaux stratifiés ; cette condition est donc ouverte et fermée, ce qui signifie qu’elle est définissable par une formule ϑ(a), qui a les propriétés recherchées.

Date: 18 décembre 2006.

Key words and phrases. simple theory, pseudo-variety, nilpotent, residual.

Pour a ⊧ ϑ il en découle par compacité que le sous-groupe normal de N engndré par X_{a} est définissable uniformément en a, et son indice dans N est borné. □

Nous pouvons maintenant suive le raisonnement d’Ould Houcine pour démontrer notre théorème.

Theorem 2. Soit C une pseudo-variété et G un groupe supersimple résiduellment C. Alors il y a une série normale définissable G = G_{0} \underline{▷} G_{1} \underline{▷} ⋯ \underline{▷}_{n} telle que G_{i}/G_{i+1} ∈ C pour i < n, et G_{n} est nilpotent.

Proof: Soient α, β, n, k, et N comme dans la proposition précédente, et pour 1 ≠ g ∈ G soit g ∉ N_{g} \underline{◁}G telle que G/N_{g} ∈ C. Pour ḡ ∈ G\\{1\} soit Nḡ = ⋂_{g∈ḡ} N_{g}, avec G/Nḡ ∈ C, puisque C est uen pseudo-variété.. Nous considérons les sous-groupes normaux [N, Nḡ] ≤ N ∩ Nḡ pour g ∈ G. Encore par [2, Theorem 5.4.5] il existe pour tout g ∈ G des éléménts n_{1}, …, n_{m} ∈ Nḡ telle que (n_{1}^{−1}n_{1}^{N})^{±1} ⋯ (n_{m}^{−1}n_{m}^{N})^{±1} contienne un sous-groupe type-définissable normal Kḡ avec SU(n^{−1}n^{N}/Kḡ) < ω^{α} pour tout n ∈ Nḡ.

Si on trouve ḡ ∈ G \ {1} tel que SU(Kḡ) < ω^{α}k̇, alors SU(Kḡ) < ω^{α} par minimalité de k, comme Kḡ est intersection de groupes normaux définissables. Donc SU(n^{−1}n^{H}) < ω^{α} pour tout n ∈ Hḡ, d’où SU(N/C_{N}(n)) < ω^{α}, et C_{N}(n) est d’indice fini dans N pour tout n ∈ Nḡ par l’inégalité de Lascar. Alors

Nḡ ≤ C̃_{G}(N) = {g ∈ G : [N : C_{N}(g)] < ω},

le centralisateur approximatif de N dans G, et G/C̃_{G}(N) ∈ C. Notons que C̃_{G}(N) est définissable, puisque l’indice de C_{N}(g) dans N est borné par [2, Lemma 4.2.6].

Sinon, Kḡ est générique dans N pour tout g ∈ G, et [N, Nḡ] est générique dans N et uniformémént définissable par la proposition précédente. Mais si [N, Nḡ] ≠ 1, soit 1 ≠ g ∈ [N, Nḡ]. Alors [N, N_{gḡ}] est un sous-groupe propre de [N, Nḡ] ; comme ces groupes sont uniformément définissables, on en obtient une chaîne infinie, ce qui contredit la simplicité.

Donc G/C̃_{G}(N) ∈ C; si SU(C̃_{G}(N)) < SU(G) je termine par récurrence sur SU(G). Sinon je remplace G par C̃_{G}(N) et N par N ∩ C̃_{G}(N), des sous-groupes d’indices finis. Soient n ∈ N et g ∈ G indépendants ; comme

[n, g] ∈ acl(n) ∩ acl(g) = acl(∅)

et donné g ∈ G un élémént n ∈ N est toujours produit de deux éléments génériques sur g et réciproquement, le groupe [N, G] ≤ acl(∅). Donc N_{1} := C_{N}([N, G]) est d’indice borné dans N et contenu dans Z_{2}(G). Or, puisque Z(G) = ⋂_{g∈G} C_{G}(g) est donné par un système d’équations (dans ce-modèle-ci !), je peux remplacer G par G/Z(G), et donc aussi par G/Z_{2}(G) par [1, Lemme 2.2(2)] et préserver la propriété d’être résiduellement C; notons que ces quotients sont définissables à l’aide de quanteurs et donc supersimples. Finalement, comme N_{1} ≤ Z_{2}(G) et SU(N_{1}) = SU(N) ≥ ω^{α}, alors SU(G/Z_{2}(G)) < SU(G) et je termine par récurrence. □

Remark 3. Notons que si N est normal dans G, alors par [2, Proposition 4.2.7] il existe un sous-groupe caractéristique N_{0} de G qui est une extension finie d’une intersection finie de conjugués de N par des automorphismes. Comme C est une pseudo-variété on peut donc successivement prendre tous les G_{i} normal pas seulement dans leur prédecesseur, mais dans G.

Références

[1] A. Ould Houcine. On superstable groups with residual properties. Math. Log. Quart. 53(1) :19–26, 2007.

[2] F. O. Wagner. Simple Theories. Kluwer Academic Publishers, 2000.

Frank O Wagner, Université de Lyon, Université Lyon 1, CNRS UMR 5208 Institut Girard Desargues, 43 blvd du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne-cedex, France

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