DIE BÖSE FARBE

A. BAUDISCH, M. HILS, A. MARTIN-PIZARRO UND F. O. WAGNER

abstract. We construct a bad field in characteristic zero. That is, we construct an algebraically closed field which carries a notion of dimension analogous to Zariski-dimension, with an infinite proper multiplicative subgroup of dimension one, and such that the field itself has dimension two. This answers a longstanding open question by Zilber. Résumé. Nous construisons un mauvais corps de caractéristique zéro. C’est-à-dire nous construisons un corps algébriquement clos qui porte une notion de dimension analogue à la dimension de Zariski, avec un sous-groupe multiplicatif infini propre de dimension un, et tel que le corps lui-même soit de dimension deux. Ceci répond à une ancienne question de Zilber.

1. Einleitung

Morleyrang ist eine modelltheoretische Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs für algebraische Varietäten, der für definierbare Mengen in beliebigen mathematischen Strukturen definiert werden kann; eine Struktur ist ω-stabil, falls der Morleyrang ordinale Werte annimmt. Das Analogon zur Anzahl irreduzibler Komponenten von maximaler Dimension ist der Morleygrad; eine frühe Vermutung von Zilber besagt, daß eine Struktur vom Morleyrang und -grad 1 (eine streng minimale Menge) von einer bekannten Geometrie herrührt: Der trivialen (degenerierten) Geometrie, der Geometrie eines Vektorraumes über einem Schiefkörper, oder der Zariskigeometrie über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Diese Vermutung wurde 1988 von E. Hrushovski widerlegt [11], indem er die Fraïssésche Konstruktion des universellen homogenen Modells einer zusammenhängenden Klasse endlicher relationaler Strukturen mit Amalgamierungseigenschaft in genialer Weise variierte. Die Methode wurde von B. Poizat und J. B. Goode [8] in zwei Schritte zerlegt: Konstruktion einer generischen Struktur vom Rang ω und Kollaps zu einer streng minimalen Menge; sie hat seither zahlreiche weitere Anwendungen gefunden. So konnte Hrushovski zwei streng minimale Mengen mit definierbarem Morleygrad in disjunkten Sprachen zu einer streng minimalen Menge fusionieren [10] (siehe auch [3]); insbesondere folgt daraus, daß es eine streng minimale Menge gibt, die zwei verschiedene Körperstrukturen trägt (eventuell sogar in verschiedenen Charakteristiken), die zueinander so unabhängig wie möglich liegen. Die im Hrushovskischen Artikel enthaltene Randbemerkung, die Fusion sollte sich auch durchführen lassen, wenn die beiden streng minimalen Mengen Expansionen einer gemeinsamen Vektorraumstruktur über einem endlichen Körper sind, wurde vom zweiten Autor und A. Hasson [9] im monobasierten Fall durchgeführt; in demselben Artikel wird auch der unkollabierte Fall einer Fusion vom Rang ω behandelt. Der Kollaps zu einer streng minimalen Fusion gelang schließlich dem ersten und dritten Autor zusammen mit M. Ziegler [4]; in einer Variante derselben Ideen zeigten sie auch [5] die Existenz eines Körpers beliebiger positiver Charakteristik vom Morleyrang 2 mit einer additiven Untergruppe vom Rang 1 durch Kollaps eines entsprechenden von Poizat [17] konstruierten Körpers vom Rang ω · 2. Somit gibt es insbesondere eine streng minimale Menge mit einer Addition, aber zwei voneinander unabhängigen Multiplikationen.

Date: 6. November 2007.

1991 Mathematics Subject Classification. Primary: 03C65; Secondary: 03C50.

Key words and phrases. Model Theory, Fields of finite Morley Rank.

Der erste und vierte Autor wurden vom europäischen Forschungsvertrag FP6-MRTN-CT-2004-512234 Modnet unterstützt, der dritte Autor durch die Marie Curie Postdoktorandenstelle FP6-MOB-5-009541.

Le quatrième auteur est membre junior de l’Institut Universitaire de France.

Schlechte Körper sind Körper von endlichem Morleyrang mit einem Prädikat für eine nichttriviale divisible echte multiplikative Untergruppe. Sie wurden im Zusammenhang mit der Analyse einfacher Gruppen von endlichem Morleyrang eingeführt, wo eine Boreluntergruppe (maximale auflösbare Untergruppe) etwa die Form K^{+} ⋊ T mit 1 < T < K^{×} haben könnte. Gemäß der Vermutung von Cherlin-Zilber, einer algebraischen Variante der Zilberschen Vermutung, sollte eine einfache Gruppe von endlichem Morleyrang algebraisch sein; die Abwesenheit von schlechten Körpern würde die Untersuchung der Boreluntergruppen vereinfachen. In positiver Charakteristik ist ihre Existenz unwahrscheinlich [18, 19]; in Charakteristik 0 hat Poizat [17] tiefe Ergebnisse von J. Ax [1] verwendet, um einen Körper vom Rang ω · 2 mit multiplikativer Untergruppe vom Rang ω zu konstruieren, nachdem er bereits zuvor [16] einen Körper vom Rang ω · 2 mit Prädikat für eine Teilmenge vom Rang ω konstruiert hatte; dies widerlegte insbesondere eine Vermutung von C. Berline und D. Lascar, derzufolge der Rang eines Körpers (falls ordinal) ein Monom der Form ω^{α} sein sollte. Poizat [16] erhielt auch durch Amalgamation kollabierte Strukturen; J. Baldwin und K. Holland [2] wiesen nach, daß diese unter bestimmten Bedingungen ω-saturiert und damit ω-stabil von Morleyrang 2 sind. Der Beweis dieses Resultats wurde vom ersten und dritten Autor sowie M. Ziegler [6] mit einer einfachen Axiomatisierung neu gefaßt. Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, daß nach einem Satz von A. Macintyre [13] ein Körper von ordinalem Morleyrang algebraisch abgeschlossen sein muß.

Poizat folgend nennen wir das Prädikat für eine multiplikative Untergruppe grün (eine additive Untergruppe ist rot, und eine Teilmenge schwarz). In diesem Artikel führen wir den Kollaps des grünen Körpers durch und zeigen somit die Existenz eines schlechten Körpers der Charakteristik 0. Die Konstruktion lehnt sich eng dem roten Kollaps in [5] an, wobei wir anstelle der Lokalendlichkeit des Vektorraumes über 𝔽_{p} die Ergebnisse von Ax/Poizat verwenden.

Wir danken dem Gutachter für seine detailierten Kommentare, und vor allem auch für die weiterführenden Fragen, die wir hier leider nicht alle beantworten konnten. Wir arbeiten daran!

2. Algebraische Lemmata

In diesem Abschnitt führen wir die Resultate aus der algebraischen Geometrie auf, die wir im Laufe des Beweises benötigen. Wir verwenden die folgende Bezeichnung: ℂ ist ein algebraisch abgeschlossener Körper der Characteristik 0. Eine Varietät V ist immer eine abgeschlossene Untervarietät von (ℂ^{∗})^{n} (betrachtet als affine Varietät). Ein Torus ist eine zusammenhängende Untergruppe von (ℂ^{∗})^{n}, gegeben durch endlich viele Gleichungen der Form: x_{1}^{r_{1}} · . . . · x_{n}^{r_{n}} = 1. Für einen Torus T ist die lineare Dimension ldim(T) (als ℚ-Vektorraum modulo Torsion) gleich der algebraischen Dimension dim(T) (als Varietät). Gegeben eine abgeschlossene irreduzible Untervarietät V von (ℂ^{∗})^{n}, ist der minimale Torus von V der kleinste Torus T, so daß V in einer Nebenklasse ā · T von T enthalten ist. Wir setzen ldim(V) := dim(T), und cd(V) := dim(T)−dim(V) = ldim(V)−dim(V), die Kodimension von V. Eine irreduzible Untervarietät W ⊆ V heiße cd-maximal, falls für alle irreduziblen W ⊊ W′ ⊆ V gilt, daß cd(W′) > cd(W). Trivialerweise sind irreduzible Komponenten von V sowie maximale in V enthaltene Torusnebenklassen cd-maximal.

Zunächst sei ein grundlegendes Ergebnis über Tori in Erinnerung gerufen.

Anmerkung 2.1. Eine zusammenhängende algebraische Untergruppe eines Torus ist wieder ein Torus.

Folgendes Ergebnis wurde von B. Poizat bewiesen [17, Corollaires 3.6 und 3.7]:

Satz 2.2. Sei V (x̄, z̄) eine uniform definierbare Familie von Varietäten in (ℂ^{∗})^{n}. Dann existiert eine endliche Familie T (V) = {T_{0}, …, T_{r}} von Tori in (ℂ^{∗})^{n}, so daß für jeden Torus T ⊆ (ℂ^{∗})^{n}, jede Varietät Vb̄ = V (x̄, b̄) aus der Familie und jede irreduzible Komponente W von Vb̄ ∩ ā · T (mit ā in W) ein i in {0, …, r} existiert, so daß W ⊆ ā · T_{i} und dim(T_{i}) − dim(V ∩ ā · T_{i}) = dim T − dim W ist.

Zusatz: Der minimale Torus jeder cd-maximalen Untervarietät von Vb̄ liegt in der der Familie T (V).

Offensichtlich können wir annehmen, daß die Tori aus der Familie paarweise verschieden sind, mit T_{0} = (ℂ^{∗})^{n} und T_{1} = {1}^{n}.

Bemerkung 2.3. Wir werden in der gesamten Arbeit nur den Zusatz aus 2.2 verwenden. Während jedoch Poizat das Ergebnis lediglich benutzt, um die Saturiertheit der konstruierten Modelle zu zeigen, benötigen wir Satz 2.2 schon für die Konstruktion selbst.

Bemerkung 2.4. Die Aussage von Satz 2.2 ist falsch in positiver Charakteristik. Wir bedanken uns bei M. Bays und B. Zilber für das folgende Beispiel. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik p > 0 und sei V ⊆ (K^{∗})^{4} definiert durch die Gleichungen x + y = 1 und z + u = 1. Für n ∈ ℕ sei T_{n} ⊆ (K^{∗})^{4} der durch die Gleichungen z^{p^{n}} = x und u^{p^{n}} = y definierte Torus. Man sieht leicht:

• V ist irreduzibel mit dim(V) = 2 und cd(V) = 2;

• X_{n} := V ∩ T_{n} ist eine irreduzible Kurve mit minimalem Torus T_{n} und es gilt cd(X_{n}) = 1;

• X_{n} ist eine cd-maximale Untervarietät von V. Eine Familie von Tori mit den Eigenschaften wie in 2.2 enthielte dann notwen-

digerweise alle Tori T_{n}. Diese sind jedoch paarweise verschieden.

Folgerung 2.5. Sei V (x̄, z̄) eine uniform definierbare Familie von Varietäten.

(1) Ist T der minimale Torus von Vb̄, so existiert θ(z̄) ∈ tp(b̄), so daß T der minimale Torus für alle Vb̄′ mit ⊧ θ(b̄′) ist. Insbesondere gibt es also eine definierbare Umgebung von b̄, in der ldim und cd konstant sind.

(2) Sei Vb̄ = ⋃_{k=1}^{m} W_{k} die Zerlegung von Vb̄ = V (x̄, b̄) in irreduzible Komponenten, mit d_{k} := dim(W_{k}), l_{k} := ldim(W_{k}) und c_{k} := cd(W_{k}). Dann existiert ein θ(z̄) ∈ tp(b̄), so daß für alle b̄′ ⊧ θ gilt: Vb̄′ besitzt genau m irreduzible Komponenten (W′_{k} : 1 ≤ k ≤ m) mit (bei geeigneter Anordnung) dim(W′_{k}) = d_{k}, ldim(W′_{k}) = l_{k} und cd(W′_{k}) = c_{k}.

Beweis. Der erste Teil folgt sofort aus Satz 2.2, da irreduzible Komponenten cdmaximal sind, ihre minimalen Tori also in der Familie T (V) aus 2.2 liegen.

Es ist ein klassisches Resultat (siehe etwa [7]), daß die Zerlegung einer Varietät in ihre irreduziblen Komponenten definierbar ist. Teil (2) folgt also aus (1). □

3. δ-Arithmetik

Sei ℂ ein sehr großer algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik 0, d.h. ein Monstermodell für ACF_{0}. Sei L_{mult} := {·, 1, 0, =} ⊆ L_{Ring} = {+, ·, 1, 0, =}, und T_{mult} := Th_{L_{mult}}(ℂ). Das Primmodell von T_{mult} besteht gerade aus den Einheitswurzeln μ(ℂ) ⊆ ℂ zusammen mit 0. Diese Struktur ist L_{mult}-isomorph zur Gruppe ℚ/ℤ (multiplikativ geschrieben), erweitert um ein neues Element. Insbesondere ist T_{mult} modular und nichttrivial, und seine Geometrie ist die projektive Geometrie über ℚ.

Für A ⊆ ℂ sei ⟨A⟩ die divisible Hülle (bezüglich der Multiplikation) von A^{∗} := A \ {0} in ℂ^{∗} vereinigt mit 0. Das ist gerade der algebraische Abschluß von A in ℂ bezüglich L_{mult} und liefert das Primmodell von T_{mult} über A. Für ein Tupel ā ∈ ℂ^{∗} ist also MR(ā) bezüglich L_{mult} gleich der linearen ℚ-Dimension (modulo Torsion). Wir schreiben hierfür ldim(ā). Mit dim(ā/B) bezeichnen wir die Dimension des Locus von ā über B, was dasselbe ist wie der Transzendenzgrad, oder der Morleyrang in ACF_{0}.

Wir betrachten nun ⟨·⟩-abgeschlossene Teilmengen B von ℂ, in der Sprache L_{Ring}. Solche Teilmengen sind in der Regel keine Unterkörper. Man kann jedoch formal in einer Sprache L_{Morley} arbeiten, einer Morleyisierung von ACF_{0}, die neben L_{mult} nur Relationssymbole enthält. Wir werden aber weiter die Körperaddition + verwenden und auch vom erzeugten Körper, dem algebraischen Abschluss etc. sprechen. Dies dürfte nicht zu Unklarheiten führen. Die Klasse der beschriebenen Strukturen bezeichnen wir mit D. Einbettungen in D sind elementare Abbildungen bezüglich L_{Ring}, also L_{Morley}-Einbettungen. Eine Struktur A ∈ D heiße endlich erzeugt über B ⊆ A, falls A = ⟨āB⟩ ist, für ein endliches ā ∈ A. Das sind natürlich gerade die divisiblen Hüllen der Untergruppen von ℂ^{∗} von endlichem Rang über ⟨B⟩ (plus die 0). Ist für A, B ⊆ ℂ die Struktur ⟨AB⟩ über ⟨B⟩ endlich erzeugt, so setzt man

δ(A/B) := 2 dim(A/B) − ldim(A/B).

Offenbar gilt δ(A/B) = δ(⟨AB⟩/⟨B⟩). Da T_{mult} modular ist, erhält man mit den üblichen Argumenten:

Lemma 3.1. (1) δ(āb̄/C) = δ(b̄/C) + δ(ā/b̄C). (Additivität)

(2) Sind C ⊆ B ∈ D, so ist δ(ā/B) ≤ δ(ā/B ∩ ⟨Cā⟩). (Submodularität)

Lemma 3.2. Seien ā und B gegeben, W der Locus von ā über acl(B). Dann gilt δ(ā/acl(B)) = dim(W) − cd(W), und allgemeiner

δ(ā/B) = dim(W) − cd(W) − ldim(⟨āB⟩ ∩ acl(B)/B).

Beweis. Für den ersten Teil genügt es zu bemerken, daß (über einer algebraisch abgeschlossenen Menge B) die kleinste Nebenklasse eines Torus, die ā enthält, über B in L_{mult} definiert ist, und somit gibt deren Dimension gerade ldim(ā/B). Der zweite Teil folgt leicht aus der Modularität von T_{mult}. □

Definition 3.3. • Sei M ⊆ N ∈ D mit ldim(N/M) = n ≥ 2. Dann heiße N/M minimal präalgebraisch (der Länge n), falls δ(N/M) = 0 und δ(N′/M) > 0 für alle N′ = ⟨N′⟩ ∈ D mit M ⊊ N′ ⊊ N.

• Sei B ⊆ ℂ und p(x̄) ∈ S^{n}(B) ein starker Typ (in ACF_{0}). Dann heiße p minimal präalgebraisch, falls für ā ⊧ p die Erweiterung ⟨Bā⟩/⟨B⟩ minimal präalgebraisch der Länge n ist (insbesondere ist ā multiplikativ unabhängig über B).

• Eine Formel φ(x̄) vom Morleygrad 1 heiße minimal präalgebraisch, falls der generische Typ in φ(x̄) minimal präalgebraisch ist.

Bemerkung 3.4. • Wegen 0 = δ(N/M) = δ(N/N′) + δ(N′/M) ist die Be-

dingung δ(N′/M) > 0 äquivalent zu δ(N/N′) < 0.

• Ist N/M minimal prälgebraisch und n̄ eine multiplikative Basis von N über M, dann ist stp(n̄/M) minimal präalgebraisch.

• Für starke Typen ist die Eigenschaft, minimal präalgebraisch zu sein, invariant unter Parallelismus und multiplikativer Translation. Insbesondere ist die Definition, die wir in 3.3 im Falle einer Formel φ(x̄) geben, wohldefiniert.

4. Kodes

Wie üblich will man minimal präalgebraische Erweiterungen kodieren. Zunächst ist klar, daß jeder starke Typ der generische Typ von genau einer irreduziblen Varietät ist. Wir definieren folgerichtig:

Definition 4.1. Die irreduzible Varietät V = V (x̄, b̄) heiße Kodevarietät, falls sie minimal präalgebraisch ist, d.h. für jedes B = ⟨B⟩ ∋ b̄ ist ein über B generisches ā ∈ V multiplikative Basis der minimal präalgebraischen Erweiterung ⟨Bā⟩/⟨B⟩.

Insbesondere ist ein multiplikatives Translat einer Kodevarietät wieder eine Kodevarietät.

Sei M ∈ D, tp(ā/M) minimal präalgebraisch der Länge n, N = ⟨Mā⟩ und N′ = ⟨N′⟩ mit M ⊊ N′ ⊊ N. Aus der Modularität von T_{mult} folgt, daß N′ eine L_{mult}-Basis ā′ ∈ ⟨ā⟩ über M besitzt; sei m ihre Länge. Modulo Torsion hat man a′_{j} = ∏ a_{i}^{λ_{ij}} für λ_{ij} ∈ ℚ. Ersetzt man nun a′_{j} durch geeignete Potenzen/Wurzeln, so kann man erreichen, daß alle λ_{ij} ∈ ℤ sind und zudem die (λ_{ij})_{i<n} teilerfremd sind für alle j < m. Sei Λ_{T} die Abbildung (x_{i} : i < n) ↦ (∏_{i<n} x_{i}^{λ_{ij}} : j < m). Dann beschreiben die Gleichungen Λ_{T} (x̄) = ¯1 einen Torus T der Dimension d = n − m; die Fasern von Λ_{T} sind genau die Nebenklassen von T. Wegen ∅-Definierbarkeit von T ist also ā′ = Λ_{T} (ā) die kanonische Basis [ā · T] von ā · T.

Umgekehrt gilt für jeden Torus T in (ℂ^{∗})^{n} mit dim(T) = d, daß ā′ := Λ_{T} (ā) eine Substruktur N′ := ⟨Mā′⟩ ⊆ N erzeugt mit ldim(N′/M) = m = n − d.

Lemma 4.2. Sei V (x̄, b̄) ⊆ (ℂ^{∗})^{n} eine irreduzible Varietät, T ⊆ (ℂ^{∗})^{n} ein Torus und ā generisch in Vb̄ über B ∋ b̄. Dann ist ein Tupel ā_{1} ∈ W := V ∩ā·T generisch in W über B[ā · T] genau dann, wenn es generisch in Vb̄ ist.

Beweis. Man beachte, daß ā′ := [ā·T] über jedem ā_{2} ∈ ā·T multiplikativ definierbar ist, also insbesondere über ā_{1} ∈ W. Man erhält

dim(ā_{1}/Bā′)= dim(ā_{1}ā′/B) − dim(ā′/B) = dim(ā_{1}/B) − dim(ā′/B)
≤ dim(ā/B) − dim(ā′/B) = dim(ā/Bā′),

und somit leicht die Behauptung. □

Schon in [17] wird das folgende Resultat gezeigt. Wir geben den Beweis, da wir gleich anschließend dieselben Ideen noch einmal brauchen.

Lemma 4.3. Sei V (x̄, z̄) eine uniforme Familie (irreduzibler) Varietäten und Vb̄ = V (x̄, b̄) eine Kodevarietät. Dann existiert eine Formel θ(z̄) ∈ tp(b̄), so daß Vb̄_{1} eine Kodevarietät ist für alle b̄_{1} ⊧ θ.

Beweis. Sei T (V) = {T_{0}, …, T_{r}} die mit V (x̄, z̄) assoziierte Familie von Tori aus Satz 2.2. Sei B beliebig mit b̄ ∈ B. Es ist dann n = ldim(Vb̄) = 2k, wobei k = dim(Vb̄). Man sieht leicht, daß für B–generisches ḡ ∈ Vb̄ stets ⟨Bḡ⟩ ∩ acl(B) = ⟨B⟩ ist.

Die Formel θ(z̄) drücke aus:

(1) dim(Vz̄) = k sowie ldim(Vz̄) = n (insbesondere ist Vz̄ ≠ ∅),

(2) für generisches ḡ in Vz̄ und i = 2, …, r gilt: Ist Vz̄ ∩ ḡ · T_{i} unendlich und W eine irreduzible Komponente maximaler Dimension von Vz̄ ∩ ḡ · T_{i}, so ist cd(W) > dim(W).

Aufgrund Folgerung 2.5 sind dies definierbare Bedingungen.

Zunächst zeigt man, daß ⊧ θ(b̄). Sei ḡ generisch in Vb̄ und T ≠ T_{0} ein Torus, so daß Vb̄ ∩ ḡ · T unendlich ist. Sei W ⊆ Vb̄ ∩ ḡ · T eine irreduzible Komponente maximaler Dimension. Nach Lemma 4.2 ist ḡ in W über acl((b̄, [ḡ · T]) generisch . Es gilt ḡ ∉ acl(b̄, [ḡ· T]) und [ḡ· T] ∉ acl(b̄); mit Lemma 3.2 folgt aus der minimalen Präalgebraizität von ⟨ḡb̄⟩/⟨b̄⟩

dim(W) − cd(W) = δ(⟨ḡb̄⟩/ acl(b̄, [ḡ · T]) = δ(⟨ḡb̄⟩/ acl(b̄, [ḡ · T]) ∩ ⟨ḡb̄⟩) < 0.

Sei nun b̄_{1} ⊧ θ und ḡ generisch in Vb̄_{1} über B_{1} ∋ b_{1}. Nach Bedingung (1) in θ(z̄) gilt δ(ḡ/B_{1}) = 0. Wir müssen zeigen, daß δ(ḡ/[ḡ · T], B_{1}) < 0 ist für alle Tori T mit 1 ≤ d := dim(T) ≤ n − 1. Setze ḡ′ := [ḡ · T], und sei W der Locus von ḡ über acl(B_{1}ḡ′). Fall 1: ḡ ∈ acl(B_{1}ḡ′), d.h. W ist ein Punkt. Dann ist

δ(ḡ/B_{1}ḡ′)= − ldim(ḡ/B_{1}ḡ′) = ldim(ḡ′/B_{1}) − ldim(ḡḡ′/B_{1})
= ldim(ḡ′/B_{1}) − ldim(ḡ/B_{1}) = (n − d) − n = −d < 0.

Fall 2: cd(W) = cd(Vb̄_{1}). Wegen W ⊊ Vb̄_{1} ist nach Lemma 3.2

δ(ḡ/B_{1}ḡ′) ≤ dim(W) − cd(W) < dim(Vb̄_{1}) − cd(Vb̄_{1}) = 0.

Fall 3: W ist unendlich und cd(W) < cd(Vb̄_{1}). Wir wählen W ⊆ W̃ ⊆ Vb̄_{1} irreduzibel und maximal mit cd(W̃) ≤ cd(W). Offenbar ist W̃ cd-maximal und besitzt einen minimalen Torus T_{i} aus T (V); wegen cd(W) < cd(Vb̄_{1}) ist i ≠ 0, und i ≠ 1 wegen der Unendlichkeit von W. Wir haben W̃ ⊆ V ∩ ḡ · T_{i}. Sei W̃′ irreduzible Komponente maximaler Dimension in V ∩ ḡ · T_{i}. Nach Wahl von θ gilt cd(W̃′) > dim(W̃′). Also ist

δ(ḡ/B_{1}ḡ′) ≤ dim(W) − cd(W) ≤ dim(W̃) − cd(W̃) ≤ dim(W̃′) − cd(W̃′) < 0.

□

Der vorstehende Beweis gibt uns den Hinweis, wie man — uniform in den Parametern — eine generische (definierbare) Teilmenge φ_{1}(x̄, b̄) einer Kodevarietät V (x̄, b̄) finden kann mit für die spätere Kodierung wichtigen Eigenschaften. Ist V (x̄, z̄) eine uniforme Familie von Kodevarietäten und T (V) = {T_{0}, …, T_{r}}, so definieren wir φ_{1}(x̄, z̄) ⊆ V (x̄, z̄) wie folgt:

• für ā ∈ Vb̄ gelte ⊧ φ_{1}(ā, b̄) genau dann wenn für i = 2, …, r folgendes erfüllt ist: Ist Vb̄ ∩ ā · T_{i} unendlich und W eine irreduzible Komponente maximaler Dimension, so ist cd(W) > dim(W).

Nach Folgerung 2.5 ist dies eine definierbare Bedingung.

Lemma 4.4. Sei (Vz̄(x̄) : z̄ ⊧ θ) eine Familie von Kodevarietäten, und sei φ_{1}(x̄, z̄) wie eben definiert. Dann ist für b̄ ⊧ θ die Menge φ_{1}(x̄, b̄) generisch in Vb̄, und für alle ā ⊧ φ_{1}(x̄, b̄) und B ∋ b̄ gilt:

(1) δ(ā/B) ≤ 0.

(2) Ist δ(ā/B) = 0, so ist entweder ā ∈ ⟨B⟩ oder ā ist generisch in Vb̄ über B.

Beweis. Aus dem Beweis von Lemma 4.3 folgt, daß φ_{1}(x̄, b̄) generisch in Vb̄ ist. Wir nehmen an, daß ā nicht in Vb̄ über B generisch ist und auch nicht in ⟨B⟩ liegt; wir müssen δ(ā/B) < 0 zeigen. Sei W der Locus von ā über acl(B). Analog zum Beweis von Lemma 4.3 gibt es drei Fälle. Fall 1: ā ∈ acl(B) (das ist der Fall, in dem W gleich einem Punkt ist). Dann gilt wie vorhin, daß δ(ā/B) = − ldim(ā/B) < 0. Fall 2: W ist unendlich und cd(W) = cd(Vb̄). Wie vorhin ist W ⊊ Vb̄, und somit δ(ā/B) ≤ dim(W) − cd(W) < dim(Vb̄) − cd(Vb̄) = 0. Fall 3: W ist unendlich und cd(W) < cd(Vb̄). Identisches Argument wie in 4.3. Was dort aus der Generizität und θ folgte, ist hier Bestandteil von φ_{1}(x̄, b̄). □

Gegeben Formeln φ(x̄) und ψ(x̄) schreiben wir φ(x̄) ∼ ψ(x̄), falls der Morleyrang der symmetrischen Differenz von φ und ψ kleiner als MR(φ(x̄)) ist. (Dann ist MR(φ) = MR(ψ), und ∼ ist symmetrisch.) Sei p ∈ S^{n}(B) ein minimal präalgebraischer (starker) Typ, und ḡ ⊧ p|B. Dann ist ḡ eine L_{mult}-Basis der minimal präalgebraischen Erweiterung ⟨B⟩ ⊆ ⟨Bḡ⟩, und es gilt dim(ḡ/B) = k = \frac{n}{2} und δ(ḡ/[ḡ · T], B) < 0 für jeden von T_{0} und T_{1} verschiedenen Torus T. Nach Definition 3.3 ist die Eigenschaft, minimal präalgebraisch zu sein, invariant unter “affinen Transformationen”(die entsprechen L_{mult}-Basiswechseln). Das gilt für starke Typen wie für Formeln von Morleygrad 1. Wir erklären nun, was genau das bedeutet. Bis auf Torsion ist die multiplikative Gruppe von ℂ ein ℚ-Vektorraum, also operiert die Gruppe GL_{n}(ℚ) auf den starken Typen “modulo Torsion”. Ein n-dimensionaler Torus T ⊆ (ℂ^{∗})^{n} × (ℂ^{∗})^{n}, der surjektiv auf die ersten n sowie auf die letzen n Koordinaten projiziert, nennen wir Korrespondenztorus. Sind X_{1}, X_{2} definierbare Teilmengen (vom Morleygrad 1) von (ℂ^{∗})^{n}, so daß (X_{1} × X_{2}) ∩ T generisch auf X_{1} und auf X_{2} projiziert, so sagen wir, daß T eine Toruskorrespondenz zwischen X_{1} und X_{2} induziert. Offenbar gilt:

Lemma 4.5. Sei φ(x̄) minimal präalgebraisch.

• Gibt es eine Toruskorrespondenz zwischen φ(x̄) und einer Formel ψ(x̄) von Morleygrad 1, so ist auch ψ(x̄) minimal prälgebraisch.

• Sei m̄ ∈ (ℂ^{∗})^{n}. Dann ist φ(x̄ · m̄) minimal präalgebraisch. □

Definition 4.6. Sei X ⊆ (ℂ^{∗})^{n} definierbar von Morleygrad 1. Eine Formel φ(x̄, z̄) und ein Korrespondenztorus T kodieren X = X(x̄), wenn es ein b̄ gibt, so daß T eine Toruskorrespondenz zwischen φ(x̄, b̄) und X(x̄) induziert, wobei dM(φ(x̄, b̄) = 1; φ kodiert X, falls die Korrespondenz die Identität ist (d.h. φ(x̄, b̄) ∼ X).

Definition 4.7. Ein Kode α ist eine ∅-definierbare Formel φ_{α}(x̄, z̄) sowie ganze Zahlen n_{α}, k_{α} mit folgenden Eigenschaften:

(a) Die Länge von x̄ ist n_{α} = 2k_{α}.

(b) φ_{α}(x̄, b̄) ist eine Teilmenge von (ℂ^{∗})^{n_{α}}.

(c) φ_{α}(x̄, b̄) ist entweder leer oder hat Morleyrang k_{α} und Morleygrad 1.

(d) Ist φ_{α}(x̄, b̄) ≠ ∅, so ist φ_{α}(x̄, b̄) minimal prälgebraisch und besitzt einen irreduziblen Zariski-Abschluss V_{α}(x̄, b̄).

(e) Sei φ_{α}(x̄, b̄) ≠ ∅. Dann gilt δ(ā/B) ≤ 0 für alle b̄ ∈ B und ā ⊧ φ_{α}(x̄, b̄), wobei δ(ā/B) = 0 genau dann, wenn ā ∈ ⟨B⟩ oder ā in φ_{α}(x̄, b̄) über B generisch ist.

(f) Jedes multiplikative Translat φ_{α}(x̄ · \overline{m}, b̄) für \overline{m} ∈ (ℂ^{∗})^{n_{α}} von φ_{α}(x̄, b̄) wird ebenfalls von φ_{α}(x̄, z̄) kodiert.

(g) Falls ∅ ≠ φ_{α}(x̄, b̄) ∼ φ_{α}(x̄, b̄′), so ist b̄ = b̄′.

Aus (g) folgt, daß b̄ der kanonische Parameter des von φ_{α}(x̄, b̄) bestimmten minimal präalgebraischen Typs ist.

Lemma 4.8. Jede minimal präalgebraische Menge X läßt sich von einem Kode α kodieren.

Beweis. Sei V_{α}(x̄, b̄) die von X bestimmte irreduzible Varietät. Dann ist V_{α}(x̄, b̄) Kodevarietät; wegen Lemma 4.3 gibt es eine Formel θ(z̄), so daß V_{α}(x̄, b̄′) — und somit auch jedes multiplikative Translat von V_{α}(x̄, b̄′) — eine Kodevarietät ist für alle b̄′ ⊧ θ. Sei nun φ_{1}(x̄, z̄) ⊆ V_{α}(x̄, z̄) wie in Lemma 4.4. Dann genügt auch für jedes multiplikative Translat V_{α}(x̄ · \overline{m}, z̄) das zugehörige Translat φ_{1}(x̄ · \overline{m}, z̄) ⊆ V_{α}(x̄ · \overline{m}, z̄) der Aussage von Lemma 4.4. Wir setzen

φ_{α}(x̄, z̄z̄′) := V (x̄ · z̄′, z̄) ∧ φ_{1}(x̄ · z̄′, z̄) ∧ θ(z̄).

Dann kodiert φ_{α} die Menge X und erfüllt Eigenschaften (a)–(f). Wegen Definierbarkeit der Äquivalenz ∼ und Imaginärenelimination kann man annehmen, daß sie auch (g) erfüllt. □

Wir setzen θ_{α}(z̄) := ∃x̄ φ_{α}(x̄, z̄).

Lemma 4.9. Seien α und β Kodes wie in 4.7. Dann existiert eine endliche Menge von Korrespondenztori G(α, β) in (ℂ^{∗})^{2n_{α}}, so daß gilt: Ist φ_{α}(x̄, b̄) ≠ ∅ und induziert T eine Toruskorrespondenz zwischen φ_{α}(x̄, b̄) und φ_{β}(x̄, b̄′), so ist T ∈ G(α, β).

Beweis. Falls es keine Toruskorrespondenz zwischen Instanzen von α und β gibt, so setze G(α, β) := ∅. Sonst seien T, b̄ und b̄′ wie oben beschrieben. Sei V_{α} die zu α gehörige Familie von Kodevarietäten, und V_{β} die entsprechende Familie für β. Zudem sei T (V_{α} × V_{β}) = {T_{0}, …, T_{ν}}. Sei B := acl(b̄b̄′); wir betrachten eine B–generische Lösung (ā, ā′) von (V_{α}(x̄, b̄) × V_{β}(x̄′, b̄′)) ∩ T.

Ist W ⊆ (V_{α} × V_{β}) ∩ T der Locus von (ā, ā′) über B, dann ist T der minimale Torus von W, und dim(W) = cd(W) = k_{α}.

Es genügt nun zu zeigen, daß W ⊆ (V_{α} × V_{β}) cd-maximal ist, da dann notwendigerweise T aus T (V_{α} × V_{β}) stammt. Sei also W′ Varietät mit W ⊊ W′ ⊆ (V_{α} × V_{β}); wir können annehmen, daß auch W′ über B definiert ist. Ist (ḡ, ḡ′) generisch in W′ über B, dann ist cd(W′) = ldim(ḡ, ḡ′/B) − dim(ḡ, ḡ′/B). Man hat also

cd(W′)= [ldim(ḡ/B) − dim(ḡ/B)] + [ldim(ḡ′/Bḡ) − dim(ḡ′/Bḡ)]

= cd(W) + ldim(ḡ′/Bḡ) − dim(ḡ′/Bḡ) > cd(W) − δ(ḡ′/Bḡ) ≥ cd(W).

Die echte Ungleichung gilt, da dim(ḡ′/Bḡ) > 0 ist aufgrund von W ⊊ W′. Die letzte Ungleichung gilt, da ḡ′ über B in V_{β} generisch ist, insbesondere also φ_{β}(x̄, b̄′) realisiert. □

Satz 4.10. Es existiert eine Menge C von Kodes mit folgenden Eigenschaften:

(1) Zu jeder minimal präalgebraischen definierbaren Menge X existiert ein Kode α aus C und ein Korrespondenztorus T, so daß X von α und T kodiert wird.

(2) Der Kode α ∈ C aus (1) ist eindeutig bestimmt, und zu gegebenem X gibt es nur endlich viele Korrespondenztori T, so daß X von α und T kodiert wird (uniform in X).

Beweis. Wir konstruieren die Klasse C induktiv als wachsende Vereinigung endlicher Mengen C_{i}. Genau genommen kodieren wir minimal präalgebraische Teilmengen von (ℂ^{∗})^{n} für alle n einzeln. Sei also n ≥ 2 fest und (X_{i} : i < ω) eine Aufzählung aller minimalen präalgebraischen definierbaren Teilmengen von (ℂ^{∗})^{n} bis auf Isomorphismus. Sei α_{0} ein Kode für X_{0} wie in 4.8; wir setzen C_{0} = {α_{0}}.

Angenommen C_{i} ist schon definiert und kodiert alle X_{j} für alle j ≤ i. Falls X_{i+1} durch ein Element in C_{i} und einen Korrespondenztorus T kodiert wird, so setzten wir C_{i+1} = C_{i}. Andernfalls gibt es einen Kode α_{i+1} und b̄_{0} wie in 4.8, die X_{i+1} kodieren. Definiere :

ρ(z̄) := ∀ȳ( ⋀_{k=0}^{i} ⋀_{T ∈G(α_{k},α_{i+1})} ¬χ_{α_{k},α_{i+1}}^{T}(ȳ, z̄)) ,

wobei χ_{α,β}^{T}(b̄, b̄′) ausdrücke, daß T eine Toruskorrespondenz zwischen φ_{α}(x̄, b̄) und φ_{β}(x̄, b̄′) induziert (das ist definierbar).

Die Formel φα̂(x̄, z̄) := φ_{α_{i+1}}(x̄, z̄) ∧ ρ(z̄) erfüllt Eigenschaften (a)–(g) von Definition 4.7; wir überprüfen Eigenschaft (f). Sei m̄ in (ℂ^{∗})^{n}. Angenommen φα̂(x̄·m̄, b̄) läßt sich nicht von φα̂ kodieren. Das bedeutet, daß es k ≤ i und ein T ∈ G(α_{k}, α_{i+1}) gibt, so daß T eine Toruskorrespondenz zwischen φ_{α_{k}}(x̄, b̄_{1}) und φ_{α_{i+1}}(x̄ · m̄, b̄) induziert. Sei m̄_{1} ∈ (ℂ^{∗})^{n_{α}} mit (m̄_{1}, m̄) ∈ T. Dann induziert T eine Toruskorrespondenz zwischen φ_{α_{k}}(x̄·m̄_{1}^{−1}, b̄_{1}) und φ_{α_{i+1}}(x̄, b̄). Nach Kodeeigenschaft (f) wird aber φ_{α_{k}}(x̄ · m̄_{1}^{−1}, b̄_{1}) ebenfalls von φ_{α_{k}} kodiert, und wir erhalten einen Widerspruch. Daher können wir C_{i+1} = C_{i} ∪ {α̂} setzen.

Ist X eine beliebige minimal präalgebraische definierbare Menge, so ist X isomorph zu X_{i} für ein i < ω. Aus der Konstruktion von C folgt leicht, daß es einen eindeutigen Kode α ∈ C und endlich viele Korrespondenztori gibt, die X_{i} und somit auch X kodieren (letzteres folgt aus der Endlichkeit von G(α, α), siehe Lemma 4.9). □

Definition 4.11. Die Elemente von C nennen wir gute Kodes.

5. Differenzenfolgen

Wir verwenden folgendes Lemma, das (in allgemeinerer Form) von M. Ziegler in der unveröffentlichten Arbeit [20] bewiesen wurde.

Lemma 5.1. Sei A algebraisch abgeschlossen. Falls ā, b̄ und ā · b̄ paarweise unabhängig über A sind, ist tp(ā/A) generisch in einer A-definierbaren Nebenklasse eines Torus.

Dies ist wichtig, da eine Kodevarietät keine Torusnebenklasse sein kann, wie schon Mustafin bemerkt hat [14, Proposition 3.1]:

Lemma 5.2. Sei V eine Kodevarietät. Dann ist der multiplikative Stabilisator von V endlich. Insbesondere ist V keine Nebenklasse eines Torus.

Beweis. Sei V = Vb̄ = V (x̄, b̄) und T = stab(V)^{0}, ein Torus nach Anmerkung 2.1. Wir wählen ḡ generisch in V und ā generisch in T über b̄ḡ. Insbesondere gilt ā | ⌣b̄ ḡ, und nach Definition des Stabilisators ist auch ā · ḡ generisch in V über b̄. Dann ist δ(ā/ḡ, b̄) = δ(ā/b̄) = dim(T). Andererseits ist δ(ā · ḡ/ḡ, b̄) ≤ 0, da V eine Kodevarietät ist. Da ā · ḡ und ā über ḡb̄ multiplikativ interdefinierbar sind, folgt dim(T) = 0. □

Definition 5.3. Sei (ē_{0}, …, ē_{λ}) eine Folge der Länge λ + 1. Die i-te Ableitung ∂_{i} bildet (ē_{0}, …, ē_{λ}) auf (ē_{0} · ē_{i}^{−1}, …, ē_{i−1} · ē_{i}^{−1}, ē_{i}^{−1}, ē_{i+1} · ē_{i}^{−1}, …, ē_{λ} · ē_{i}^{−1}) ab; eine Folge, die durch endlichmaliges Anwenden von Operatoren ∂_{i} für i ≤ λ entsteht, heißt abgeleitete Folge. Ist ν < λ und benutzt die Ableitung nur Operationen ∂_{i} für i ≤ ν, so spricht man von einer ν–abgeleiteten Folge.

Bemerkung 5.4. Für jedes λ gibt es nur endlich viele verschiedene Ableitungen (genauer gibt es (λ + 2)! viele). Zudem sind die Ableitungen unter Permutationen abgeschlossen, da die Transposition (ij) gleich ∂_{j} ∘ ∂_{i} ∘ ∂_{j} ist, wie man leicht durch Nachrechnen erhält.

Für jeden Kode α ∈ C sei m_{α} < ω, so daß für alle b̄ ⊧ θ_{α} gilt: b̄ ist definierbar über einer (also jeder) Morley-Folge in φ_{α}(x̄, b̄) der Länge m_{α}.

Satz 5.5. Für jedes α in C und λ ≥ m_{α} gibt es eine Formel ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{λ}) (deren Realisierungen Differenzenfolgen gennant werden) mit folgenden Eigenschaften:

(h) Aus ⊧ ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{λ}) folgt ē_{i} ≠ ē_{j} für i ≠ j.

(i) Für jedes b̄ ⊧ θ_{α} und jede Morleyfolge {ē_{0}, …, ē_{λ}, f̄} von φ_{α}(x̄, b̄) gilt

⊧ ψ_{α}(ē_{0} · f̄^{−1}, …, ē_{λ} · f̄^{−1}).

(j) Gegeben eine Realisierung (ē_{0}, …, ē_{λ}) von ψ_{α} gibt es ein eindeutig bestimmtes b̄ mit ⊧ φ_{α}(ē_{i}, b̄) für i = 0, …, λ. Ferner ist b̄ im definierbaren Abschluß jedes Segments der Länge m_{α} der ē_{i}. Wir nennen b̄ den kanonischen Parameter der Differenzenfolge ē_{0}, …, ē_{λ}.

(k) Falls ⊧ ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{λ}), dann gilt für jedes m_{α} ≤ λ′ < λ auch ⊧ ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{λ′}).

(l) Sei i ≠ j. Gegeben eine Realisierung (ē_{0}, …, ē_{λ}) von ψ_{α} mit kanonischem Parameter b̄ wie in (j), T in G(α, α) und ē′_{j} mit (ē_{j}, ē′_{j}) ∈ T, so ist ē_{i} |̸ ⌣b̄ ē′_{j} ·ē_{i}^{−1} für eine generische Realisierung ē_{i} von φ_{α}(x̄, b̄).

(m) Falls ⊧ ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{λ}), dann gilt ⊧ ψ_{α}(∂_{i}(ē_{0}, …, ē_{λ})) für i ∈ {0, …, λ}.

Beweis. Wir konstruieren ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{λ}) rekursiv in λ.

Betrachte die folgende typ-definerbare Eigenschaft Σ(ē_{0}, …, ē_{λ}):

Es gibt ein b̄′ und eine Morleyfolge ē′_{0}, …, ē′_{λ}, f̄ von φ_{α}(x̄, b̄′) mit

ē_{i} = ē′_{i} · f̄^{−1}.

Offensichtlich erfüllt Σ Eigenschaften (h)–(k) und (m). Man beachte, daß (ē_{i} : i ≤ λ) über b̄′f̄ eine Morleyfolge ist; insbesondere liegt ihr kanonischer Parameter b̄ in acl(b̄′f̄). Sei T ∈ G(α, α) und (ē_{j}, ē_{j}^{∗}) ∈ T. Dann ist ē_{j}^{∗} ∈ acl(ē_{j}) und somit ē_{j}^{∗} | ⌣b̄ ē_{i} für i ≠ j. Wäre nun ē_{i} | ⌣b̄ ē_{j}^{∗}·ē_{i}^{−1}, so wären ē_{i}^{−1}, ē_{j}^{∗} und ē_{j}^{∗}·ē_{i}^{−1} paarweise unabhängig über b̄, denn wegen

MR(ē_{j}^{∗}/b̄, ē_{j}^{∗} · ē_{i}^{−1}) = MR(ē_{i}/b̄, ē_{j}^{∗} · ē_{i}^{−1}) = MR(ē_{i}/b̄) = MR(ē_{j}/b̄) = MR(ē_{j}^{∗}/b̄) hätte man dann auch ē_{j}^{∗} | ⌣b̄ ē_{j}^{∗} · ē_{i}^{−1}. Nach Lemma 5.1 wäre tp(ē_{i}^{−1}/b̄) generisch in einer Torusnebenklasse. Das gälte dann auch für tp(ē_{i}/b̄); da ē_{i} generisch in φ_{α}(x̄, b̄) ist, widerspräche das Lemma 5.2. Somit gilt auch Eigenschaft (l).

Wegen Kompaktheit gibt es einen endlichen Teil ψ_{0} von Σ, der (h)–(l) impliziert; wir wählen

ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{λ}) := ⋀_{∂ Ableitung} ψ_{0}(∂(x̄_{0}, …, x̄_{λ})).

□

6. Grüne Farbe

Wir betrachten von nun an eine Spracherweiterung L^{∗} := L_{Morley}∪{Ü}, wobei Ü ein neues einstelliges Prädikat ist, das uns die grüne Färbung gibt. Wir betrachten L^{∗}-Strukturen (A, Ü(A)), wobei A aus D ist (d.h. A = ⟨A⟩ ⊆ ℂ) und Ü(A) eine divisible torsionsfreie Untergruppe von A\{0}, also ein ℚ-Vektorraum ist. Schreiben wir B ⊆ A für solche L^{∗}-Strukturen B und A, so gelte zudem Ü(A) ∩ B = Ü(B).

Wir ändern nun leicht die Definition der Funktion δ. Sei A eine L^{∗}-Struktur wie eben beschrieben, endlich erzeugt i.S.v. ⟨·⟩. Man setzt dann δ(A) := 2 dim(A)− ldim(Ü(A)). Ist B ⊆ A, und ist A endlich erzeugt über B, oder allgemeiner dim(A/B) sowie ldim(Ü(A)/ Ü(B)) endlich, so setzt man

δ(A/B) := 2 dim(A/B) − ldim(Ü(A)/ Ü(B)).

Das ist äquivalent zum Vorgehen von Poizat in [17, Section 3]. Sprechen wir im folgenden von Basen, erzeugen, linear (un-)abhängig und ähnlichen Begriffen aus der linearen Algebra, so denken wir stets an die zugrundeliegende L_{mult}-Struktur. Begriffe wie generisch, Morleyfolge, unabhängig, transzendent sowie algebraisch beziehen sich hingegen auf die Theorie ACF_{0}, wenn sie nicht anders spezifiziert werden. Unter acl(M) verstehen wir also den körpertheoretischen algebraischen Abschluss von M.

Bemerkung 6.1. Sei B ⊆ A wie eben. Besitzt A eine grüne Basis über B (d.h. A = ⟨Ü(A)B⟩), so stimmt obige Definition von δ(A/B) mit der in Abschnitt 3 gegebenen überein. Insbesondere gilt für grüne Realisierungen ā einer Kodeinstanz φ_{α}(x̄, b̄) also Kodeeigenschaft (e) aus Definition 4.7.

Sei B ⊆ A. Wie üblich sagt man, daß B selbstgenügsam (oder stark) in A ist, falls δ(A′/B) ≥ 0 für alle über B endlich erzeugten A′ = ⟨A′⟩ ist. Man schreibt hierfür B ≤ A. Ist b̄ ∈ B mit B = ⟨b̄⟩, so schreiben wir auch b̄ ≤ A, falls B ≤ A gilt. In gleicher Weise setzen wir δ(ā/b̄) := δ(⟨āb̄⟩/⟨b̄⟩).

Lemma 6.2. Alle Strukturen seien in einer gemeinsamen L^{∗}-Struktur M enthalten.

(1) Für B ⊆ C ⊆ A gilt δ(A/B) = δ(C/B) + δ(A/C).

(2) δ(⟨AB⟩/B) ≤ δ(A/A ∩ B). (Submodularität)

(3) Ist C ≤ M und C′ ≤ M, so ist auch C ∩ C′ ≤ M.

(4) Für jedes A ⊆ M existiert ein eindeutiges A ⊆ C = ⟨C⟩ ⊆ M, das minimal ist mit der Eigenschaft C ≤ M. Man nennt C den selbstgenügsamen Abschluß von A (in M) und schreibt hierfür cl_{M}(A).

(5) Sei (A_{i})_{i<α} eine aufsteigende Folge mit A_{i} ≤ K für alle i < α. Dann gilt auch ⋃_{i} A_{i} ≤ M.

Wir interessieren uns für die Klasse K := {M | ∅ ≤ M}. Im Unterschied zu [17] betrachten wir also nicht nur L^{∗}-Strukturen, deren L_{Ring}-Redukte algebraisch abgeschlossene Körper sind, sondern zunächst lediglich Expansionen von Strukturen aus D mit erblich nichtnegativer Prädimension δ.

Konvention 6.3. Von nun an sei δ stets die mit Hilfe der grünen Punkte definierte Prädimension. Sprechen wir im folgenden von Realisierungen ā eines Kodes oder von Differenzenfolgen (ē_{0}, …, ē_{λ}), so gehen wir stillschweigend davon aus, daß die Tupel ā respektive ē_{i} nur aus grünen Elementen bestehen.Weiterhin nennen wir eine Erweiterung M ≤ N in K minimal präalgebraisch, wenn N/M minimal präalgebraisch als Erweiterung von Strukturen in D ist, und zusätzlich N eine grüne Basis über M besitzt.

Sei B ≤ A eine starke Erweiterung in K, mit ldim(A/B) < ∞. Wie üblich kann man dann eine Zerlegung von B ≤ A in einen Turm B = A_{0} ≤ A_{1} ≤ … ≤ A_{n−1} ≤ A_{n} = A finden, so daß A_{i+1}/A_{i} eine minimal starke Erweiterung ist für alle i < n. Dabei heiße eine starke Erweiterung M ≤ N in K (mit M ⊊ N) minimal (stark), wenn es kein M′ = ⟨M′⟩ gibt mit M < M′ < N. Ohne Mühe erhalten wir

Lemma 6.4. Sei B ≤ A minimale Erweiterung in K. Dann gibt es folgende Fälle:

(1) algebraisch: Ü(A) = Ü(B) und A = ⟨Ba⟩ für ein a ∈ acl(B) \ B. Es ist dann δ(A/B) = 0.

(2) weiß generisch: Ü(A) = Ü(B) und A = ⟨Ba⟩ für ein über B transzendentes a. Dann ist δ(A/B) = 2.

(3) grün generisch: A besitzt eine aus einem Element a bestehende grüne Basis über B, wobei a transzendent ist über B. Dann ist δ(A/B) = 1.

(4) minimal präalgebraisch: B ≤ A ist minimal präalgebraisch im Sinne von 6.3, d.h. A besitzt eine grüne Basis ā über B, so daß der (starke) Typ von ā über B minimal präalgebraisch ist. Dann ist δ(A/B) = 0.

Die Klasse K läßt sich axiomatisieren, was sich leicht aus dem folgenden in [17] gezeigten Resultat ergibt:

Satz 6.5. Sei (M, Ü(M)) eine L^{∗}-Expansion eines algebraisch abgeschlossenen Körpers der Charakteristik 0. Dann ist M ∈ K genau dann, wenn folgende (definierbare) Bedingungen erfüllt sind:

(1) Ü(M) ist eine divisible torsionsfreie Untergruppe der multiplikativen Gruppe von M.

(2) Ü(M) enthält keinen algebraischen Punkt ≠ 1.

(3) Ist V (x̄) ⊆ (ℂ^{∗})^{2n+1} eine ∅-definierte n-dimensionale Varietät, T (V) = {T_{0}, …, T_{r}} wie in 2.2 und ist ā ∈ V ∩ Ü(M), so gilt ā ∈ T_{i} für ein i > 0.

Genau genommen folgt (2) aus (1) und (3), was aber für unsere Belange unwesentlich ist.

Die Kategorie K zusammen mit den starken Abbildungen besitzt die Amalgamierungseigenschaft (AP), ist zusammenhängend (hat JEP), und enthält bis auf Isomorphie nur abzählbar viele endlich erzeugte Strukturen. Man kann also den Fraïssé-Hrushovski-Limes M_{ω} der endlich erzeugten Strukturen aus (K, ≤) konstruieren. Man nennt M_{ω} auch das generische Modell. Sei T_{ω} die L^{∗}-Theorie von M_{ω}. Eines der Hauptresultate in [17] lautet wie folgt:

Satz 6.6. Das generische Modell M_{ω} ist ω-saturiert. Die Theorie T_{ω} ist ω-stabil von Morleyrang ω · 2, und Ü besitzt Morleyrang ω.

Bemerkung 6.7. Ist Vz̄(x̄) : z̄ ⊧ θ) eine Familie von Kodevarietäten und φ_{1}(x̄, z̄) wie in Lemma 4.4, so definiert φ_{1}(x̄, b̄) ∧ ⋀_{i=1}^{n} Ü(x_{i}) für alle b̄ ⊧ θ eine streng minimale Menge in der Theorie T_{ω}.

7. Ein grünes kombinatorisches Lemma

Definition 7.1. Seien B, A und M aus K, mit B ≤ A und B ≤ M. Eine L^{∗}- Struktur M′ aus K ist ein Amalgam von A und M über B, wenn A und M über B stark in M′ eingebettet sind und M′ = ⟨M, A⟩ ist (wir identifizieren A und M mit den Bildern unter der jeweiligen Einbettung). Sind zudem M und A algebraisch unabhängig über B mit M ∩ A = B, so nennen wir M′ ein freies Amalgam.

Wie in Poizats Arbeit [17] erhalten wir:

Lemma 7.2. Seien M, A und B aus K mit B ≤ A und B ≤ M. Dann existiert in K ein Amalgam M′ von A und M über B, so daß A und M über B algebraisch unabhängig sind. Ist insbesondere B relativ algebraisch abgeschlossen in A oder in M, so kann das Amalgam frei gewählt werden.

Der nachstehende Beweis erklärt wie man — uniform in den Parametern — eine untere Schranke für die Länge einer beliebigen Differenzenfolge finden kann, so daß sie eine Morleyteilfolge über eine starke Teilmenge enthält.

Lemma 7.3. Für jeden Kode α und alle natürlichen Zahlen n existiert eine Zahl λ_{α}(n) = λ ≥ 0, so daß für jede starke Erweiterung M ≤ N in K und jede Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ}) für α in N mit kanonischem Parameter b̄ und μ ≥ λ gilt: Entweder liegt der kanonische Parameter einer λ-abgeleiteten Folge von (ē_{0}, …, ē_{μ}) in acl(M), oder die Folge (ē_{0}, …, ē_{μ}) enthält eine Morley-Teilfolge für φ_{α}(x̄, b̄) über M der Länge n.

Beweis. Sei (ē_{0}, …, ē_{μ}) wie oben gegeben und der erste Fall trete nicht ein. Wir definieren

X_{1} = {i ∈ [m_{α}, μ] : ē_{i} ist generisch über M ∪ {ē_{0}, …, ē_{i−1}}},
X_{2} = {i ∈ [m_{α}, μ] : ē_{i} ⊆ ⟨M ∪ {ē_{0}, …, ē_{i−1}}⟩},
X_{3} = [m_{α}, μ] \ (X_{1} ∪ X_{2}).

Nach einer Permutation der Indizes können wir X_{1} < X_{3} < X_{2} annehmen; dies kann allenfalls dazu führen, daß Indizes aus X_{2} nach X_{3} ∪ X_{1} und Indizes aus X_{3} nach X_{1} wechseln. Da b̄ ∈ dcl(ē_{0}, …, ē_{m_{α}−1}) ist, gilt nach Kodeeigenschaft (e)

δ(ē_{i}/M, ē_{0}, …, ē_{i−1}) ≤ −1 für i ∈ X_{3} und
δ(ē_{i}/M, ē_{0}, …, ē_{i−1}) = 0 für i ∈ X_{1} ∪ X_{2}.

Da M ≤ N ist, erhalten wir

\begin{matrix}0 & ≤ δ(ē_{0}, …, ē_{μ}/M) ≤ δ(ē_{0}, …, ē_{m_{α}−1}/M) + ∑_{i=m_{α}}^{μ} δ(ē_{i}/M, ē_{0}, …, ē_{i−1}) \\ ≤ m_{α}n_{α} + (−1)|X_{3}| , \end{matrix}

und somit |X_{3}| ≤ m_{α}n_{α}.

Sei r = m_{α} + |X_{1}| + |X_{3}|, s = r(n_{α} + 1) und I ⊆ {r, …, μ} mit |I| = rn_{α} + 1; zur Vereinfachung der Notation nehmen wir zuerst an, daß I = {r, …, s} ist. Seien W_{0} ⊂ V_{0}, …, W_{h} ⊂ V_{h} Varietäten (wobei wir die V_{i} irreduzibel wählen), so daß ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{s}) gleich ⋃_{i≤h}(V_{i} \W_{i}) ist, und es sei {T_{0}, …, T_{ℓ}} = ⋃_{i≤h} T (V_{i}). Dann gibt es ein i_{0} ≤ h mit (ē_{0}, …, ē_{s}) ∈ V_{i_{0}} \ W_{i_{0}}; sei W der Locus dieses Tupels über acl(M). Sei W′ mit W ⊆ W′ ⊆ V_{i_{0}} maximal, so daß cd(W′) ≤ cd(W) ist. Dann ist W′ cd-maximal, und es gibt j ∈ {0, … ℓ}, so daß T_{j} minimaler Torus für W′ ist. Sei m̄ mit W′ ⊆ m̄·T_{j}∩V_{i_{0}}; da W ⊆ m̄·T_{j} ist, können wir m̄ ∈ acl(M) wählen, und ohne Einschränkung ist W′ ebenfalls über acl(M) definiert. Ist (ā_{0}, …, ā_{s}) generischer Punkt von W′ über acl(M), der grün gefärbt wird, so liegt er in V_{i_{0}} \ W_{i_{0}}, da (ē_{0}, …, ē_{s}) Spezialisierung von (ā_{0}, …, ā_{s}) ist und V_{i_{0}} \W_{i_{0}} offen in seinem Zariski-Abschluss ist. Mithin gilt ψ_{α}(ā_{0}, …, ā_{s}). Aber

r · n_{α}≥ ldim(ē_{0}, …, ē_{r−1}/M) = ldim(ē_{0}, …, ē_{s}/M) ≥ cd(W) ≥ cd(W′)
= ∑_{i≤s}(ldim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}) − dim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1})

≥ ∑_{r≤i≤s}(ldim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}) − dim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}).

Nach Kodeeigenschaft (e) gilt δ(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}) ≤ 0 für i ≥ r ≥ m_{α}, d.h.

2 dim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}) ≤ ldim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}).

Für ā_{i} ∉ ⟨acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}⟩ ist demzufolge

ldim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}) − dim(ā_{i}/ acl(M), ā_{0}, …, ā_{i−1}) ≥ 1.

Folglich gibt es ein t ∈ {r, …, s} mit ā_{t} ∈ ⟨acl(M), ā_{0}, …, ā_{t−1}⟩, und das wird durch die Torusnebenklasse m̄ · T_{j} induziert. Damit induziert m̄ · T_{j} aber auch ē_{t} ∈ ⟨acl(M), ē_{0}, …, ē_{t−1}⟩.

Die möglichen Paare (t, j) definieren eine (rn_{α} +1)(ℓ+1)-Färbung der (rn_{α} +1)- Teilmengen I von {r, …, μ}. Nach dem (endlichen) Satz von Ramsey gibt es eine Zahl μ_{0}, so daß für μ ≥ μ_{0} eine einfarbige Teilmenge J ⊆ {r, …, μ} mit |J| ≥ m_{α} + rn_{α} + 1 existiert. D.h. es gibt ein t ∈ {r, …, s} und ein j ≤ ℓ, so daß für alle i_{r} < ⋯ < i_{s} aus J

ē_{i_{t}} ∈ ⟨acl(M), ē_{0}, …, ē_{r−1}, ē_{i_{r}}, ē_{i_{r+1}}, …, ē_{i_{t−1}}⟩,

und dies wird durch m̄ · T_{j} für ein m̄ aus acl(M) induziert (man beachte, daß das Tupel m̄ ∈ acl(M) variiert). Sei γ_{i} das (t + i)-te Element aus J. Für i > 0 liegt dann ē_{γ_{i}} · ē_{γ_{0}}^{−1} in acl(M). Damit ist dann aber auch der kanonische Parameter der abgeleiteten Folge ∂_{γ_{0}}(ē_{0}, …, ē_{μ}) in

acl(ē_{γ_{1}} · ē_{γ_{0}}^{−1}, …, ē_{γ_{mα}} · ē_{γ_{0}}^{−1}) ⊆ acl(M),

im Widerspruch zur Annahme.

Somit erhalten wir eine obere Schranke für μ in Abhängigkeit von r, und damit eine untere Schranke für X_{1} in Abhängigkeit von μ. □

8. Präalgebraisches Entkommen aus K^{μ}

Wir wählen nun Funktionen μ^{∗}, μ : C → ℕ mit endlichen Fasern, die folgenden Bedingungen genügen:

μ^{∗}(α) ≥ n_{α}k_{α} + 1,
μ^{∗}(α) ≥ λ_{α}(m_{α} + 1),
μ(α) ≥ λ_{α}(μ^{∗}(α)).

Definition 8.1. K^{μ} sei die Teilklasse aller M aus K, so daß in M für jeden guten Kode α jede (grüne) Differenzenfolge für α höchstens die Länge μ(α) besitzt.

Relativ zu ACF_{0} kann man K^{μ} universell axiomatisieren. Alle Modelle der zu konstruierenden Theorie T^{μ} werden in K^{μ} liegen. Damit werden präalgebraische grüne Erweiterungen von starken Teilmengen zu algebraischen Erweiterungen im Sinne von T^{μ}. Um die Vollständigkeit von T^{μ} zu sichern, wollen wir fordern, daß es für jeden guten Kode möglichst viele Realisierungen gibt. Diese Eigenschaft soll durch die Axiome von T^{μ} elementar beschrieben werden.

Lemma 8.2. Sei M ∈ K^{μ}, und M′ ∈ K \ K^{μ} minimal präalgebraische Erweiterung von M. Sei (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) eine Differenzenfolge für einen guten Kode α in M′, so daß der kanonische Parameter b̄ in acl(M) liegt. Dann existiert ein i, so daß alle ē_{j} mit i ≠ j in M liegen und ē_{i} eine M-generische Realisierung von φ_{α}(x̄, b̄) ist mit ⟨Mē_{i}⟩ = M′.

Beweis. Wir können oBdA annehmen, daß M = acl(M) ist – falls nicht, so definieren wir eine L^{∗}-Struktur auf acl(M), indem wir Ü(acl(M)) = Ü(M) fordern. Wegen Minimalität der Erweiterung M′/M ist M in M′ relativ algebraisch abgeschlossen, und wir können M′ durch ⟨M′ acl(M)⟩ ersetzen. Da M ≤ M′ ist, gilt aufgrund von Kodeeigenschaft (e) für jedes j, daß ē_{j} in M liegt oder generische Realisierung von φ_{α}(x̄, b̄) über M ist. Da M in K^{μ} liegt, gibt es ein generisches ē_{i}; wegen Minimalität der Erweiterung gilt M′ = ⟨Mē_{i}⟩. Wäre nun ē_{j} mit j ≠ i eine zweite M-generische Lösung, so gäbe es wegen M′ = ⟨Mē_{i}⟩ = ⟨Mē_{j}⟩ ein Tupel m̄ in M und einen Korrespondenztorus T ∈ G(α, α) mit

(ē_{i} · m̄, ē_{j}) ∈ T.

Sei ē′_{j} := ē_{i} ·m̄. Insbesondere ist also ē′_{j} ·ē_{i}^{−1} ∈ M. Da ē_{i} generisch über M ist, folgt

ē_{i} | ⌣_{b̄} ē′_{j} · ē_{i}^{−1},

im Widerspruch zur Eigenschaft (l) der Differenzenfolgen. □

Folgerung 8.3. Seien M ∈ K^{μ}, und M′ ∈ K mit M ≤ M′ eine minimale Erweiterung. Ist ldim(M′/M) = 1, so liegt auch M′ ∈ K^{μ}. Andernfalls ist M′/M minimal präalgebraisch, und M′ liegt genau dann nicht in K^{μ}, wenn es einen guten Kode α ∈ C und eine Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) für α in M′ gibt, so daß einer der beiden folgenden Fälle auftritt:

a) ē_{0}, …, ē_{μ(α)−1} liegen in M, ⟨M, ē_{μ(α)}⟩ = M′, und α ist der eindeutig bestimmte gute Kode, der die Erweiterung M′ ≥ M beschreibt.

b) Eine Teilfolge der Länge μ^{∗}(α) ist eine Morleyfolge für φ_{α}(x̄, b̄) über Mb̄, wobei b̄ der kanonische Parameter der Folge ist.

Beweis. Wir betrachten zuerst den Fall ldim(M′/M) = 1. Falls Ü(M′) = Ü(M), so können in M′ keine neuen grünen Differenzenfolgen existieren, und M′ ∈ K^{μ}. Ansonsten ist ldim(Ü(M′)/M) = 1 und M′ = ⟨Ü(M′), M⟩ (das ist der grün generische Fall). Wäre M′ nicht in K^{μ}, so gäbe es einen guten Kode α und eine Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) für α in M′. Die Alternativen aus Lemma 7.3 implizieren die Existenz eines über Mb̄ generischen Elements ē der (eventuell abgeleiteten) Folge, wobei b̄ ihr kanonischer Parameter ist. Das führt zum Widerspruch

1 = ldim(M′/M) ≥ ldim(ē/Mb̄) ≥ 2.

Sei nun M′ über M minimal präalgebraisch. Sowohl aus a) als auch aus b) folgt, daß M′ nicht in K^{μ} ist. Ist umgekehrt M′ nicht in K^{μ}, so existiert ein guter Kode α und eine Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) für α in M′; sei b̄ ihr kanonischer Parameter. Können wir die Differenzenfolge so wählen, daß b̄ in acl(M) liegt, so befinden wir uns nach Lemma 8.2 im Fall a). Sonst besitzen auch alle abgeleiteten Differenzenfolgen keinen kanonischen Parameter in acl(M), und wegen μ(α) ≥ λ_{α}(μ^{∗}α)) und Lemma 7.3 befinden wir uns im Fall b).

Für die Eindeutigkeit des Kodes α betrachten wir einen zweiten guten Kode α′ mit M′ = ⟨M, ē_{μ(α′)}⟩. Dann ist n_{α} = n_{α′} = ldim(M′/M), und der Locus von (ē_{μ(α)}, ē_{μ(α′)}) über M bestimmt eine Nebenklasse eines Korrespondenztorus in G(α, α′). Da α ≠ α′ beide gut sind, ist aber G(α, α′) = ∅. □

Folgerung 8.4. Für jeden guten Kode α existiert eine ∀∃-Aussage χ_{α}, so daß eine Struktur M aus K^{μ} genau dann χ_{α} erfüllt, wenn sie in K^{μ} keine minimale präalgebraische Erweiterung besitzt, die durch α gegeben ist.

Beweis. Sei α ∈ C, M in K^{μ} und b̄ ∈ M, so daß eine generische Lösung ā von φ_{α}(x̄, b̄) eine minimal präalgebraische Erweiterung M[ā] := ⟨Mā⟩ von M erzeugt. Falls M[ā] nicht in K^{μ} liegt, gilt a) oder b) aus 8.3.

a) bedeutet, daß ein guter Kode α′ eine Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ(α′)}) in M′ besitzt, deren erste μ(α′) Elemente (und insbesondere der kanonische Parameter) in M liegen, so daß M[ā] = ⟨Mē_{μ(α′)}⟩ ist. Wegen der Eindeutigkeit des Kodes ist α = α′; da M ≤ M[ā] ist, muß ē_{μ(α)} generisch über M sein. Somit gehen ā und ē_{μ(α)} durch ℚ–Basiswechsel über M auseinander hervor. Das ist offenbar äquivalent zur Existenz eines grünen Tupels m̄ ∈ M und von T ∈ G(α, α), so daß T eine Toruskorrespondenz zwischen ψ_{α}(ē_{0}, …, ē_{μ(α)−1}, x̄) und φ_{α}(x̄·m̄, b̄) induziert. Dies können wir wegen der Endlichkeit von G(α, α) durch eine existenzielle Aussage mit Parametern b̄ ausdrücken.

b) bedeutet, daß ein guter Kode β eine Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ(β)}) in M[ā] mit μ^{∗}(β) vielen M-linear unabhängigen Gliedern besitzt. Wegen

n_{β}μ^{∗}(β) ≤ ldim(M[ā]/M) = n_{α}

kommen dafür nur endlich viele verschiedene β in Frage. Wir geben den Beweis zunächst unter folgender

Zusatzannahme: ψ_{β} ist von der Form V_{1}\W_{1}, wobei V_{1} eine irreduzible Varietät ist und W_{1} ⊊ V_{1} eine echte Untervarietät, beide über acl(∅) definiert.

Sei V_{0} = V_{α}(x̄, b̄) die zu φ_{α}(x̄, b̄) gehörige Kodevarietät, also der Locus von ā über acl(M). Sei V = V_{0} × V_{1}, und {T_{0}, …, T_{r}} = T (V_{α}(x̄, z̄) × V_{1}). Ist W ⊆ V der Locus von (ā, ē_{0}, …, ē_{μ(β)}) über acl(M), so sieht man leicht mit Lemma 3.2, daß cd(W) = cd(V_{0}) = k_{α} ist. Da W generisch auf V_{0} projiziert, gilt cd(W′) ≥ cd(W) für alle W′ ⊇ W. Sei T der minimale Torus von W und m̄ ∈ M mit W ⊆ m̄ · T. Die Nebenklasse m̄ · T enthält das grüne Tupel (ā, ē_{0}, …, ē_{μ(β)}).

Eine Torusnebenklasse c̄ · T, die ein grünes Tupel (in einer Oberstruktur in K) enthalten kann, wollen wir bunt nennen. Ist T durch ∏ x_{i}^{λ_{ij}} = 1 (j = 1, …, d) beschrieben, so überlegt man sich leicht, daß c̄· T genau dann bunt ist, wenn c′_{j} := ∏ c_{i}^{λ_{ij}} grün ist für j = 1, …, d. Ist c̄· T bunt und T ⊆ T′, so ist offenbar auch c̄· T′ bunt.

Wir wählen nun W′ maximal mit cd(W′) = cd(W) und W ⊆ W′ ⊆ V, so daß W′ über M definiert ist. Dann ist W′ cd-maximal, der minimale Torus von W′ also gleich einem der T_{i}, und es gilt W′ ⊆ m̄ · T_{i}. Da m̄ · T ⊆ m̄ · T_{i} und m̄ · T bunt ist, ist m̄ · T_{i} ebenfalls bunt. Sei (ā^{∗}, ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}) generisch in W′ über M. Da tp(ā^{∗}/M) = tp(ā/M), dürfen wir oBdA annehmen, daß ā^{∗} = ā. Aus cd(W′) = cd(W) = cd(V_{0}) folgt

ldim(ā, ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}/ acl(M))−dim(ā, ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}/ acl(M))
= ldim(ā/ acl(M)) − dim(ā/ acl(M))

und damit (∗) ldim(ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}/Mā) = dim(ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}/Mā) =: ℓ.

Man wähle nun in (ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}) eine L_{mult}-Basis f_{0}, …, f_{ℓ−1} über Mā. Wegen (∗) ist (f_{0}, …, f_{ℓ−1}) auch algebraisch unabhängig über Mā. Da m̄·T_{i} bunt ist, erhalten wir eine Struktur N aus K, wenn wir das Tupel (ā^{∗}, ē_{≤μ(β)}^{∗}) grün färben und unter ⟨·⟩ abschließen. Es gilt

N = ⟨Māē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}⟩ = ⟨M[ā]f_{0}, …, f_{ℓ−1}⟩,

wobei f_{0}, …, f_{ℓ−1} ein unabhängiges Tupel grün generischer Elemente ist. Setzt man F_{i} := ⟨Māf_{0}, …, f_{i−1}⟩, so ist F_{i} ≤ F_{i+1} eine grün generische Erweiterung für 0 ≤ i ≤ ℓ − 1. Sukzessives Anwenden von Folgerung 8.3 liefert:

(∗∗) M[ā] ∈ K^{μ} genau dann wenn N ∈ K^{μ}. Nun ist (ē_{0}, …, ē_{μ(β)}) Spezialisierung von (ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}), und beide liegen in V_{1}. Da nach der Zusatzannahme ψ_{β} Zariski-offen in V_{1} ist und (ē_{0}, …, ē_{μ(β)}) die Formel ψ_{β} erfüllt, gilt auch ⊧ ψ_{β}(ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}). Wir haben gezeigt, daß die Existenz einer grünen Differenzenfolge für β in M[ā] der Länge μ(β)+1 die Existenz einer ebensolchen Differenzenfolge in N = M[ā][f̄] impliziert, die auf eine von endlich vielen Arten entsteht. Umgekehrt reicht es wegen (∗∗), die Existenz von (ē^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}) ∈ N zu fordern, um zu garantieren, daß M[ā] ∉ K^{μ}. Man fordert:

• Es existiert ein Tupel m̄ ∈ M und eine irreduzible Komponente W′ von V ∩ m̄ · T_{i} (wobei V = V_{0} × V_{1} und V_{0} = V_{α}(x̄, b̄) wie oben) mit folgenden Eigenschaften:

(1) Die Nebenklasse m̄ · T_{i} ist bunt.

(2) W′ projiziert generisch auf V_{0}.

(3) Es gilt cd(W′) = cd(V_{0}).

(4) Für generisches (ā^{∗}, ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}) in W′ gilt ⊧ ψ_{β}(ē_{0}^{∗}, …, ē_{μ(β)}^{∗}).

Die Bedingungen (1)–(4) sind definierbar, man erhält also eine existentielle Aussage mit Parametern b̄, genauer gesagt für jeden der endlich vielen Tori T_{i} ∈ T (V_{α}(x̄, z̄)× V_{1}) eine, deren Disjunktion die gewünschte Formel liefert.

Ist ψ_{β} endliche Vereinigung von lokal abgeschlossenen Mengen V_{i} \ W_{i} (für 1 ≤ i ≤ t), so führen wir obiges Argument für jedes der i einzeln durch; χ_{α} ist dann die Disjunktion der erhaltenen Aussagen. □

9. Das Fraïssé-Modell

In diesem Kapitel zeigen wir, daß K^{μ} bezüglich starker Einbettungen die Amalgamierungseigenschaft besitzt. Damit erhalten wir ”reiche“ Körper im Sinne von Poizat [16]. Die Resultate im vorhergehenden Kapitel liefern nun folgende wichtige Schlußfolgerung:

Lemma 9.1. Seien A, B und M Strukturen in K^{μ}, wobei B sowohl starke Unterstruktur von A als auch von M ist. Sei M′ freies Amalgam von M und A über B, und (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) eine Differenzenfolge in M′ für einen guten Kode α. Dann gibt es eine abgeleitete Folge, deren kanonischer Parameter in acl(M) oder in acl(A) liegt.

Beweis. Wir nehmen an, daß die Behauptung des Lemmas nicht wahr ist. Dann erhalten wir nach zweimaligem Anwenden von Lemma 7.3 unter Benutzung der Bedingungen an μ(α) und μ^{∗}(α) eine Teilfolge der Länge m_{α} + 1, die sowohl Morleyfolge über M als auch über A ist. Wir bezeichnen sie oBdA mit (ē_{0}, ē_{1}, …, ē_{m_{α}}). Sei E = {ē_{0}, …, ē_{m_{α−1}}}. Dann liegt der kanonische Parameter b̄ der Folge in dcl(E), und

ē_{m_{α}} | ⌣_{b̄} ME  und  ē_{m_{α}} | ⌣_{b̄} AE .

Wir schreiben die Tupel in E als Produkte von grünen Tupeln in M und in A und definieren E_{M} als die Menge der Faktoren in M und E_{A} als die Menge der Faktoren in A. Sei E′ = E_{M} ∪ E_{A}. Dann gilt auch b̄ ∈ dcl(E′) und da E und E′ über M und über A interdefinierbar sind, gilt

ē_{m_{α}} | ⌣_{b̄} ME′  und  ē_{m_{α}} | ⌣_{b̄} AE′ ,

also auch

ē_{m_{α}} | ⌣_{BE′} M  und  ē_{m_{α}} | ⌣_{BE′} A .

Sei ē_{m_{α}} = m̄ · ā mit m̄ aus M und ā aus A. Da M | ⌣_{B} A auch M | ⌣_{BE′} A impliziert, ist {ē_{m_{α}}, m̄, ā} über BE′ paarweise unabhängig. Nach Lemma 5.1 ist dann stp(ē_{m_{α}}/BE′) generischer Typ einer Torusnebenklasse, im Widerspruch zu Lemma 5.2. □

Eine Einbettung von B in A ist stark, wenn das Bild von B in A starke Unterstruktur ist.

Satz 9.2. K^{μ} hat bezüglich starker Einbettungen die Amalgamierungseigenschaft.

Beweis. Seien B ≤ M und B ≤ A Strukturen in K^{μ}. Wir suchen eine Erweiterung M′ von M in K^{μ} mit M ≤ M′ und B ≤ A′ ≤ M′, wobei A und A′ isomorph über B sind. Wir können beide Erweiterungen B ≤ A und B ≤ M in Türme von minimalen Erweiterungen zerlegen und daher oBdA annehmen, daß A und M minimale Erweiterungen von B sind. Falls eine der Erweiterungen algebraisch ist, so adjungieren wir die entsprechenden Elemente im ⟨·⟩-Abschluß; da es keine neuen grünen Punkte gibt, erhalten wir eine Struktur in K^{μ} und die Behauptung ist gezeigt.

Andernfalls existiert nach Lemma 7.2 das freie Amalgam M′ von M und A über B. Wenn M′ ∈ K^{μ} ist, so sind wir fertig. Ansonsten zeigen wir, daß M zu A über B isomorph ist. Gemäß Folgerung 8.3 sind sowohl M als auch A über B minimal präalgebraisch. Nach Lemma 9.1 tritt nur der erste Fall von Folgerung 8.3 ein, und es gibt einen guten Kode α mit einer Differenzenfolge (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) in M′, deren kanonischer Parameter b̄ oBdA in acl(M) liegt. Nach Lemma 8.2 liegen (bei geeigneter Aufzählung) ē_{0}, …, ē_{μ(α)−1} in M und ē_{μ(α)} ist eine über M generische Realisierung von α.

Fall 1. Für eine (μ(α) − 1)-abgeleitete Differenzenfolge liegt der kanonische Parameter b̄ bereits in acl(B).

Wir arbeiten mit dieser Folge weiter und nennen sie weiterhin (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}). Wir zeigen zunächst, daß ē_{μ(α)} in A liegen muß. Andernfalls ist ē_{μ(α)} generisch in φ_{α}(x̄, b̄) über A und über M, und somit unabhängig von A und von M über B. Wir wählen grüne Tupel ā ∈ A und m̄ ∈ M mit ē_{μ(α)} = m̄ · ā. Dann sind ē_{μ(α)}, ā und m̄ paarweise unabhängig über B, im Widerspruch zu Lemmas 5.1 und 5.2.

Da A minimal präalgebraische Erweiterung von B ist, gilt A = ⟨B, ē_{μ(α)}⟩. Da A ∈ K^{μ}, gibt es ein ē_{i} in M \ B; wegen B ≤ M ist ē_{i} generisch über B nach Kodeeigenschaft (e). Dann induziert ē_{i} ↦ ē_{μ(α)} einen Isomorphismus von A und M über B.

Fall 2. Keine (μ(α) − 1)-abgeleitete Differenzenfolge besitzt einen kanonischen Parameter in acl(B).

Wie oben sei ē_{μ(α)} = m̄ · ā mit grünen Tupeln m̄ ∈ M und ā ∈ A. Da ē_{μ(α)} generisch über M ist, gilt 0 = δ(ē_{μ(α)}/M) = δ(ā/M), und ā erzeugt A über B linear. Wir wenden Lemma 7.3 auf B ≤ M′ und (ē_{0}, …, ē_{μ(α)}) an. Dann existiert eine Morley-Teilfolge der Länge μ^{∗}(α) über Bb̄. Da

μ^{∗}(α) ≥ n_{α}k_{α} + 1 > n_{α} ≥ MR(m̄/Bb̄),

existiert ein ē_{i} in M mit m̄ | ⌣_{Bb̄} ē_{i}. Insbesondere besitzen ē_{μ(α)} und ē_{i} denselben Typ über Bb̄m̄, und damit ebenso ā = m̄ · ē_{μ(α)}^{−1} und m̄ · ē_{i}^{−1}. Auf Grund der Minimalität induziert dann ā ↦ m̄ · ē_{i}^{−1} einen Isomorphismus von A und M über B. □

Poizat [16] folgend nennen wir eine L^{∗}-Struktur M in K^{μ} reich, wenn für jedes endlich erzeugte B ≤ M und jede endlich erzeugte starke Erweiterung B ≤ A in K^{μ} eine starke Unterstruktur A′ ≤ M existiert mit A ≃_{B} A′. Da jede algebraische starke Erweiterung einer Struktur aus K^{μ} wieder in K^{μ} liegt, sind reiche Strukturen bezüglich der Körpersprache algebraisch abgeschlossene Körper.

Folgerung 9.3. Es gibt eine abzählbare reiche Struktur in K^{μ}. Diese ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Alle reichen Strukturen sind L_{∞,ω}-äquivalent.

10. Die Axiome für T^{μ}

Sei T^{μ} die elementare Theorie der reichen Körper in K^{μ}. Zur Erinnerung: für ā, B ⊆ M ∈ K definiere δ(ā/B) := δ(⟨Bā⟩/⟨B⟩); wir sagen, daß B stark ist in M, falls ⟨B⟩ ≤ M.

Definition 10.1. Sei M ⊨ T^{μ} und B eine Teilmenge von M. Dann sei cl_{d}^{M}(B) die Vereinigung aller endlich erzeugten A ⊆ M mit δ(A/ cl(B)) = 0, und d_{M}(A/B) := d(A/B) := δ(cl(⟨A, B⟩)/ cl(B)).

Es gilt dann cl_{d}^{M}(B) = {a ∈ M : d(a/B) = 0}.

Mit den üblichen Argumenten [17] zeigt man:

Lemma 10.2. In jeder Struktur aus K gilt:

(1) d(āc̄/B) = d(ā/Bc̄) + d(c̄/B).

(2) Auf der Menge der grünen Punkte Ü definiert der Abschlußoperator cl_{d} eine Prägeometrie, und d ist gleich der Dimensionsfunktion, die dieser Prägeometrie zugeordnet ist.

Lemma 10.3. Sei e ≥ 0, und seien B = ⟨B⟩ ≤ M ∈ K sowie ā ∈ M. Dann gilt:

(1) Ist δ(ā/B) = e, so existiert eine existentielle L^{∗}-Formel τ_{δ}(x̄, z̄) und ein Tupel b̄ ∈ B mit folgenden Eigenschaften:

• ⊧ τ_{δ}(ā, b̄),

• für alle ā′ und alle b̄′ ∈ B′ ⊆ M′ ∈ K mit ⊧ τ_{δ}(ā′, b̄′) ist δ(ā′/B′) ≤ e.

(2) Ist d(ā/B) = e, so existiert eine existentielle L^{∗}-Formel τ_{d}(x̄, z̄) und ein

Tupel b̄ ∈ B mit folgenden Eigenschaften:

• ⊧ τ_{d}(ā, b̄),

• für alle ā′ und alle b̄′ ∈ M′ ∈ K mit ⊧ τ_{d}(ā′, b̄′) ist d(ā′/b̄′) ≤ e.

Beweis. Teil (2) folgt leicht aus (1). Wir beweisen nun (1). Seien ā ∈ M und B ≤ M gegeben. Sei B = A_{0} ≤ A_{1} ≤ … ≤ A_{n} = ⟨Bā⟩ =: A die Zerlegung von B ≤ A in minimal starke Erweiterungen. Man hat e = δ(ā/B) = ∑_{i=1}^{n} δ(A_{i}/A_{i−1}). Wir nehmen zunächst n = 1 an, d.h. B ≤ A ist minimal stark; wir müssen die vier Fälle aus Lemma 6.4 betrachten. Fälle (1)–(3) sind einfach; wir beschränken uns daher auf den Fall (4) einer minimal präalgebraischen Erweiterung. Sei c̄ eine grüne Basis von A/B, und b̄ ∈ B mit ldim(āc̄/B) = ldim(āc̄/b̄) und āc̄ | ⌣b̄ B. Sei α ∈ C der eindeutige Kode, der A/B zugeordnet ist. Wir wählen eine quantorenfreie L^{∗}- Formel τ̃(x̄, ȳ, z̄) mit ⊧ τ̃(ā, c̄, b̄), so daß folgendes gilt:

• Die Tupel ā und c̄ sind explizit multiplikativ interdefinierbar über b̄.

• ⊧ τ̃(x̄, ȳ, z̄) → ⋀_{i} Ü(y_{i}).

• c̄ ist Lösung einer Kodeinstanz φ_{α}(ȳ, b̄_{1}), wobei b̄_{1} (explizit) in acl(b̄) liegt. Wegen Kodeeigenschaft (e) hat τ_{δ}(x̄, z̄) := ∃ȳτ̃(x̄, ȳ, z̄) die gesuchten Eigenschaften, denn falls ⊧ τ̃(ā′, c̄′, b̄′), so folgt dann δ(ā′/b̄′) = δ(c̄′/b̄′) ≤ δ(c̄′/ acl(b̄′)) ≤ 0.

Den allgemeinen Fall reduziert man auf den minimalen Fall, indem man über ein geeignetes Tupel quantifiziert, das die Zerlegung in minimale Erweiterungen widerspiegelt. □

Sind M, N ∈ K mit M ⊆ N und ist M in N als L^{∗}-Struktur existentiell abgeschlossen, so folgt aus Lemma 10.3, daß M ≤ N ist. Wäre nämlich M nicht stark in N, so gäbe es ein Tupel ā ∈ M mit d_{M}(ā) > d_{N}(ā) = e. Für τ_{d} wie in 10.3 hätten wir dann N ⊧ τ_{d}(ā, b̄) für ein b̄ ∈ ⟨∅⟩ ⊆ M, somit auch M ⊧ τ_{d}(ā, b̄) (da τ_{d} existentiell ist), im Widerspruch zu d(ā/b̄) > e. Wir erhalten insbesondere

Lemma 10.4. Wenn M elementares Untermodell eines T^{μ}-Modells N ist, so ist M starke Unterstruktur. □

Wir definieren nun eine L^{∗}-Theorie T̃^{μ} wie folgt:

(1) Jedes Modell liegt in der Klasse K^{μ}.

(2) Jedes Modell ist ein algebraisch abgeschlossener Körper.

(3) Wenn M ein Modell ist, α ein guter Kode und b̄ aus M ein geeigneter Parameter, dann ist die durch eine grüne M-generische Lösung ā ⊧ φ_{α}(x̄, b̄) gegebene Erweiterung M[ā] von M nicht in K^{μ}.

(4) Axiome, die garantieren, daß es in einem ω-saturierten Modell unendlich viele d-unabängige grün generische Elemente gibt.

Poizat [17] hat die Bedingung ”∅ ≤ M“ universell formuliert; da ψ_{α}(x̄_{0}, …, x̄_{ν}) quantorenfrei ist, sind die Axiome in (1) universell. Daß ACF_{0} und damit (2) induktiv axiomatisierbar ist, ist bekannt. Folgerung 8.4 liefert die induktive Axiomatisierung von (3), und die ∃∀-Axiomatisierbarkeit von (4) folgt aus Lemma 10.3.

Der Schlüssel zum Verständnis von T^{μ} ist der folgende Satz:

Satz 10.5. Eine L^{∗}-Struktur M ist genau dann eine reiche Struktur in K^{μ}, wenn sie ein ω-saturiertes Modell von T̃^{μ} ist. Insbesondere gilt T̃^{μ} = T^{μ}, und T̃^{μ} ist vollständig.

Beweis. Wir zeigen zuerst, daß alle ω-saturierten Modelle von T̃^{μ} reiche Strukturen in K^{μ} sind. Dann zeigen wir, daß die reichen Strukturen in K^{μ} alle Axiome von T̃^{μ} erfüllen. Da reiche Strukturen L_{∞,ω}-äquivalent sind (Folgerung 9.3), folgt dann die ω-Saturiertheit der reichen Strukturen.

Sei M ein ω-saturiertes Modell von T̃^{μ}. Seien B ≤ M und A ≥ B endlich erzeugte Strukturen in K^{μ}. Wir wollen A über B in M stark einbetten. OBdA ist A minimal stark über B. Entsprechend Lemma 6.4 gibt es folgende Möglichkeiten:

A/B ist algebraisch. Axiom (2) liefert das Gewünschte.

A/B ist minimal präalgebraisch. Betrachte das freie Amalgam M′ von M und A über B. Sei α der gute Kode, der die Erweiterung A/B kodiert. Dann ist nach Axiom (3) M′ nicht in K^{μ}. Da aber K^{μ} die Amalgamierungseigenschaft für starke Einbettungen besitzt (Satz 9.2), muß die gewünschte starke Einbettung von A über B in M existieren.

A/B ist grün generisch, wird also durch ein grünes transzendentes Element a erzeugt. Das ω-saturierte Modell M enthält wegen Axiom (4) unendlich viele grün generische und d-unabhängige Elemente (g_{i})_{i∈ℕ}. Da d(B) = e < ∞, existiert i ∈ ℕ mit d(g_{i}/B) = 1. Dann ist ⟨Bg_{i}⟩/B grün generisch (und in M), und die Abbildung a ↦ e_{i} induziert eine starke Einbettung von A in M über B.

A/B ist weiß generisch, d.h. A wird durch ein weißes transzendentes Element w über B erzeugt und Ü(A) = Ü(B). Man überlegt sich leicht, daß für zwei grüne, über B generische und d-unabhängige Elemente g_{1} und g_{2} die Summe w′ := g_{1} + g_{2} weiß B-generisch ist, d.h. d(w′/B) = 2. Nach dem letzten Paragraphen existieren solche Elemente g_{1}, g_{2} in M, und dieser Fall ist ebenso erledigt.

Sei nun M in K^{μ} reich; wir wollen M ⊧ T̃^{μ} zeigen. Zuerst zeigen wir, daß M algebraisch abgeschlossen im Sinne der Körpertheorie ist. Sei a ∈ acl(M), und B ≤ M endlich erzeugt mit a ∈ acl(B). Wenn a grün ist, so liegt a in B, da B ≤ M. Sonst muß a weiß sein, und Ü(B) = Ü(⟨Ba⟩). Die Erweiterung ⟨Ba⟩ ≥ B ist dann in K^{μ} und deshalb über B in M realisiert.

Um Axiom (3) zu zeigen, betrachten wir einen guten Kode α und b̄ ∈ M; sei ā eine M-generische Realisierung von φ_{α}(x̄, b̄). Wäre ⟨Mā⟩ ∈ K^{μ}, so wählen wir B_{0} ≤ M mit b̄ ∈ B_{0}. Dann ist auch ⟨B_{0}ā⟩ ∈ K^{μ}; da M reich ist, existiert ā_{0} ∈ M mit ⟨B_{0}ā⟩ ≅ ⟨B_{0}ā_{0}⟩ =: B_{1} ≤ M. Wir wiederholen diesen Schritt mit B_{1} anstelle von B_{0}, und finden induktiv eine Folge B_{0} ≤ B_{1} ≤ B_{2} ≤ … in M, so daß B_{i+1} := ⟨B_{i}ā_{i}⟩ ≅ ⟨B_{i}ā⟩. Dann ist ā_{1}, ā_{2}, … eine beliebig lange grüne Morley-Folge für φ_{α}(x̄, b̄); die zugehörigen Differenzenfolgen erfüllen dann ψ_{α} im Widerspruch zu M ∈ K^{μ}.

Schließlich erfüllt M als reiche Struktur natürlich Axiom (4). □

Zur Erinnerung: Für A ⊆ M ∈ K, so ist cl(A) die kleinste ⟨·⟩-abgeschlossene Menge mit A ⊆ cl(A) ≤ M. Wenn A endlich erzeugt ist, so auch cl(A).

Folgerung 10.6. T^{μ} ist eine vollständige Theorie. Zwei Tupel ā und ā′ aus T^{μ}- Modellen M und M′ besitzen genau dann den gleichen Typ, wenn es einen L^{∗}- Isomorphismus f von cl_{M}(ā) auf cl_{M′}(ā′) gibt, der ā auf ā′ abbildet.

Beweis. Der in Kapitel 9 konstruierte reiche Körper ist nach Satz 10.5 ein Modell von T^{μ}. Wenn M und M′ zwei beliebige Modelle von T^{μ} sind, so ersetzen wir sie durch elementare Erweiterungen, die ω-saturiert sind. Nach Satz 10.5 sind diese reich und nach Folgerung 9.3 elementar äquivalent. Somit sind auch M und M′ elementar äquivalent.

Um den zweiten Teil des Satzes zu beweisen, nehmen wir an, daß M und M′ ω-saturiert sind. Nach Lemma 10.4 ändert sich cl_{M}(ā) beim Übergang zu einer elementaren Erweiterung nicht. Dann sind M und M′ reiche Körper. Somit kann man f : cl_{M}(ā) → cl_{M′}(ā′) als Anfang eines Hin-und-Her-Systems ansehen, und f ist elementar.

Nun nehmen wir an, daß ā in M und ā′ in M′ denselben elementaren Typ besitzen. Da cl(ā) zum algebraischen Abschluss von ā im Sinne von T^{μ} gehört, existiert wegen der ω-Saturation von M′ eine elementare Abbildung f von cl(ā) nach M′, die ā auf ā′ abbildet. Sei A′ = f(cl(ā)). Da A′ denselben Typ wie cl(ā′) hat, ist A′ stark in M′ und wir erhalten A′ = cl(ā′). □

Folgerung 10.7. Die Theorie T^{μ} ist modellvollständig.

Beweis. Wir geben einen einfachen direkten Beweis, der von Martin Ziegler stammt. Es ist zu zeigen, daß für Modelle M und N von T^{μ} mit M ⊆ N stets M ≤ N gilt. Denn ist M ≤ N und ā ein Tupel in M, so gilt cl_{M}(ā) = cl_{N}(ā). Damit ist aufgrund von Folgerung 10.6 die Inklusion eine elementare Abbildung. Wir zeigen allgemeiner:

Behauptung Ist M ⊧ T^{μ} und M ⊆ N ∈ K^{μ}, so gilt M ≤ N.

Angenommen, die Behauptung sei falsch. Wir wählen ein Gegenbeispiel M ≰ N_{1} mit ldim(N_{1}/M) = e minimal. Da M = acl(M), gilt offenbar e ≥ 2. Aus der Minimalität von e folgt, daß δ(N_{0}/M) ≥ 0 für alle N_{0} = ⟨N_{0}⟩ mit M ⊆ N_{0} ⊊ N_{1}. Insbesondere ist M ≤ N_{0}. Man wählt nun ein solches N_{0} mit ldim(N_{0}/M) = e − 1. Aus

−1 ≥ δ(N_{1}/M) = δ(N_{1}/N_{0}) + δ(N_{0}/M)

und δ(N_{1}/N_{0}) ≥ −1 folgt δ(N_{0}/M) ≤ 0. Da M ≤ N_{0} ist, ist die Erweiterung N_{0}/M präalgebraisch (d.h. ein Turm aus algebraischen und minimal präalgebraischen Erweiterungen) in K^{μ}. Insbesondere finden wir N′/M minimal präalgebraisch mit M ≤ N′ ≤ N_{0}. Dies widerspricht aber Axiom (3), und die Behauptung ist bewiesen. □

Bemerkung 10.8. Man kann zeigen, daß Axiom (4) aus (1)–(3) folgt. Hierzu muß die grün generische Erweiterung durch geeignete präalgebraische Erweiterungen approximiert werden. Andererseits folgt aus der Modellvollständigkeit 10.7 aus allgemeinen Gründen die ∀∃-Axiomatisierbarkeit von T^{μ}.

11. Rangberechnungen

In diesem Kapitel zeigen wir, daß der Morleyrang von T^{μ} gleich 2 ist. Es sei acl^{μ} der algebraische Abschluss in Modellen der Theorie T^{μ}. Alle modelltheoretischen Bezeichnungen beziehen sich nun auf T^{μ}. Manchmal machen wir dies durch ein zusätzliches μ deutlich. Wir zeigen, daß acl^{μ}(ā) die Vereinigung aller präalgebraischen Erweiterungen von cl(ā) ist.

Lemma 11.1. In Modellen M von T^{μ} stimmen acl^{μ} und cl_{d}^{M} überein.

Beweis. Wenn B endlich erzeugt ist, so ist cl(B) auch endlich erzeugt und Teil von acl^{μ}(B). Deshalb können wir annehmen, daß B endlich erzeugt und stark in M ist.

Zuerst zeigen wir cl_{d}^{M}(B) ⊆ acl^{μ}(B). Sei also A ⊂ M endlich erzeugt mit δ(A/B) = 0. Da ldim(A/B) endlich ist, können wir A/B in eine endliche Folge von minimalen Erweiterungen zerlegen; für A′ ⊇ B mit δ(A′/B) = 0 ist wegen B ≤ M auch A′ ≤ M. OBdA können wir also annehmen, daß A/B minimal ist. Nach Lemma 6.4 gibt es die folgenden Möglichkeiten:

i) A ist im körpertheoretischen algebraischen Abschluss von B. Dann gilt natürlich A ⊆ acl^{μ}(B).

ii) A ist eine minimal präalgebraische Erweiterung von B. Nach Satz 4.10 existieren ein guter Kode α und Parameter b̄ in acl(B), so daß A = ⟨Bā⟩ für eine generische grüne Lösung ā ⊧ φ_{α}(x̄, b̄) ist. Es reicht zu zeigen, daß alle grünen Lösungen von φ_{α}(x̄, b̄) in M liegen. Sei hierzu M ≼ N und ā′ ∈ N eine Lösung, die nicht vollständig in M liegt. Dann ist ā′ notwendig generisch über M. Dies widerspricht Axiom (3).

Um acl^{μ}(B) ⊆ cl_{d}^{M}(B) zu zeigen, betrachten wir a ∈ M \ cl_{d}^{M}(B). Für A = cl(B, a) ist dann δ(A/B) > 0. Wir zerlegen A/B in minimale Erweiterungen B ≤ A_{0} ≤ A_{1} ≤ … ≤ A_{n} = A. Dann existiert ein i < n mit δ(A_{i+1}/A_{i}) > 0. Nach Lemma 6.4 erhalten wir ldim(A_{i+1}/A_{i}) = 1, und die Erweiterung A_{i+1}/A_{i} ist weiß generisch oder grün generisch. Nach Folgerung 8.3 ist das freie Amalgam von A_{i+1} und jeder starken Erweiterung von A_{i} in K^{μ}. Da M reich ist, erhalten wir unendlich viele A′ ≤ M, die über A_{i} isomorph zu A_{i+1} sind. Nach Folgerung 10.6 haben sie alle denselben elementaren Typ über A_{i}. Also ist A_{i+1} ⊈ acl^{μ}(A_{i}), und erst recht a ∉ acl^{μ}(B), denn A_{i+1} ist algebraisch über ⟨B, a⟩ und B ⊆ A_{i}. □

Satz 11.2. T^{μ} hat Morleyrang 2 und ist überabzählbar kategorisch. Der weiß generische Typ hat Morleyrang 2, und der grüne generische Typ hat Morleyrang 1. Der algebraische Abschluss in Modellen von T^{μ} ist durch cl_{d} gegeben. Allgemeiner gilt für alle Tupel ā und alle B die Identität

MR(ā/B) = U(ā/B) = d(ā/B).

Beweis. Sei M ein ω-saturiertes Modell von T^{μ}, elementar eingebettet in das Monstermodell von T^{μ}. Wir berechnen MR(a/M) für Elemente a aus dem Monstermodell. Wegen

0 ≤ d(a/M) ≤ δ(a/M) ≤ 2.

gibt es 4 Fälle:

d(a/M) = 0: Nach Lemma 10.4 und 11.1 ist a ∈ acl^{μ}(M) = M. Also ist MR(a/M) = 0.

d(a/M) = 1 und a ist grün: Dann ist ⟨Ma⟩ stark im Monstermodell, und tp(a/M) ist wegen Folgerung 10.6 der eindeutig bestimmte grün generische Typ. Da alle anderen grünen Typen über M algebraisch sind, folgt MR(a/M) = 1, und Ü definiert eine streng minimale Menge.

d(a/M) = 1 und a ist nicht grün: Dann muß cl(⟨M, a⟩) \ M einen grünen Punkt c enthalten. Wir erhalten ⟨Mc⟩ ≤ cl(Ma) und d(a/Mc) = 0. Somit sind a und c bezüglich T^{μ} interalgebraisch über M, und MR(a/M) = MR(c/M) = 1.

d(a/M) = 2: Dann gilt Ü(⟨Ma⟩) = Ü(M) und ⟨Ma⟩ ist stark im Monstermodell eingebettet. Nach Folgerung 10.6 ist tp(a/M) der eindeutig bestimmte weiß generische Typ, d.h. der generische Typ der Körpers. Da alle anderen Typen einen Morleyrang ≤ 1 besitzen, folgt MR(a/M) ≤ 2. Nun ist Ü(M) eine unendliche Untergruppe von M von unendlichem Index. Folglich ist MR(a/M) = 2, und T^{μ} hat Morleyrang 2. Nach einem Resultat von B. Zilber [21] ist T^{μ} als Theorie eines Körpers von endlichem Morleyrang somit überabzählbar kategorisch.

Für den Beweis der Identität MR(ā/B) = U(āB) = d(ā/B) beachte man, daß in überabzählbar kategorischen Theorien stets MR = U gilt. Insbesondere ist der Morleyrang also additiv. Wir haben aber bereits gezeigt, daß für Elemente a (d.h. Tupel der Länge 1) die Gleichheit MR(a/B) = d(a/B) gilt. Da d ebenfalls additiv ist, folgt alles. □

Bemerkung 11.3. Einer Idee von Poizat folgend [17] kann man für jede natürliche Zahl r ≥ 2 einen Körper vom Morleyrang r mit einer streng minimalen multiplikativen grünen Untergruppe konstruieren, indem man mit der folgenden Prädimension arbeitet:

δ(A) = r dim(A) − (r − 1) ldim(Ü(A)).

Des weiteren führt analog zu [6] die Prädimension

δ(A) = r dim(A) − ldim(Ü(A))

zu einem Körper vom Morleyrang r mit einer multiplikativen grünen Untergruppe vom Morleyrang r − 1.

Frage 11.4. J. Kirby hat in seiner Dissertation [12] Satz 2.2 auf semi-abelsche Värietäten verallgemeinert. Kann man dies verwenden, um einen Körper von endlichem Morleyrang mit einer nichtalgebraischen Untergruppe einer beliebigen semiabelschen Varietät zu konstruieren?

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[16] B. Poizat, Le carré de l’égalité , J. Symb. Logic, 64, n^{o} 3 (1999), 1338–1355.

[17] B. Poizat, L’égalité au cube, J. Symb. Logic, 66, n^{o} 4 (2001), 1647–1676.

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[20] M. Ziegler, Lemma für Daniels beschränkte Automorphismen, preprint, 2004.

[21] B. I. Zilber, Groups and rings whose theory is categorical, Fund. Math. 95 (1977), 173–188.

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